LEÇONS

NOTION DK COUPURE. NOMBRES IRRATIONNELS. CALCUL DES RADICAUX. EXPOSANTS FRACTIONNAIRES, NÉGATIFS, IRRATIONNELS.

§ 1. - DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS. OPÉRATIONS SUR CES NOMBRES.

1. Je suppose acquises les règles relatives au calcul des nombres entiers, des nombre?, fractionnaires, des nombres relatifs (*) dont la valeur absolue est un nombre entier ou une fraction à termes entiers. Ces nombres, y compris o, sont dits rationnels. De tels nombres, si on les combine par addition, soustraction, multiplication, division (la division par o étant exclue) reproduisent toujours des nombi'es rationnels.

Au point de vue pratique, ces nombres suffisent à la mesure des grandeurs; le problème pratique de la mesure d'une grandeur, de la longueur d'une droite limitée, par exemple, n'est pas complètement déterminé : on peut substituer à cette droite, qui n'est d'ailleurs qu'imparfaitement délimitée, une autre droite qu'on ne saurait discerner de la première ^ il y a ainsi une infinité de nombres rationnels, très rapprochés les uns des autres, qui peuvent servir à mesurer la

(') C'est sous ce nom que je désignerai les nombres positifs et négatifs. T.

même longueur; comme le résultat des opérations arithmétiques ciiange très peu quand on change très peu les données, peu importe celui des nomhres que l'on choisit pour la mesure, lors même que ce nombre doit être soumis à certains calculs : c'est par des raisons de commodité qu'on décide le choix ; on ne conserve, par exemple, qu'un certain nombre de décimales.

Les nombres rationnels permettent aussi de résoudre avec telle approximation qu'on voudra des problèmes comme celui-ci : trouver un nombre dont le carré soit égal à u ; mais les nombres rationnels ne suffisent à résoudre exactement ni ce dernier problème, ni le problème théorique de la mesure des grandeurs, puisque la Géométrie met en évidence l'existence de grandeurs incommensurables entre elles.

Les explications qui suivent (n^^â, 3, ..., 7) ont pour but de préparer la définition des nombres irrationnels, dont l'introduction conduit à une solution exacte de ces problèmes et d'autres analogues : ces nombres sont, comme on le verra, une façon de parler plutôt qu'une réalité; cette façon de parler, qui condense en un seul mot l'infinité des solutions approchées, permet de donner une forme simple à des raisonnements parfaitement rigoureux. Jusqu'à ce que la définition des nombres irrationnels ait été donnée (n°'8, 9), les nombres dont il sera question seront des nombres rationnels.

2. Etant donné un nombre rationnel positif (non nul), il est toujours possible de trouver un nombre rationnel positif plus petit que lui; il suffit, en effet, si le nombre proposé est donné sous forme d'une fraction à termes entiers, d'augmenter le dénominateur de cette fraction.

11 j a en particulier des nombres décimaux, autres que o, comportant un nombre limité de chiflres décimaux et plus petits que tel nombre positif a que l'on voudra : on peut prendre en effet le

nombre naturel (') n assez grand pour que l'on ait io">» -> — y <;«.

Entre deux nombres rationnels distincts a, 6, il y a d'autres

(') Les nombres naturels sous les nombres de la suite naturelle i, 2, 3, ...,à l'exclusion du nombre o. Les nombres entiers sous les nombres o et ±1, ±2, ±:3, ....

nombres rationnels; si l'on suppose <7 << ^, on les obtiendra en ajoutant à a un nombre rationnel plus petit que le nombre positif b — a. Soit c un nombre rationnel compris entre « et 6; l'Arithmétique enseigne à trouver des nombres décimaux (*) qui diffèrent de c aussi peu qu'on veut, dont la différence avec c soit en particulier moindre que c — a et que b — c \ un tel nombre est forcément compris entre a et 6; entre deux nombres rationnels quelconques il y a des nombres décimaux.

3. Considérons un axe X'X, c'est-à-dire une droite indéfinie sur laquelle on a fixé l'unité de longueur et le sens positif. Cette unité et ce sens sont représentés par un vecteur unité UV placé sur la

Fig. I

droite X'X ou sur une parallèle à celte droite : la longueur de ce vecteur est l'unité de longueur, son sens (de U vers V) est le sens positif; je supposerai que ce sens soit celui de la gauche vers la droite. Je supposerai enfin qu'on ait pris sur l'axe une origine O. Un tel axe nous servira, tout le long de ce Chapitre, à figurer soit les nombres l'ationnels, soit ces nombres irrationnels qu'on se propose de définir.

Si l'on considère un point M de l'axe, autre que le point O, deux cas peuvent se présenter : ou le segment (-) OM est commensurable au segment UV, ou il lui est incommensurable.

