CP 2) (X — J )2 37 — I

il n'y a pas lieu d'aller plus loin, puisque la dernière fraction est sous la forme

voulue, et l'on a

I [ -Si

66. Il convient de s'arrêter sur le cas où, a, 6, c, . . ., / étant toujours des nombres distincts, on a affaire à une fraction de la forme

les nombres que l'on désignait dans le numéro précédent par a, ^, y, . . ., )v étant tous égaux à i. Dans ce cas, le polynôme en que

l'on désignait par P^ ( ) se réduit à la fraction simple — • Le

\ iî7 et J X Ce

polynôme que l'on désignait par C3( (.r) se réduit à {x — b) {x — c)...{x — l)\

Ao est le premier terme du quotient de la division des polynômes (en h) f(a -\- h), o,(aH-/i), ordonnés suivant les puissances croissantes de /i, polynômes dont les premiers termes sont respectivement /(a) et ©, (a), en sorte que l'on a

Ao — —

(pi(a) (a — b) (a — c) . . . {a — l)'

le nombre ^^(a) est la valeur, pour .r = a, de la dérivée o'{x-) du polynôme '■s{x) : on a, en effet, 'f(x) ^ [x — a) cp, {x) et, par suite,

C6 ( <z -4- A ) = /i cpi ( a 4- A ) = A tpi ( « ) 4- . . .

en n'écrivant pas les termes /i-, A^, ... ; on voit bien que le coefficient de h dans le développement de (s(a-\-h), ordonné suivant les puissances croissantes de h, c'est-à-dire (n° 35) la valeur, pour x^a^ de la dérivée de œ(.r), est o, (a). On peut donc écrire aussi :

Comme le même raisonnement s'applique aux autres racines 6,

c, . . . , A, / de ^(-27), on peut écrire, en désignant par E(x) la partie entière de la traction '—. — -»

fjb) !

fil) î

■fib) fil)

67, En multipliant par o{x) les deux membres de cette identité, elle devient

cette formule, qui joue un rôle considérable dans diverses questions d'ordre pratique ou théorique, est connue sous le nom de formule d^ interpolation de Lagrange. Il ne faut pas oublier que le polynôme E(,r) doit être regardé comme identiquement nul quand le degré de ^{x) dépasse celui de f{x).

Elle fournit immédiatement la solution du problème suivant : Etant donnés n nombres distincts a, b, . . . , l, déterminer tous les polynômes en x qui prennent des valeurs prescrites A, B, . . . , L pour X = a, X ^ b, . . . , x ^ l.

Si l'on pose, en effet, o(x)^(x — a) (x — b) . . . (x — l), et si l'on désigne par f{x) un des polynômes cherchés, on devra avoir

/(a) = A, fib) = B, ...; /(/) = L,

et,

par

suite,

r)cp(a7).

Le raisonnement même montre que le polynôme cherché f{x) doit nécessairement avoir la forme qu'exprime le second ou le troisième membre de cette égalité, et la forme même du troisième membre montre effectivement qu'il prend les valeurs A, B, . . ., L quand on y fait ^ ^ «, 6, . . . , /. Pour ^ = a, par exemple, le polynôme qui multiplie A se réduit à i, les polynômes qui multiplient B, ..., L s'annulent, ainsi que cp(^), et cela quel que soit le polynôme E(a;). Ce dernier peut donc être choisi arbitrairement.

Le produit E(ic)o(:r), quand E(a7) n'est pas identiquement nul, est de degré au moins égal à n ; son terme du plus haut degré ne peut être détruit par les termes du second membre de l'identité (2) qui précèdent ^{x) ^(x), termes qui sont au plus du degré n — i .

Si donc on impose kf^x) la condition d'être de degré inférieur à /z, E(a:) doit être identiquement nul, en sorte qu'il y a un seul polynôme g{oc), de degré inférieur à n, qui prenne des valeurs prescrites A, B, . . ., L pour ^ = a, 6, . . . , /, à savoir le polynôme

,„, , , , (x — b) (x — c)...(x — /) (3) g{0C)=r: k) rvT { 7 j:

un polynôme quelconque qui prend ces valeurs prescrites est de la forme g{x) -t-E(^) f (^), le polynôme E(a7) étant arbitraire.

