A (B'G"— B"G') + A'(B"G— BG")+ A"(BG'— B'G) = A

Le premier membre est formé au moyen des quantités A, ..., C" exactement comme A est formé au moyen des quantités a, . . ., c".

Il résulte des identités (8) que, si A est nul, en vertu des valeurs attribuées à a, . .., c", les éléments de l'une quelconque des lignes horizontales qui figurent dans le tableau

sont proportionnels aux éléments correspondants qui figurent dans uiie autre ligne horizontale; de même, pour les lignes verticales; plus particulièrement, en supposant toujours que A soit nul, si l'un des éléments du tableau précédent est nul, ou bien tous les éléments de la ligne horizontale qui contient cet élément, ou bien tous les éléments delà ligne verticale qui le contient, sont nuls.

Les diverses propriétés des polynômes A, . . ., G", A que l'on vient de développer appartiennent à une théorie dont on développera les éléments dans le Chapitre suivant; elles interviennent assez souvent pour qu'il soit utile de se familiariser avec elles, indépendamment du symbolisme propre à cette théorie.

136. Je me bornerai à faire une application des identités (2) du numéro précédent à la question même qui a été mon point de

départ, à savoir la résolution des équations X:^o, Y = o, Z=:o dans le cas où A n'est pas nul. Récrivons les identités (2) (en x^ y, z) du n" 134 sous la forme

!AX M- A'Y -+- A"Z = AiF -+- P, BX+B'Y-f-B"Z = A^4-Q, G X + G' Y + G"Z = Az + R,

en posant, pour abréger,

q = Bd-hB'd'-^-B"d'',

R^Cd-^C'd'+G'd".

Les identités (i) montrent, comme je l'ai déjà fait observer, que les équations X = o, Y = o, Z = o ne peuvent être vérifiées si l'on ne prend pas

si l'on ne veut pas faire appel au raisonnement du n" i32, il resterait à vérifier que ces valeurs de x, y, z satisfont aux équations X =: o, Y = o, Z = o; on peut éviter cette vérification, d'ailleurs aisée, comme il suit :

En multipliant les égalités (10) respectivement par a, b, c, ou par a', 6', c', ou par a", 6", c", en les ajoutant et en tenant compte des relations (2), du numéro précédent, on trouve

AX = a (Aa? -t- P) + 6 (A^ + Q) -+- c (A3 H- R), (2) / AY = a'(Aa;+ P)-i-6'(Aj'-t-Q)-l-c'(A3-)- R),

AZ = a"(Aa7-4-P) + 6''(AjK-+-Q)-Hc"(A3-t- R),

ces égalités, où, comme dans les égalités (i), X, Y, Z doivent être remplacés par

ax ■^- by -^ cz -\- d, a' x -\- b' y -\- c' z -\- d' , a" x -^ b" y -\- c' z -\- d',

sont, comme les égalités (i) d'où elles ont été déduites, des identités en a?, y, z ; elles montrent évidemment, sous la condition que A ne soit pas nul, que, si l'on attribue k x^ y, z les valeurs qui annulent \x H- P, ^y + Q, A^ H- R, les polynômes X, Y, Z sont certainement nuls.

En résumé, quand A n'est pas nul, le système

X = o, Y = o, Z = o, et le système

Aj7 -f- P = o, A^ -t- Q = o, Az -1- R = o,

sont équivalents. Plus particulièrement, quand A n'est pas nul le système

ax-\-by-\-cz^=o.

et le système ^ = o, y = o, s = o sont équivalents,

137. Si les formules générales qui donnent, en fonction des coefficients, les trois inconnues d'un système de trois équations du premier degré, ou plus généralement les n inconnues d'un système de n équations, conduisent, comme on vient de le voir et comme on le verra plus tard, à d'intéressants développements théoriques, il est très souvent avantageux, lorsqu'on a à résoudre un système particulier d'équations, de le traiter directement, sans avoir recours à ces formules générales, et de profiter de la forme particulière de ces équations.

Celles-ci peuvent présenter quelque symétrie dont on puisse tirer parti; on en a vu un exemple au n° 13!2; souvent, c'est une inconnue auxiliaire qu'on est amené à prendre.