Dire que les deux segments OM et UV sont commensurables, c'est dire qu'il existe un segment (leur commune mesure) qui est contenu

( ' ) En parlant ici et plus loin d'un nombre décimal, y enleaAs toujouis parler d'un nombre comportant un nombre limité de chiffres décimaux. Un nombre décimai

est de la forme — j où A est un nombre entier et n un nombre naturel.

(^) Dans le cours de ce Livre, les mots segment de droite ou segment seront pris avec la signification de droite limitée, ahstracùon faite de tout sens de parcours. Un segment dont on distingue l'origine et l'extrémité, auquel on attribue ainsi un sens de parcours, devient un vecteur.

exactement un nombre entier de fois dans OM et dans UV, par exemple p fois dans OM et q fois dans UV ; la mesure du segment OM

est alors - •

Le nombre relatif dont la valeur absolue est — et dont le signe

est 4- ou — , suivant que le point M est à droite ou à gauche du point O, est V abscisse du point M : cette abscisse est rationnelle.

Dire que les segments OM et UV sont incommensurables entre eux, c'est dire qu'il n'existe aucun segment de droite qui soit contenu exactement un nombre entier de fois dans OM et dans UV : s'il en est ainsi, l'abscisse du point M n'est pas définie pour le moment.

A chaque point M, tel que le segment OM soit commensurable àUV, correspond un nombre relatif, son abscisse : ce nombre serait o si le point M était en O. Inversement, à chaque nombre relatif a correspond un point A, dont l'abscisse est a : si la valeur absolue

de a est > on obtient ce point A en divisant le segment unité UV

en q parties égales et en portant bout à bout sur l'axe p de ces parties, à partir du point O, vers la droite ou vers la gauche, suivant que a est positif ou négatif; l'extrémité de la p"'"'" partie est le point A. Si a, b sont deux nombres rationnels et A, B les points dont ils sont les abscisses, le point A sera à droite ou à gauche du point B suivant que l'on aura a > 6, ou a <i b. Le nombre b — a est dans tous les cas l'équivalent algébrique du vecteur AB, e'est-à-dire l'abscisse de B quand on prend V pour origine sur l'axe. Si A, B, G sont trois points d'abcisses rationnelles, on a

ÂC =:ÂB+FC,

en désignant par AB, BC, AC les équivalents algébriques des vecteurs AB, BC, AC.

4. Supposons que le segment OM soit incommensurable à UV . Si a est un nombre rationnel quelconque, il sera l'abscisse d'un point A qui ne pourra coïncider avec M, qui sera donc à gauche de M, ou à

(') J'emploierai, à l'occiision, les mois au delà ou en deçà avec la même signification que à droite ou à gauche.

droite : rangeons dans une première classe tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à gauche de M, dans une seconde classe, tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à droite de M; il est clair que chaque nombre rationnel a sa place dans l'une ou l'autre des deux classes, et que chaque nombre de la première classe est plus petit que chaque nombre de la seconde classe.

Je désignerai sous le nom de coupure (des nombres rationnels) tout procédé qui permet de séparer tous les nombres rationnels en deux classes, telles que chaque nombre de la première soit inférieur à chaque nombre de la seconde.

On verra tout à l'heure que, lorsque OM est incommensurable :à UV, il n'y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que les autres nombres de cette classe, et qu'il n'y a pas dans la seconde classe de nombre qui soit plus petit que les autres nombres de cette classe.

Lorsque OM est commensurable à Ij V, le point M a une abscisse irationnelle m; on peut bien ranger tous les nombres rationnels autres que m en deux classes, contenant, comme tout à l'heure, l'une tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à gauche de M, c'est-à-dire les nombres rationnels plus petits que m, et l'autre tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à droite de M, c'est-à-dire les nombres rationnels plus grands que m; mais le nombre rationnel m échappe lui-même à la classification : on n'a pas une coupure au sens qui vient d'être donné à ce mot; pour obtenir une telle coupure, il faut placer le nombre rationnel m, soit dans la première classe, soit dans la seconde; tous les nombres rationnels sont alors séparés en deux classes, et chaque nombre de la première est plus petit que n'importe quel nombre de la seconde : dans le premier cas m est le plus grand des nombres de la première classe, dans le second, m est le plus petit des nombres de la seconde classe.

o. Soit UV un segment commensurable à UV et a le nombre rationnel positif qui en mesure la longueur; si l'on se donne le nombre a, on peut construire le segment UV. On a vu plus haut que, si petit que soit un nombre rationnel e, il j a des nombres rationnels a plus petits que lui. De même, si l'on se donne un

segment de droite quelconque PQ, on peut trouver un segment UV, commensurable à UV, qui soit plus petit que PQ; il suffira pour

Fig. 2.