Au reste, on reconnaît directement que si les deux polynômes g{x)^ f{x) prennent l'un et l'autre les valeurs prescrites A, B, . . . , L pour X = a^ b^ . . .^ l^ leur différence y(a:) — g'{x) doit être divisible

DES FRACTIONS RATIONNELLES. l83

par 'f(^) (n" 38); si les polynômes y*( a:) et ^(;r) doivent être de degré inférieur à n, cette difierence doit être identiquement nulle : on voit ainsi que le problème consistant à trouver un polynôme de degré inférieur à n qui prenne les /i valeurs prescrites A, B, . . . , L pour les n valeurs distinctes a, b, . . . , / de a? ne peut admettre qu'une solution, solution qui est évidemment fournie par la formule (3), et que tous les polynômes, de degré quelconque, qui prennent ces valeurs prescrites, se déduisent de l'un d'eux comme on l'a expliqué.

Le problème de V interpolation consiste, en général, à trouver une fonction qui prenne des valeurs prescrites pour des valeurs données de la variable. C'est un problème capital pour les sciences d'observation, où la loi d'un phénomène ne peut jamais être obtenue que par un nombre fini d'expériences : une série d'expériences, par lesquelles on cherche à reconnaître comment une variable y dépend d'une variable X, fournit un tableau de nombres où figurent les valeurs y,, y -Xi • • ' 1 yii de j' qui correspondent aux valeurs X\^ x-^, . . ., x,t de x. Si l'on a déterminé une fonction g{x), par exemple, comme tout à l'heure, un polynôme, qui pour x ^ x,, x^, ..., Xn prend des valeurs yi,y-2j ••••,yiii on admet que cette fonction g{x) fournira les valeurs de y pour les valeurs de x qui ne s'écartent pas trop des nombres Xfy X2, .... x,ij soit que ces valeurs soient comprises entre le plus petit et le plus grand des nombres a^,, Xo, ..., -x^n (interpolation proprement dite), soit qu'elles dépassent un peu, en dessus ou en dessous, le plus petit ou le plus grand de ces nombres (extrapolation).

On a vu, par la théorie précédente, comment, lors même qu'on se borne à des polynômes, le problème posé est indéterminé : il en est de même, d'ailleurs, du problème qui consiste à trouver une loi : deux lois d'un même phénomène, exprimées par des formules différentes, sont également vraies, lorsque les différences entre les nombres que fournissent ces formules sont de l'ordre de grandeur des erreurs d'observation. Parmi ces lois, on choisira celle qui est susceptible de l'expression la plus simple. Ce dernier mot aurait d'ailleurs besoin d'être précisé. S'il s'agit, par exemple, de deux polynômes, il est naturel de choisir celui des deux qui est de moindre degré.

Le lecteur, enfin, ne peut manquer de se demander s'il est vrai que deux fonctions qui prennent les valeurs prescrites pour X = Xi, x.y, . . . , x,i aient toujours des valeurs voisines quand x n'est pas égal à l'un de ces nombres, et sous quelles conditions cela est

l84 CHAPITRE IV.

vrai. Je me borne à soulever ces questions qui ont fait l'objet d'un grand nombre de travaux. '

68. La formule (i) du numéro précédent, qui suppose seulement que les nombres a, 6, . . . , / soient distincts, fournit une suite d'identités en égalant dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de x'^ je me borne à celle qui provient de l'identification des termes en ^"~% lorsque le polynôme ,/(^) est de degré inférieur à /i, et que, par conséquent, le polynôme E (a: ) est identiquement nul ;

les coefficients de x^~'^ dans les polynômes — — -•> — — y-, .... \

étant évidemment égaux à i, on voit que, dans le second membre, le coefficient de :r"~* est la somme

?'(«) i{b) ••• cp'(/) '

cette somme, lorsque le polynôme j/(^) est de degré inférieur à /^, est donc égale au coefficient de x'^~^ dans /(a?); elle est nulle en particulier quand f^x^ est de degré inférieur à n — i; en prenant fi^x') ■=■ x''^ où r est l'un des nombres o, i, 2, . . . , /i — i, on a

o'(a) cp'(6) • cp'(0

pour /* = o, 1 , 2, . . . , /i — 2, et, pour r = n — i ,

et cela, quels que soient les n nombres distincts a, b^ . . . ^ L

§ 3. — FONCTION HOMOGRAPHIQUE.

69. Je terminerai ce Chapitre par l'étude de la plus simple des fonctions rationnelles, à savoir la fraction

ax -H b a' X -+- b'

OÙ a, 6, a', b' sont des constantes et dont les termes sont du premier

degré en x. Elle joue un rôle considérable tant en Algèbre qu'en Géométrie.