Si l'on a affaire, par exemple, au système

abc Aa^-f-BjH-C^ = D,

on prendra pour inconnue auxiliaire la valeur t commune aux trois rapports qui figurent dans les deux premières équations, d'où l'on tirera

X = at, y = bt, z = et,

jet, en portant dans la dernière, on aura

(Aa-H BÔH- Ce); = D,

en sorte que la solution des équations proposées sera

«D bP cD

^ " Xa^Bb^Cc' ^ ~ Aa^Bb^Cc' ^ ~ ka^ Bè^Cc'

en supposant que Art + B/> + Cc soit diflerent de o. Considérons encore les équations

A.r — ^.{ax -\- b y -\- cz -\- d) =^ P, By — '^{ax ■+-by-{-cz-hd) = Q, C^ — ^( (a X -\- b y -{- c z -i- d ) = R.

On voit que, si l'on connaissait la valeur de

ax ^ b y -h c z ^ d,

on obtiendrait de suite les valeurs de x, y, z ; on est donc amené à substituer au système précédent le système d'équations à quatre inconnues

ax-i-by-^-cz-+-d= u.

Xx--au = P, BjK-^« = Q, C^— Y" = R;

ou, en supposant A, B, G différents de o,

la dernière équation détermine la valeur de u, en supposant toutefois que -j- -h g + TT- — I soit ditterent de o; il ne reste plus qu a substituer cette valeur de u dans les expressions de ^, JK? 2-

Lorsqu'on applique, soit partiellement, soit d'une façon régulière, la méthode de substitution à un système d'équations données, il y a évidemment intérêt à commencer la résolution par celle des inconnues qui fournira l'expression la plus simple au moyen des autres inconnues, soit parce que cette expression contiendra moins d'iirconnues, soit parce que les coefficients se trouvent être des nombres entiers, ou pour toute autre raison analogue.

Considérons, par exemple, le système

JK = ^,

^ -\- y — 3 = 3, 'iz -h iy — 2 37 = 6,

on le remplacera de suite par les systèmes

IX — 3 = 0, a7=y=-»

Le lecteur reconnaît combien l'emploi des formules générales pour des cas comme ceux qu'on vient de traiter serait peu avantageux.

138. Je ne me suis occupé dans ce qui précède que de la résolution exacte d'un système d'équations. Dans la pratique, il arrive fréquemment, d'une part, que les coefficients ne soient connus qu'imparfaitement et, d'autre part, que ces coefficients, mis sous forme entière ou décimale, comportent un assez grand nombre de chiffres. Même lorsqu'il s'agit de questions purement théoriques, si les coefficients se trouvent être des nombres irrationnels, il faudra bien, pour etfectuer les calculs, les remplacer par des valeurs approchées, et il est clair qu'on ne pourra obtenir qvie des résultats approchés pour les valeurs des inconnues. Enfin, il est à remarquer que si, en partant d'équations dont les coefficients, écrits sous forme décimale, comportent seulement quatre chiffres significatifs, par exemple, et qu'on eff'ectue tous les calcvils exactement, on obtiendra les inconnues sous forme de fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur comporteront un très grand nombre de chiffres, chiffres dont les derniers n'auront aucune valeur, si les données dont on est parti ne sont pas sûres.

11 est alors raisonnable d'employer la méthode de substitution, en faisant au fur et à mesure les divisions, multiplications et additions dont on a besoin et en ne conservant pour chaque résultat qu'un certain nombre de chiffres; ce nombre de chiffres dépendra naturellement de l'approximation avec laquelle sont connus les coefficients et de celle qu'on veut obtenir : il est assez naturel de conserver, à chaque fois, un peu plus de chiffres qu'il n'est nécessaire, en sorte que les erreurs qui

résultent des chiffres négligés soient petites devant l'erreur qui résulte de l'imperfection des données, ou au moins du même ordre. D'ailleurs, si l'on a des limites pour les erreurs dont sont entachées les données, des règles d'arithmétique bien connues (') permettent d'évaluer, à chaque opération, une limite de l'erreur dont est entaché le résultat, soit à cause des erreurs primordiales, soit à cause des chiffres négligés, en sorte qu'on parvient finalement à une limite de l'erreur dont peuvent être entachées les valeurs des inconnues.