X' A-2 A-, 0 Al A;

cela de diviser UV en un nombre k de parties égales, assez grand pour que ces parties soient plus petites que PQ ('); l'une d'elles

pourra être prise pour UV, sa mesure sera a := j*

Ceci posé, imaginons qu'on ait marqué sur l'axe tous les points dont l'abscisse est de la forme /la, n étant un nombre entier positif, nul, ou négatif : je désignerai en général par A,/, le point dont l'abscisse est na; \o n'est autre que le point O, les points A,, Aj, A;,, ..., d'une part, A,, A.o, A 3, ..., de l'autre, s'obtiennent en portant bout à bout à partir du point O, vers la droite, ou vers la gauche, des segments égaux à UV; j'appellerai tous ces points les points A. Il y a des points A en deçà et au delà de n'importe quel point de l'axe (2). Un point quelconque de l'axe est compris entre deux points A consécutifs ou coïncide avec un point A.

Considérons sur l'axe deux points quelconques R, S; on peut supposer le segment UV (commensurable à UV) plus petit que le segment RS; s'il en est ainsi, il J a forcément un point A entre R et S; l'abscisse de ce point étant rationnelle, on voit qu'il y a sur l'axe, entre deux points quelconques, aussi rapprochés qu'on veut, des points d'abscisse rationnelle ; il y a donc de tels points aussi près qu'on voudra d'un point de l'axe, soit en deçà, soit au delà. En particulier,

en prenant le nombre a de la forme — ^> on voit qu'il y a, aussi près

qu'on voudra de n'importe quel point de l'axe, des points dont l'abscisse est un nombre décimal, avec un nombre limité de chiffres; c'est d'ailleurs ce qui apparaîtra clairement au lecteur s'il veut bien se

(') Que cela soit possible, c'est un postulat qui est contenu dans l'idée vague de ligne droite.

(-) C'est encore là un postulat du même genre que celui qui a été signalé plus haut.

représenter l'axe X'X comme une sorte de règle divisée en mètres, décimètres, centimètres, etc. Le mot mètre est pris ici avec le sens dunité de longueur.

Soit M un point quelconque de la droite; on vient de dire que ce point tombe entre deux points A consécutifs, ou sur un point A. Ce dernier cas ne peut pas se présenter quand OM est incommensurable à UV, et cela quels que soient le segment UV (commensurable à UV), ou le nombre rationnel a.

Si le point M tombe entre deux points A consécutifs, je désignerai par A„ celui qui est en deçà de M, par A„^, celui qui est au delà; les abscisses de ces points, situés l'un et l'autre à une distance du point M inférieure à UV, seront /ia et (/i + i )a; nx est, par définition, la valeur approchée de l'abscisse du point M, à a près, par défaut ; {n-\- \)y. est la valeur approchée de l'abscisse du point M, à a près, par excès. Dans le cas exceptionnel où le point M tombe sur l'un des points A, sur le point A„, par exemple, dont l'abscisse est /la, on confond la valeur approchée de l'abscisse à a près, par défaut, avec la valeur exacte de cette abscisse; la valeur approchée, à a près, par excès, est toujours (/i + i)a. Dans tous les cas la valeur approchée de l'abscisse du point M, à a près, par défaut, est le plus grand multiple de a qui soit l'abscisse d'un point de l'axe situé en deçà du point M, ou coïncidant avec le point M; la valeur approchée, à a près, par excès, est le plus petit multiple de a qui soit l'abscisse d'un point de l'axe, situé au delà du point M.

Dans les expressions /îa, (/z + i)a de ces valeurs approchées, n est un entier positif, nul ou négatif; les mots plus grand et />/m5 petit qu'on a employés plus haut ont leur signification algébrique, en sorte que, si n est négatif, la valeur approchée par excès, (/i + i)a, est plus petite, en valeur absolue, que la valeur approchée par défaut.

11 convient encore de remarquer que les valeurs approchées, à a près, de l'abscisse du point M sont ainsi définies avant que cette abscisse ait elle-même été définie, lorsque OM est incommensurable à UV. Lorsque OM est commensurable à UV, les nombres «a, (/i + i)a sont bien les valeurs approchées du nombre /?i, abscisse du point M, au sens de l'Arithmétique, au moins lorsque m est positif; lorsque m est négatif, l'extension est toute naturelle.