En faisant la division du numérateur par le dénominateur (n"^ol , 64) et en posant, pour abréger,

„ a b — ah b

on la met sous la forme

a a' h — ah' a 3

C'est l'application, à ce cas simple, de la méthode de décomposition en éléments simples exposée plus haut. Sur cette forme, la façon dont y varie avec x apparaît de suite.

Le binôme x — a croît depuis — oo jusqu'à -f-oo quand x croît de — Gc à + oc. Il s'annule pour a; = a ; pour cette seule valeur de x^ y n'est pas une fonction continue de x. Quand x croît de — oo à une

valeur a — e, un peu plus petite que a, décroît de o ( ' ) jusqu'au

nombre très grand en valeur absolue, quand x traverse la valeur a, passe de — oo à + oc ; quand x croît de a + s à +00,

décroît encore de — jusqu'à o. La fraction — - — varie dans le

même sens que > ou dans le sens contraire, suivant que ^ est

positif ou négatif : la partie constante — n'influe pas sur le sens de la variation. Par conséquent :

T Al ^ 1 C • O,^ -^ b A

Lorsque x croit de — 00 a + 00, la lonction — ; -n croit toujours,

ou décroît toujours, suivant que ab' — a' b est positif ou négatif:

dans le premier cas, elle croît de —r à +30, puis de — 00 à — ; elle ■^ ' a '^ a

passe de + 00 à — 00 quand x traverse la valeur ;; dans le second

cas, elle décroît de — à — 00, puis de +00 à — ; elle passe de — oo

(') C'est une façon de parler pour dire que, lorsque x est très grand en valeur absolue, est très petit en valeur absolue.

à + 00 quand x traverse la valeur -,- Les variations de cette fonc-

tion sont figurées ci-dessous ; la courbe est asymptote aux deux parallèles aux axes dont les équations sont r= — j a: = ;• A deux

valeurs différentes de x correspondent toujours deux valeurs diffé-

1 ax -t- b rentes de

Fig. 24.

Tout ceci suppose que '^= a' b — ab' n'est pas nul ; dans le cas où ^

serait nul, —, ri serait toujours égal à —> et ainsi ne dépendrait

pas de X : toutefois, pour x = — — ? la fraction proposée n'a pas de sens, et — n'est la valeur de cette fraction que par convention ('). Lorsque les variables x, y sont liées par la relation

ax -f- b

et que ^ n'est pas nul, on dit quejK est une fonction homographique

(') Quand ,3 devient de plus en plus petit, en valeur absolue, la courbe se rapproche de plus en plus de ses asymptotes; jusqu'à se confondre avec elles pour ^ = o.

DES FRACTIONS RATIONXKLLES. ' 187

de x^ OU encore que la valeur de y est la valeur de ^ à laquelle elle correspond, transformée par l'homographie que déterminent les nombres a, 6, a', b' .

Une des propriétés les plus importantes des fonctions homographiques apparaît sous la forme, précédemment obtenue, de l'équation qui lie x et y,

En désignant par ;r,, x^^ x^^ x^ quatre valeurs distinctes de x^ par jj^i, j^oj yzi JK4 les valeurs correspondantes de y^ qui sont aussi différentes entre elles, on a évidemment

-P(^i-:r3) -3r.r,-:rv)

y^ y^ (^j a)(x3— a)' y^ y'* (37, -aj (5^4- a)'

on désigne sous le nom de rapport anharmonique des quatre nombres X) , x^-, ^3, x^ rangés dans l'ordre qu'on vient d'écrire, la quantité

Xx 3^3 , X-i X^ (37) X:^)(x<i 37^)

X\ — ar^ * 0:2 — x^ (a^i — a:'4)(^2 — ^3)

et l'on exprime la propriété précédente en disant que, quand^ est une fonction homographique de x, le rapport anharmonique de quatre valeurs de x est égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes de y. La proposition subsiste, comme il est aisé de le voir, dans le cas oiî a! est nul, qui échappe à la démonstration précédente. L'intérêt de cette propriété consiste en ce qu'elle ne dépend que de la forme de la relation entre x et y^ nullement des valeurs particulières des coefficients a, 6, a', h' . Elle caractérise d'ailleurs la correspondance homographique : en d'autres termes, si à chaque valeur de x correspond une valeur de jk, de façon que le rapport anharmonique de quatre valeurs quelconques de x soit toujours égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes dejK? y est une fonction homographique de X.

l88 CHAPITRE IV.