Quand on procède de cette façon, il est recommandé, contrairement à ce qu'il est naturel de faire lorsqu'on procède à la résolution exacte, de résoudre d'abord par rapport à celle des inconnues qui a le plus gros coefficient, en sorle que, dans les formules intermédiaires que l'on obtient ainsi, les coefficients des autres inconnues soient des

(') Imaginons qu'on opère sur deux nombres (positifs) approchés A, B, au lieu d'opérer sur les nombres exacts A + a, B -h p et désignons par a', p' des nombres positifs dont on sait qu'ils sont égaux ou supérieurs aux valeurs absolues des erreurs a, ^ : a', P' sont des limites supérieures de ces erreurs. On doit supposer a', p' petits par rapport à A, B ; lorsque A, B sont écrits sous forme décimale, a', P' sont, d'ordinaire, à peu près de l'ordre des unités des derniers chiffres. S'il s'agit d'une addition ou d'une sousti'action, l'erreur commise sera moindre (en valeur absolue) que a'-i-P'; s'il s'agit d'une multiplication, l'erreur commise sera moindre que (B+P') a'-f- Ap'; on calcule grossièrement cette erreur en remplaçant A et B + p' par des valeurs plus simples, notoirement trop fortes, obtenues, p;ir exemple, en forçant le premier chiffre significatif de A et de B. S'il s'agit d'une division, l'erreur

A + a A Ba — Ap a A p

B + p B B(B + p) B-i-p BB + p est moindre en valeur absolue que

où B' désigne un nombre positif inférieur ou égal à B+P; pour calculer cette erreur, on remplacera B' par un nombre notoirement trop petit : on pourra, par exemple le plus souvent, ne conserver que le premier chiffre significatif de B et remplacer les

suivants par des zéros; on remplacera — par un nombre notoirement plus grand,

obtenu, par exemple, en forçant le premier chiffre du quotient.

Ces formules se simplifient un peu si l'on remplace a', p' par le plus grand de ces deux nombres. On peut d'ailleurs obtenir des résultats plus précis lorsque l'on connaît le signe de a et de p.

Enfin, il ne faut pas oublier d'ajouter à ces erreurs celle qui provient de ce que l'opération ne se fait pas exactement, de ce qu'on supprime les chiffres à partir d'un certain rang.

nombres décimaux sans partie entière : on sait, en effet, que l'erreur (absolue) dont est entaché le quotient d'une division dont le diviseur est inexact est d'autant plus faible que ce diviseur est plus grand .

Afin de mieux faire comprendre tout ceci, je vais faire les calculs sur un exemple numérique, dans lequel les coefficients ont d'ailleurs été pris au hasard.

Soit à résoudre les deux équations en x^ y

'ii-jSx — 8'24^JK — 74^5=0, 6287a? -+- l'jil^y — 6282 = o.

Je suppose que les erreurs commises sur les coefficients soient moindres que - :^ o,5. On tire de la première de ces équations

puis, en substituant dans la seconde,

En appliquant au calcul de a et de 6 la règle que l'on a rappelée dans la note précédente, on voit de suite que les erreurs dont seront entachés les résultats, par suite de l'inexactitude des termes des deux fractions, seront moindres respectivement que les nombres

et, par conséquent, moindres que En calculant les quotients

avec une erreur au plus égale à 5 l'erreur finale, pour chacun des

nombres cherchés, sera moindre que

8000 20000 5ooo' on trouve ainsi

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. SSg

Pour calculer A et B, on a à faire deux multiplications. Si on les faisait exactement, les erreurs sur les produits, provenant de l'inexactitude des facteurs, seraient moindres que

3ooo . 3ooo

V ho,4xo,5, hO,3,

5ooo 5ooo

moindres, par conséquent, que 0,8 et 1,1. Il ne serait guère raisonnable, dans les produits, de chercher une approximation meilleure

que — =: o,o5; on pourra, pour les évaluer, se servir delà méthode

abrégée. En tenant compte de toutes les erreurs, on voit que A, B peuvent être connus ainsi avec des erreurs moindres respectivement

que

On trouve en procédant ainsi A = 7869,2, B = 8685,8. Si donc on prend A = 7869, B = 8686, les erreurs seront moindres que 1 , 35 -4- o, 2 et 1 ,65 + o, 2 ; elles seront moindres que 2.