Plaçons-nous dans le cas où OM est incommensurable à UV, et reportons-nous à la séparation des nombres rationnels en deux classes,

qui a été décrite au n" i; quel que soit le nombre rationnel positif a, ou le segment UV commensurable à UV, la valeur approchée par défaut, /la, sera l'abscisse d'un point A„ situé en deçà de M ; la valeur approchée par excès, (/i -|- i)a, sera l'abscisse d'un point A«^, situé au delà de M : no. appartiendra à la première classe, ce sera le plvis grand multiple de a contenu dans cette classe; (/i + i)a appartiendra à la seconde classe, ce sera le plus petit multiple de a contenu dans cette classe; puisque a peut être pris aussi petit qu'on le veut, on voit qu'il y a dans la première classe d'une part, dans la seconde classe de l'autre, des nombres qui diffèrent entre eux aussi peu qu'on le veut.

il n'y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe. Un nombre /• de cette classe est en effet l'abscisse d'un point R de l'axe situé en deçà du point M; entre R et M, il y a des points d'abscisse rationnelle : or l'abscisse d'un tel point est plus grande que r, et elle appartient à la première classe. De même, il n'y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

6. Les considérations qui précèdent sont purement théoriques : les opérations que l'on a décrites ne sont pas réalisables; on ne peut pas diviser effectivement un segment donné en un nombre de parties égales aussi grand qu'on le veut : au-dessous d'un certain degré de petitesse on ne pourra plus distinguer le segment UV ; on ne pourra plus distinguer les points A„, A„^< du point M; les segments UV, OM ne peuvent pas être délimités exactement. C'est sur une droite idéale, sur une droite et des points géométriques, que l'on a raisonné, non sur des éléments réalisables.

Il y a quelque chose d'un peu choquant à parler d'opérations irréalisables comme si l'on pouvait les effectuer, et il y a lieu de reprendre les considérations précédentes sur un problème purement arithmétique, où on les retrouvera dans tout ce qu'elles ont d'essentiel. La définition des nombres irrationnels se trouvera ainsi convenablement préparée.

Dans le numéro qui suit, les nombres dont il sera question seront de ceux que l'on considère en Arithmétique; ils ne seront jamais négatifs; je me dispenserai de toujours dire nombres positifs; quand

il sera question d'une différence entre deux nombres, on devra entendre la différence entre le plus grand et le plus petit.

7. J'emprunterai à l'Aiithmétique les propositions et notions que voici :

Il y a des nombres rationnels qui ne sont le carré d'aucun nombre rationnel ;

Etant donné un nombre quelconque, on sait trouver sa racine carrée à une unité près, par défaut, c'est-à-dire le plus grand nombre entier dont le carré soit inférieur ou égal au nombre donné;

La racine carrée d'un nombre A, à a près, par défaut, est un nombre de la forme net., où n est un nombre entier positif ou nul, qui vérifie les inégalités

(rta)îSA< [(rt-hi)a]î;

ce nombre entier n est entièrement déterminé quand on se donne A

et a; c'est la racine carrée, à une unité près, par défaut, du nombre —

ou de sa partie entière; (n -i- i)% est la racine carrée à a près, par excès.

Supposons, par exemple, qu'on prenne A =: 2, le problème qui consiste à trouver un nombre rationnel dont le carré soit égal à 2 est insoluble.

Le carré d'un nombre rationnel quelconque étant plus petit ou plus grand que 2, on peut ranger les nombres rationnels en deux classes dont la première contient tous les nombres dont le carré est moindre que 2, dont la seconde contient tous les nombres dont le carré est plus grand que 2; il est clair que tout nombre de la première classe est moindre que n'importe quel nombre de la seconde, puisque le carré du premier nombre est moindre que le carré du second.

Soit a un nombre rationnel quelconque; les racines carrées de 2, à a près par défaut et par excès, sont les nombres /la, (/i -i- i)a, où /i est un nombre entier positif ou nul tel que l'on ait

(/ia)2<-2<[(/î + i)a]2.

[Il n'y a pas lieu, ici, d'écrire (/?a)-^ 2, puisque l'égalité (/ia)-= 2 est impossible.] //a est le plus grand multiple de a qui figure dans la première classe, (/j + i)a le plus petit multiple de a qui figure dans la seconde; puisque a peut être supposé aussi petit qu'on veut, il y a

des nombres appartenant à l'une et à l'autre classe et qui diffèrent entre eux aussi peu qu'on le veut.

Les différences entre i et les nombres (ny.)^ et [(/i4- i)a]^ sont moindres que (n -\- i)-a- — n'-y.'-= (2/101. -+- a) a, moindres par conséquent que (2/?a + i)a, si Ion suppose a << i et, a forlioii^ que (2a + i)a, si l'on désigne par a un nombre dont le carré est plus grand que 2 et qui, par suite, est plus grand que /la. Dans les raisonnements qui suivent on prendra pour a un nombre fixe quelconque, qui satisfasse à la condition précédente.