Cela résulte de ce que, si l'on considère trois valeurs fixes de x, à savoir ip,, a7o, x^ et les valeurs correspondantes j^, , y 2, .y s de j^, on doit avoir, entre une valeur quelconque de x et la valeur correspondante dey, la relation

(.y —.r2)(.ri—.r3) (^ — ^'>)i-'^\ — cr.2)

qui, résolue par rappoi't à y, permet d'exprimer y en fonction de or

sous la forme

ax -f- b ^ a' X -h b

La démonstration même que l'on vient de faire prouve que, si l'on se donne trois couples de nombres correspondants (j?,, j^,), (^zy^), (^3? ^3)5 tsls que les nombres Xt, x-i^ x^ soient distincts, ainsi que les nombres j)/i,j^2 5 JK3? il existe une fonction homographique de x^ et une seule, celle-là même qu'on vient de déterminer, qui prend les valeurs y,, y^? JKs pour x =^ x^^ X2, Xr^.

Au lieu de dire que jk est une fonction homographique de x quand^ s'exprime au moyen de x par la formule

ax M- b "^ a X -\- b

OÙ a, è, a', b' sont des constantes, on dit souvent que les deux variables x, y se correspondent homographiquement lorsqu'elles sont liées par une équation de la forme

A xy -4- B a; -+- Cjk + D = o,

où A, B, C, D sont des constantes (') dont quelques-unes peuvent d'ailleurs être nulles : cette équation, qui est du premier degré, soit

(') Il est bien cnlendu qu'on a affaire à la mémo fonction homograpliique quand

on remplace les coefficients a, b, a\ b' par des coefficients proportionnels, qu'on a

affaire à la même correspondance lioniographique quand on remplace les coefficients A,

H, C, D par des coefficients proportionnels. Je laisse au lecteur le soin de démontrer

ax->rb aa7-j-3 . , , •

que les deux fractions — ; —^ —, ~-, ne peuvent être égales pour toutes les

valeurs de x sans que les coefficients a., p, a', Ji' soient proportionnels aux coefficients a, b, a', b' .

par rapport à y, soit par rapport à :r, détermine l'une des variables, lorsqu'on se donne l'autre. On en tire

— B.r— D —Cy — B

^~ \x-hG ' ^- AjK+B '

Chacune des deux variables est bien une fonction homographique de l'autre; mais, sauf le cas où l'on aurait B = C, chacune d'elles n'est pas la même fonction de l'autre. Si l'on a B =C, la relation est dite involutî^e.

Dans le cas où l'on aurait BC — AD = o, qui correspond au cas où l'on aurait, avec les notations antérieures, ab' — a'6 = o, la correspondance homographique est dite impropre. Dans ce cas, l'équation d'homographie qui, lorsque A n'est pas nul, peut toujours s'écrire

-i- [(Aa; -1- C) (AjK -H B ) + AD — BC] = o,

se réduit à (Aa? + C) (Ay + B) = o. Elle est vérifiée en prenant ■X ^ — — eX. y quelconque, ou en prenant .)' = — — et .r quelconque,

elle ne peut être vérifiée autrement : A une valeur quelconque de ^,

autre que -» correspond la valeur unique de y, JK =^ — T' ^ ^^

valeur àe x correspond une valeur quelconque de y. A une

valeur quelconque de y, autre que -, correspond la valeur unique

de X, J7 = — Yî à la valeur — — de j^ correspond une valeur quelconque de X. Ces résultats sont d'ailleurs conformes à ceux que l'on a obtenus en étudiant la fonction homographique — ; — —p lorsque ab' — a' b est nul.

Dans le cas où l'on a à la fois AD — BC = o, A ^ o ; il faut que B, ou C, soit nul; l'une des variables disparaît de l'équation d'homographie, et peut être supposée quelconque, l'autre variable est déterminée.

Si l'on écarte les homographies impropres, on voit que la valeur de l'une des variables est déterminée par l'équation d'homographie quand on se donne l'autre et qu'à deux valeurs distinctes d'une variable correspondent deux valeurs distinctes de l'autre : afin d'éviter

igO CHAPITRE IV.

les exceptions résultant de la discontinuité, il est commode de dire, lorsque A n'est pas nul, que la valeur ce de j correspond à la va-

leur — Y de ,37, que la valeur — — de j^ correspond à la valeur oo de ^.