On aura ensuite à calculer j; = ; l'erreur qui résulte de l'inexactitude des valeurs précédentes de B et de A sera moindre que

En calculant le quotient de la division de 8686 par 7869 avec une erreur moindre que o,oooo5 on trouve 1,1787 : si donc on prend pour a: la valeur 1,179, Terreur sera moindre que

o,ooo63 -i- o.oooo5 -+- o,ooo3 < o.ooi. Il reste, en adoptant cette valeur pour .r, à calculer

JK = 0,3972 a- — 0,9008;

dans le second membre, les coefficients sont connus avec une erreur moindre que ^ — ; l'erreur totale, en supposant la multiplication faite exactement, serait donc moindre que

-z X I,2-t-0,00IX 0,4-+- = 0,0002 X 1,1 -h 0,0004 = 0,00084-

5ooo DOOO

En calculant le produit 0,89^3 x 1,179 de manière que l'erreur, sur ce produit, soit au plus égale à o,oooo5, on trouve 0,4684, d'où, pour y, une valeur — o,4324 approchée avec une erreur moindre que 0,0009; si l'on prend jK = — o,432 l'erreur sera sûrement moindre que o,ooi3.

En substituant à la place de .r, y dans les premiers membres des équations proposées les valeurs 1,179 et o,432 on trouve (approximativement) 2,8 et 3,5 : ces nombres sont petits par rapport aux coefficients et le résultat est satisfaisant.

Les calculs ont été dirigés de manière, d'une part, à éviter l'emploi de trop de chiffres, d'autre part, à tirer des données, je ne dis pas tout le parti possible, au point de vue de l'approximation des résultats, mais au moins un bon parti. Il y a évidemment quelque arbitraire dans la façon dont l'on peut apprécier ces deux avantages. On aurait pu, en poussant plus loin les opérations, avoir une approximation légèrement meilleure; on aurait pu faire les calculs plus grossièrement en se contentant d'une approximation moindre.

Dans la pratique, les calculs de cette sorte se feront le plus souvent en s'aidant soit d'une table de logarithmes, soit d'une règle à calcul. Si l'on se sert d'une table et qu'on veuille une bonne approximation, il sera naturel de faire les calculs avec un peu plus de précision qu'il n'est nécessaire. L'emploi d'une table à cinq décimales serait, pour l'exemple précédent, assez raisonnable, mais non d'une table à sept décimales. Les calculs faits au moyen d'une table de logarithmes et d'antilogarithmes à quatre décimales, dont on connaît la grande commodité, sont indiqués ci-dessous; on constate que le résultat est satisfaisant.

loga = 3,5i54 — 3,9161 = 1 ,5993,

logé = 3,8707 — 3.9161 = 1,9546;

log(2724«)= 3,4352-1-1 ,5993 = 3,0345,

Iog( 27-24 ^ ) = 3 , 4352 -I- 1 , 9546 = 3 , 3898 ;

2724» = io83, A = io83 -I- 6287 = 7370,

logB = 3,9388, loga; = logB — logA = 0,0713,

logA= 3,8675, 37 = 1,179;

Iog(aa7)= 1 ,5993 -t- 0,0713 = I ,6706, a:r= 4,4684, y = ax — 6 = 0, 4323.

Revenons au calcul comme on l'a fait tout d'abord, de manière à

obtenir une limite certaine de l'erreur commise sur les résultats, quand on connaît une limite de l'erreur commise sur les données ; cette dernière limite, dans l'exemple traité, est voisine de 0,00 1 : il ne faut pas croire qu'on obtienne toujours d'aussi bons résultats quand on résout des équations du premier degré dont les coefficients ne sont connus qu'approximativement. Conservons les mêmes notations que plus haut,

a; = -, y = ax — b,

pour les deux équations auxquelles on est amené en cherchant à résoudre un système de deux équations à deux inconnues : s'il arrivait que le nombre calculé pour A fût du même ordre de petitesse que l'erreur possible, il n'y aurait à peu près rien à tirer du résultat, puisque o se trouverait être une valeur possible de A; les équations pourraient être impossibles, ou, si B était aussi du même ordre de petitesse que A, indéterminées. Dans tous les cas, la petitesse du nombre trouvé pour A doit éveiller l'attention : elle introduit, d'ordinaire, une incertitude notable dans les résultats.

Il est à peine utile de dire que, si l'on a traité un exemple relatif à deux équations, la méthode s'applique à la résolution numérique d'un système de n équations à n inconnues; en procédant d'une façon analogue à celle que j'ai indiquée, on sait, à chaque pas, sur quelle approximation on peut compter.

EXERCICES