Pour que (2a + i)a soit inférieur à un nombre £, il suffit de

prendre a^ : pourvu qu'il en soit ainsi, la différence entre 2

^ ia ^ i ^ ^ '

et [n'y.)-., ou [n -\- \)-y.-, sera moindre que s; on peut donc trouver, tant dans la première classe que dans la seconde, des nombres dont le carré diffère de i aussi peu qu'on le veut : si le problème qui consiste à trouver un nombre dont le carré soit égal à 2 est insoluble, il peut cependant être résolu avec l'approximation qu'on veut.

Il n'y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car s'il y avait un tel nombre r, on aurait /•- <C 2, puisque le nombre /• appartient à la première classe; or, on pourrait trouver dans cette même classe un nombre /*' tel que l'on eût 2 — /'-< 2 — r^, puisqu'on peut trouver des nombres dont le carré approche de 2 plus que ne fait r- : cette inégalité implique /'';> r. On démontrerait de même qu'il ne peut y avoir dans la seconde classe de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de celte classe.

Lorsque l'on se donne le nombre a, le nombre entier positif n qui vérifie la condition (noL)-<C 2 -< [(n -\- i)a]- est parfaitement déterminé, ainsi que les nombres na, (/i + i)a, les racines carrées de 2, par défaut et par excès à a près ; quand a change, tous ces nombres n, na, (/i + i)a changent : les quantités 2 — /i-a-, (/^^-l)a=^ — 2 moindres que (2aH- i)a, si a est moindre que i, restent aussi petites qu'on le veut, pourvu qu'on prenne a suffisamment petit; c'est ce qu'on exprime en disant que 2 est la limite des quantités (/la)-, (/i + i)-a'-^ quand a tend vers o.

8. Définition des nombres irrationnels. — J'arrive maintenant à la définition des nombres irrationnels. Supposons qu'on donne une

règle qui permette de décomposer tous les nombres rationnels en deux classes, telles que les nombres de la première classe soient plus petits que n'importe quel nombre de la seconde classe; on aura réalisé ce qui a été appelé plus haut une coupure. Il est à peine utile de formuler les trois observations suivantes, tant elles sont évidentes : si un nombre rationnel a appartient à la première classe, il en sera de même de tout nombre rationnel b plus petit que «; car si b n'appartenait pas à la première classe il appartiendrait à la seconde et, par conséquent, a devrait être plus petit que lui. Si un nombre i-ationnel a' appartient à la classe supérieure, il en est de même de tout nombre rationnel b' plus grand que a . Tout nombre de la seconde classe est plus grand que n'importe quel nombre de la première. Divers cas peuvent maintenant se présenter.

I. Il peut se faire qu'il n'y ait pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe et qu'il n'y ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe; c'est ce qui arrive quand on range dans la première classe les nombres rationnels négatifs, le nombre o, tous les nombres rationnels positifs dont le carré est moindre que 2 ; dans la seconde classe tous les nombres rationnels positifs dont le carré est plus grand que 2.

II. Il peut se faire qu'il y ait dans la première classe un nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe et qu'il n'y ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. C'est ce qui arrivera si l'on range dans la première classe le nombre 3 et tous les nombres rationnels plus petits que 3, dans la seconde classe tous les nombres rationnels plus grands que 3.

Soit A un nombre quelconque de cette seconde classe : entre A et.! il y a des nombres rationnels, qui appartiennent à la seconde classe puisqu'ils sont plus grands que 3 ; il y a donc, dans la seconde classe, des nombres plus petits que A : il ne peut pas y avoir, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

m. Il peut se faire qu'il n'y ait pas dans la première classe de nombre plus grand que les autres nombres de cette classe, mais qu'il

CHAPITRK 1.

y ait dans la seconde classe un nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. C'est ce qui arriverait si l'on rangeait dans la première classe tous les nombres rationnels plus petits que 3, dans la seconde le nombre 3 et tous les nombres rationnels plus grands que lui. Le même raisonnement que tout à l'heure montrerait alors qu'il ne peut y avoir dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe.

IV. Il ne peut pas se faire qu'il y ait à la fois dans la première classe un nombre A plus grand que tous les autres nombres de cette classe, et dans la seconde classe un nombre B plus petit que tous les autres nombres de cette classe. S'il en était ainsi, en effet, le nombre B, de la seconde classe, serait plus grand que le nombre A, de la première classe. Entre les nombres rationnels A et B il y aurait des nombres rationnels qui ne pourraient appartenir ni à la première classe, puisqu'ils dépassent le plus grand A des nombres de cette classe, ni à la seconde classe, puisqu'ils sont moindres que le plus petit B des nombres de cette classe. Tous les nombres rationnels n'auraient donc pas été rangés dans les deux classes.