Les valeurs de l'une ou de l'autre des variables qui correspondent à la valeur infinie de l'autre sont égales' dans le cas d'une relation involutive et seulement dans ce cas. Lorsque A est nul, les valeurs correspondantes de :r, y deviennent infinies en même temps. De même, lorsque D est nul, les valeurs correspondantes de x^ y deviennent nulles en même temps.

Si la variable z est une fonction homographique de la variable y^ si cette variable y est une fonction homographique de x, à chaque valeur de x con^espond une valeur de jk, à celle-là une valeur de ^, qui ainsi correspond à la valeur de x. La variable z est une fonction homographique de 57, car des égalités

ay-

résulte l'égalité

(aa-l- ^a')x -\- a.h -^ 8 6'

,ax^b r, ( a' a -f- B' a' ) 37 -4- a' 6 + B' 6' '

on n'a pas à craindre que la dernière homographie soit impropre lorsque les deux homographies proposées sont propres, puisque, alors, à deux valeurs distinctes de x correspondent deux valeurs distinctes àe y^ auxquelles correspondent deux valeurs distinctes de z.

On peut dire encore que devix variables sont liées homographiquement entre elles quand chacune d'elles est liée homographiquement à une troisième : ainsi, dans la démonstration précédente, les variables X eX. z sont liées homographiquement entre elles, parce qu'elles sont liées homographiquement ky.

Plus généralement, si chacune des variables a'«, .r«), ..., x^^ X\ est une fonction homographique (propre) de celle qui la suit, la première x„ est une fonction homographique (propre) de Xi. Le théorème général résulte évidemment de celui qu'on a démontré.

Un cas particulier est le suivant : si deux variables sont des fonctions homographiques de deux variables qui sont liées homographi-

DES FRACTIONS RATIONXKLLES. I9I

quement, les deux premières variables sont elles-même liées liomographiquement.

Lorsque dans l'équalion d'homographie

Axy -\-Bx -h Cy -i- D = o,

on suppose ce ^y, on obtient l'équation du second degré

dont les racines s'appellent les éléments doubles de l'homographie.

Lorsque A est nul, il n'y a plus qu'un élément double, qui disparaît lui-même si B + Gest nul ainsi que A, auquel cas la différence x — y est constante. Conformément à des propriétés bien connues des équations du second et du premier degré, on dit, lorsque A est nul, qu'un des éléments doubles est infini, lorsque A et B + C sont nuls que les deux éléments doubles sont infinis.

Supposons que les racines de l'équation du second degré soient réelles et distinctes; désignons-les par a, ^; soient x^ x' deux valeurs de la première variable, y, j^' les valeurs correspondantes de la seconde : le rapport anharmonique des quatre nombres x^ x' ^ a, j3 doit être égal au rapport anharmonique des quatre nombres y^ y', a, ^: c'està-dire qu'on doit avoir

ou encore

y'—oL

cette relation doit subsister en laissant x', y' constants et en faisant varier les nombres x, y, que l'on suppose toujours vérifier l'équation d'homographie; d'où la conclusion suivante :

Le rapport anharmonique de deux nombres correspondants et des deux éléments doubles est constant.

EXERCICES

61. On donne une sphère, un diamètre de cette sphère et un point M sur ce diamètre. On mène un plan perpendiculaire au diamètre qui rencontre la sphère suivant un cercle (G). Soient V le volume de la plus petite des deux parties dans lesquelles la sphère est décomposée par le plan sécant et V le volume du cône ayant le point M pour sommet et le cercle (G) pour base; on

demande la limite vers laquelle tend le rapport — quand le plan sécant tend

à devenir tangent à la sphère.

G2. Décomposer en éléments simples les fractions

1 — abx"^ x^ — a?2-f-i I (x"^ — \)-(t- — fi)

(i — ax){i. — bx) {x — iy^(x — •}.} {x — i)-(a7- — -i)- vr"

37" (1 — a:) {X — a)'^iyX — b)

a, b désignent des constantes.

Dans les deux dernières, n désigne un nombre naturel quelconque.

G3. Démontrer l'identité

rn nu nu pu J H- -—...-+-(—!)« -

x{x -+- \). . .(x -{- n) X 37 -t- I X -+- :>. Ecrire explicitement cette identité pour n = i, 2 et en déduire les formules I t I I