Décomposer en éléments simples l'expression /A B G

en regardant les nombres a, b, c comme donnés, déterminer les constantes A, B, G de manière que, parmi les fractions simples, il n'y en ait aucune dont le dénominateur soit du premier degré.

67. Si a est une racine simple du polynôme <^{x) qui n'annule pas le poly-

fix) nome/(a7), la partie de la fraction -r-^ — rr: qui devient infinie guand x tend

vers a est

en désignant par f'{x) la dérivée de f{x), par cp'(-^)) Ç*!^) '^s dérivées première et seconde de <p(a7).

68. Si l'on suppose <f{x) = {x — a){x — b) . . . {x — l), les nombres a, 6, ..., / étant différents, la condition pour que la formule de décomposition

f{x) en éléments simples de la fraction f^ — r; ne contienne aucune fraction simple

dont le dénominateur soit du premier degré est que le polynôme

soit divisible par <p(a7).

69. Déterminer un polynôme g{x) du troisième degré au plus qui, pour les valeurs données a, h de la variable, prenne des valeurs données A et B, tandis que sa dérivée prend les valeurs aussi données A' et B'.

La solution résulte immédiatement de la formule

g{x) g{a) T , g'{.a){a — h)—ig{a) i

(^x — af-i^x — bf {a—hf{x — aY {a — bf x — a

g{b) 1 , g'{b){a — b)-\-ig{b) I

(a— 6)2 (or — 6)2 («6)3 x — b

Généraliser le problème posé et sa solution.