9. Il convient de dire que, dans le cas II, la coupure définit précisément le nombre rationnel qui est le plus grand des nombres de la première classe; que, dans le cas III, la coupure définit précisément le nombre rationnel qui est le plus petit des nombres de la seconde classe; que, dans le cas I, la coupure définit un nombre irrationnel qui, par définition, est regardé comme plus grand que tous les nombres de la première classe, et comme plus petit que tous les nombres de la seconde classe, comme compris entre un nombre quelconque de la première classe et un nombre quelconque de la seconde classe.

Ainsi la séparation de tous les nombres rationnels en deux classes, dont la première comprend les nombres négatifs, le nombre o, les nombres positifs qui ont un carré moindre que 2, et dont la seconde contient tous les nombres positifs dont le carré est plus grand que 2, définit un nombre irrationnel, que l'on appelle la racine carrée àe. 2, et que l'on représente par le symbole y 2.

Bien entendu, il n'est pas actuellement permis de dire que le carré

NOMBRES IRRATIONNELS. l3

de ce nombre soit égal à 2 : on n'a pas encore dit ce qu'était le carré d'un nombre irrationnel.

De même, si l'on considère sur l'axe X'X un point M tel que le segment OM soit incommensurable à UV, ce point permet de définir une coupure appartenant au type I et, par conséquent, un nombre irrationnel : ce nombre est l'abscisse du point M.

Il ne sera pas inutile de remarquer qu'un point quelconque M sur l'axe X'X partage cet axe en deux demi-droites (D), (D') qui s'étendent indéfiniment, l'une vers la droite, l'autre vers la gauche : si l'on veut considérer ces deux demi-droites comme entièrement distinctes, comme n'ayant aucun point commun, il faut regarder le point M luimême comme appartenant à l'une des demi-droites et n'appartenant pas à l'autre, ou bien comme n'appartenant ni à l'une ni à l'autre. Dans le premier cas, chaque point de l'axe X'X appartient à l'une des demi-droites, et seulement à une. Dans le second cas, chaque point de l'axe, sauf le />oint M, appartient à l'une des demi-droites et seulement à une.

10. En adoptant la façon de parler que l'on a expliquée plus haut, on voit qu'à chaque point M de l'axe X'X correspond un nombre rationnel ou irrationnel. A un nombre rationnel donné correspond de même un point que l'on sait construire. Y a-t-il aussi un point qui corresponde à un nombre irrationnel donné, c'est-à-dire à une coupure du type I?

La réponse affirmative à cette question est, au fond, un postulat qu'il n'y a pas lieu de démontrer, mais que l'on peut illustrer par une image, un peu grossière, qui suffira, sans doute, à convaincre le lecteur que ce postulat est conforme à l'intuition vague que nous avons de la ligne droite. Dans cette image, on parlera de points bleus, blancs, rouges. 11 est à peine utile d'insister sur ce qu'il y a de vicieux dans cette façon de parler : un point géométrique, sans dimensions, ne peut être coloré.

Quoi qu'il en soit, supposons qu'on ait défini une coupure quelconque, qui permette de séparer tous les nombres rationnels en deux classes, chaque nombre de la première étant plus petit que n'importe quel nombre de la seconde. Cette coupure peut d'ailleurs appartenir à l'un ou l'autre des types ï, II. 111.

J'imagine qu'on marque en bleu chaque point de l'axe X'X dont

l4 CHAPITRE I.

l'abscisse est un nombre (rationnel) de la première classe, et qu'on colore en bleu toute la partie de l'axe qui est en deçà d'un tel point, puis qu'on marque en rouge chaque point de l'axe dont l'abscisse est un nombre (rationnel) de la seconde classe, et qu'on colore en rouge toute la partie de l'axe qui est au delà d'un tel point; enfin, que l'on appelle point blanc, tout point (s'il y en a) qui n'a été coloré ni en bleu ni en rouge.

Tout point d'abscisse rationnelle est rouge ou bleu.

Chaque point bleu est en deçà de n'importe quel point rouge; la partie bleue et la partie rouge n'empiètent pas l'une sur l'autre. Entre ces deux parties de la droite il n'y a pas d'intervalle blanc, il ne peut même pas y avoir deux points blancs, car entre ces deux points, s'ils existaient, devraient se trouver des points d'abscisses rationnelles, rouges ou bleus; s'il y avait, par exemple, un point bleu, celui des deux points blancs qui est en deçà de ce point bleu aurait dû être coloré en bleu :il ne peut donc y avoir sur l'axe qu'un seul point blanc.

Quoi qu'il en soit, la façon même dont la droite est séparée en une partie bleue et une partie rouge définit un point, soit qu'on regarde ce point comme étant bleu et limitant à droite la partie bleue (coupure du type II), soit qu'on le regarde -comme étant rouge et limitant à gauche la partie rouge (coupure du type III), soit qu'on le regarde enfin comme étant blanc et séparant la partie bleue de la partie rouge (coupure du type I). Dans ce dernier cas, le seul qui nous intéresse pour la réponse à la question posée, le postulat que j'ai prétendu illustrer par cette image revient à affirmer l'existence de ce point blanc. Dans ce cas, au delà de chaque point bleu, il y a encore des points bleus; en deçà de chaque point rouge, il y a des points rouges.

11. J'ai supposé jusqu'ici que les coupures que l'on considérait, permettaient de séparer tous les nombres rationnels en deux classes : il est manifeste que, si l'on définit un moyen de partager tous les nombres rationnels compris entre les deux nombres rationnels a et b {a <i b) en deux classes telles que chaque nombre de la première classe soit plus petit que n'importe quel nombre de la seconde classe, il suffira d'adjoindre à la première classe le nombre a et les nombres rationnels plus petits que lui, d'adjoindre à la seconde classe le

NOMBRES IRRATIONNELS. l5

nombre b et les nombres rationnels plus grands que b pour compléter les deux classes du n" 8, et définir ainsi un nombi'e rationnel ou irrationnel.

12. Il sera avantageux, pour l'uniformité du langage, de réunir en un même type les coupures des types II et III et de ne plus considérer que deux modes de décomposition des nombres rationnels : l'un en deux classes, l'autre en trois classes.

Si l'on a affaire à une coupure du type II ou du type III, on sépare les nombres rationnels en trois classes, dont l'une ne contient qu'un seul nombre, à savoir le nombre rationnel que définit la coupure, le plus grand de la première classe (type II), ou le plus petit de la seconde classe (type III) : ce nombi'e rationnel est alors supprimé soit de la première classe, qui ne contient plus que des nombres rationnels plus petits que lui, soit de la seconde classe, qui ne contient plus que des nombres plus grands que lui.

Je donnerai respectivement le nom de classe inférieure et de classe supérieure, à la première et à la seconde classe ainsi modifiées, et j'emploierai les mêmes mots pour désigner la première et la seconde classe d'une coupure du type I; la classe inférieure, telle qu'elle vient d'être définie, ne contient jamais de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe, la classe supérieure ne contient jamais de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. Si l'on a affaire à une coupure du type I, les nombres l'ationnels sont ainsi séparés en deux classes ; c'est cette séparation qui définit un nombre irrationnel. Si l'on a affaire à une coupure du type II, ou du type m, les nombres rationnels sont séparés en trois classes : la classe inférieure, la classe supérieure, et la classe intermédiaire composée d'un seul nombre, le nombre rationnel que définit la coupure.

On peut modifier légèrement l'image du n" 10 de manière qu'elle corresponde à ce nouveau point de vue; s'il s'agit d'une séparation en trois classes, on imaginera que le point d'abscisse rationnelle que définit cette séparation soit blanc, que tout point dont l'abscisse appartient à la classe inférieure soit bleu ainsi que tous les points situés à sa gauche, que tout point dont l'abscisse appartient à la classe supérieure soit rouge ainsi que tous les points situés à sa droite.

Qu'il s'agisse d'un nombre rationnel ou d'un nombre irrationnel, ce nombre est l'abscisse d'un point blanc, à gauche et à droite duquel

l6 CHAPITRE I.

s'étendent une demi-droite bleue et une demi-droite rouge; le point blanc limite, en quelque sorte, ces deux demi-droites colorées, auxquelles il n'appartient pas. L'image est la même dans les deux cas. L'analogie entre les deux sortes de nombres ressort mieux, mais elle ne doit pas faire oublier leur différence essentielle : un nombre rationnel est un nombre entier, ou une fraction à termes entiers, qui n'est autre chose qu'un système de deux nombres entiers; il s'exprime ainsi au moyen d'un nombre limité de chiffres. Un nombre irrationnel n'est pas susceptible d'une pareille représentation, ce n'est qu'une coupure, une règle pour séparer les nombres rationnels en deux classes; ce n'est pas un ou deux nombres entiers, c'est une infinité de nombres entiers ou fractionnaires, une infinité de chiffres qu'il faut pour le définir. Alin de pouvoir raisonner à la fois sur les nombres rationnels et irrationnels, ou, comme on dit, sur les nombres j'éels, on a introduit plus haut les classes inférieure et supérieure relatives à un nombre rationnel; mais cette introduction n'ajoute rien à l'idée d'un tel nombre et lui est, en quelque sorte, postérieure. Au contraire, il n'y a rien de plus, dans l'idée d'un nombre irrationnel, que ces deux classes inférieure et supérieure : c'est elles qui le constituent. On ne peut représenter un tel nombre que par un symbole, une lettre par exemple, ou une façon d'écrire, comme y'2, qui, lorsqu'on va au fond des choses, doit toujours rappeler cette décomposition en classes à laquelle les pages précédentes ont été consacrées. Quand on a dénommé ainsi un nombre irrationnel, en parlant des classes inférieure ou supérieure relatives à ce nombre, on entendra parler des classes qui le définissent.

En disant qu'il est plus grand que, le nombre rationnel a, et plus petit que le nombre rationnel 6, ou encore qu'il est compris entre a et 6, que la coupure qui le définit tombe entre a et 6, au delà de a, en deçà de b, on entend simplement que a appartient à la classe inférieure, que ^ appartient à la classe supérieure. Au reste ces façons de parler peuvent évidemment s'employer pour un nombre rationnel aussi bien que pour un nombre irrationnel.

13. Je dois m'arrêter un peu sur la représentation décimale d'un nombre irrationnel ; le lecteur suivra sans peine les explications relatives à ce sujet, s'il veut bien se représenter l'axe X'X comme une sorte de règle divisée, indéfinie dans les deux sens, se reporter à la

façon dont on mesure eflTectiveinent une longueur et imaginer qu'on puisse poursuivre indéfiniment des opérations qui, dans la pratique, sont forcément limitées. Pour nous conformer à des habitudes de langage qui lui sont familières, appelons /nètreVnnilé de longueur : sur l'axe X'X, on a marqué o à l'origine, puis i, 2, 3, ... à droite, — 1 , — 2, — ^, ... à gauche, afin de distinguer les points qui sont à une distance de l'origine égale à un, deux, trois, . . ., mètres. L'axe est ainsi divisé en une infinité d'intervalles égaux chacun à un mètre ; chacun de ces intervalles est ensuite divisé en dix décimètres, chaque décimètre en dix centimètres, chaque centimètre en dix millimètres, .... Si l'on considère un point quelconque A de l'axe, on pourra lire facilement sur la règle divisée les valeurs approchées par défaut ou par excès de de son abscisse à un mètre, un décimètre, un centimère, un millimètre près. Il est d'ailleurs clair qu'au lieu de diviser l'axe de celte façon, on peut le diviser et le subdiviser autrement; je supposerai toutefois que les subdivisions d'un certain ordre soient toujours égales entre elles.

Soit A un nombre irrationnel donné : il faut, comme on l'a déjà dit, entendre par là qu'on se donne un moyen pour pratiquer une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels, pour reconnaître si tel nombre rationnel que l'on veut appartient à la classe inférieure ou à la classe supérieure. Considérons la progression arithmétique indéfinie dans les deux sens dont le nombre rationnel positif a est la raison et dont o est un terme. La coupure qui définit A tombe forcément entre deux termes consécutifs nx, (/? + i)a de cette progression ; le premier de ces nombres est le plus grand multiple de a qui appartienne à la classe inférieure relative à A, c'est par définition la valeur approchée de A à a près, par défaut ; le second (n -f- i)a est le plus petit multiple de a qui appartienne à la classe supérieure, c'est la valeur approchée de A à a près, par excès.

Entre deux termes consécutifs quelconques de cette progression, insérons k — i moyens, de manière à former une nouvelle progression

arithmétique indéfinie dans les deux sens dont la raison soit ^ =: -7,

et qui englobe la progression arithmétique de raison a ; la coupure qui définit A tombera entre deux termes consécutifs de cette nouvelle progression ; le plus grand de ces deux termes doit appartenir à la classe supérieure; il est, par conséquent, plus grand que wa; le plus T. 2

l8 CHAPITRE I.

petit doit appartenir à la classe inférieure; il est donc moindre que (/î + i)a; autrement dit, il n'j a pas lieu de considérer les termes de

la progression l'n dé finie, de raison ^= j, qui précèdent noL ou qui

suivent (/i +• i)a, mais seulement la progression limitée

nk<^, (nk-hi)^, ..., (nk-hk)^,

que l'on obtient en insérant k — i moyens entre noL = nk'^ et (n + i)a = (/?/: + k)'^. La coupure qui définit A tombe nécessairement entre deux termes consécutifs de cette progression limitée : si l'on désigne ces deux termes par (nk -i- r)*^ et {nk + r -\- i)'^, le premier est au moins égal à /«a, le second est au plus égal à (« + i)a; ces termes sont les valeurs approchées de A, à ,3 près, par défaut et par excès.

Remarquons en passant que, si l'on désigne par p'^ la valeur approchée de A à ^ près par défaut, on a

p = nk -+- /-, o ^ /• < k,

en sorte que n est le quotient entier de la division de p par k et /• le reste (' ).

Il est clair qu'on peut continuer ainsi, insérer / — i moyens arithmétiques entre p^ et {p^\)[i, et former une progression arithmétique dont la raison soit y = y , ....