X.ç — a^^i X| — a^^2 Xo — . . • — a,;^,.X,. — ^s,r+i

qui deviennent identiquement nuls quand on y remplace X,, X2, ..., X,. par leurs expressions explicites en .r,, X2, ..., x,i sont indépendants, lorsqu'on y regarde les lettres X,, X2, ..., Xp comme désignant des variables, comme il résulte du n" 153. Ainsi, quand le système X,, X2, . . ., X^ est de rang /• <^ />, il y a /> — r polynômes du premier degré en X,, X2, . . ., Xp, indépendants quand on regarde ces lettres comme représentant des variables, et qui s'annulent identiquement lorsqu'on remplace X|, X2, ..., X^ par leurs expressions explicites en j:, , x-i^ . . ., x„-

Réciproquement, l'existence d'un seul polynôme du premier degré en X), Xo, ..., X^, à coefficients non tous nuls, qui devienne identiquement nul quand on y remplace X,, X2, ..., X^ par leurs expressions .r,, x^-, •••■, x^ ou, ce qui revient au même, l'existence d'une seule relation de la forme

ÀiX, -I- XîXoH-. . .-HÀ/, X/,-f-X,,+ , = o,

dans laquelle tous les nombres À,, X^t •■•■> ^^/>+i ^^ sont pas nuls, et qui est identiquement vérifiée quand on y remplace X4, Xo, . . ., X^ par leurs expressions explicites en a,, x-^. • • ., x,i, entraîne la dépendance de X|, X2, ..., Xy,; car, si, dans cette relation, le coefficient de l'un des polynômes X,, Xo, . . ., X^ n'est pas nul, la valeur de ce polynome-là, en vertu de l'identité supposée, est déterminée par la valeur de tous les autres polynômes. D'ailleurs, dans cette identité, les coefficients de X,, Xo, ..., X^ ne peuvent être tous nuls, puisque, s'il en était ainsi, l'identité même exigerait que ^^p+t fût nul.

Désignons par P,, P2, ..., Pv v polynômes du premier degré en X,, X2, ..., Xyr,, de rang 0, quand on y regarde X,, X2, ..., X^, comme les variables; lorsque, dans P, , P2, ..., Pv, on remplace X<,

Sgo CHAPITRE X.

X2, ..., X^ par leurs expressions explicites en jp,, x-^^ ..., Xn^ les polynômes P,, P^, ..., Py deviennent des polynômes du premier degré en ^,, x.^^ ..., Xn\ si, comme je le suppose dans ce qui suit, les polynômes X,, X^, • . . , X^ sont indépendants, les polynômes P|, P2, ..., Pv, regardés comme des polynômes en ^,, x-i-, ..., ^«, sont encore de rang p. C'est ce que je vais établir.

Supposons d'abord que P,, P2, ..., Py, regardés comme des polynômes en X|, X2, ..., X^, soient indépendants; je vais montrer qu'ils sont encore indépendants quand on les regarde comme des polynômes en ^^, Xi^ ..., x,/. En effet, on peut alors trouver des valeurs A,, Aa, . . ., A^, pour X,, X2, . . ., X^, qui fassent acquérir à P,, P2, ..., Pv telles valeurs que l'on voudra, puis des valeurs pour Xi, X21 ..., x,i qui fassent acquérir à X,, X2, ..., X^ les valeurs A,, A2, . . ., Ap, et, par suite, à P,, Pg, . . ., Pv telles valeurs que l'on veut.

Si, maintenant, P,, P2, . . ., Pv, regardés comme des polynômes en X,, X2, . . ., Xp, sont de rang p, on peut, en restant au même point de vue, supposer que Pi, P2, . . ., Pp soient indépendants; les autres polynômes Pp+i, Pp+25 •••5 Pv s'expriment alors au moyen de P», P2, . . ., Pp par des relations qui sont identiques en X, , X2, . . ., X^, qui le sont encore en Xf, x^, ••., ^«, quand on a remplacé X,, X2, ..., Xp par leurs expressions explicites. Mais P), P2, ..., Pp, regardés comme des polynômes en Xx^x^, ..., x„, sont indépendants, d'après ce qu'on vient de dire; les autres polynômes Pp+i, ..., Pv dépendent de ceux-là; la proposition énoncée est donc démontrée.

Le rang p des polynômes P, , P2, . . ., Pv est égal ou inférieur à/?, ainsi qu'il est évident lorsqu'on regarde, dans ces polynômes, X,, X2, ..., Xp comme les variables : ceci subsiste, lors même que les polynômes ( en a?, , ^^2 ? • • • j ^// ) X ( , X2 , . . . , X ^ ne sont pas indépendants, car s'ils sont de rang r, on peut, en supposant X, , X2, . • . , X^ indépendants, exprimer les polynômes suivants X,-^,, Xr^.2, ..., Xy, au moyen de Xi , X2, . . ., X^, puis remplacer X^^, , X^^2 5 • • • 1 X^ parleurs expressions dans P), P2, ..., Pv, qui deviennent alors des polynômes du premier degré en X|, X2, ..., X,., polynômes dont le rang, si on les considère comme des polynômes en X, , X2, . . ., X;., ne peut dépasser /•; or ce rang reste le même quand on remplace les polynômes indépendants X,, X2, . . ., X,- par leurs expressions explicites en X\^ '^29 * * *7 ^/i*

IIÉTERMINANTS. Sgi

Il résulte de là que p polynômes X,, Xo, ..., Xp du premier degré en x,, ^^2, . . ., Xa et de rang /•, qui, comme on l'a vu, peuvent s'exprimer au moyen de /■ polynômes indépendants, des r polynômes X,, X2, ..., X^ par exemple, si ceux-là sont indépendants, ne peuvent certainement pas s'exprimer au moyen d'un moindre nombre de polynômes, puisque, si X,, Xo,^ . ., X^. s'exprimaient au moyen de moins de r polynômes, ils ne seraient pas indépendants. Le rang d'un système de polynômes du premier degré est le nombre minimum de polynômes du premier degré au moyen desquels ils puissent s'exprimer.

138. Ce qui précède permet de compléter ce que l'on a dit plus haut de la résolution d'un système d'équations du premier degré.

Plaçons-nous de suite dans le cas le plus général, celui où l'on a affaire à p équations à n inconnues. Je désignerai, en conservant d'ailleurs les notations précédentes, par X,, X2, . . ., X^ les premiers membres de ces équations, et je désignerai par /• le rang de ce système de polynômes du premier degré.

Si /• est égal à /?, les équations admettent certainement une solution; dans ce cas, on a nécessairement n^p. Si n est égal à />, il y a une solution et une seule. Si le nombre n des inconnues dépasse le nombre p des équations, on considérera celles des inconnues dont les coefficients sont les éléments de ce déterminant du p'*"^^ ordre qui, par hypothèse, n'est pas nul : supposons que ces inconnues soient a;,, x^^ ..., Xp\ on résoudra les équations par rapport à jp,, ^2, . . ., Xp, comme si les /i — p autres inconnues Xp^\^ Xp^2, . . ., x,i étaient connues, en appliquant la méthode du n" loO; c'est alors, dans chaque équation, un polynôme en Xp^,, -^p+i^ • --j ^n qui joue le rôle de terme tout connu ; les expressions que l'on trouve ainsi pour Xx^ X21 •.., Xp étant Jinéaires par rapport aux termes tout connus, sont des polynômes du premier degré en Xp^t, Xp^^, . . .. x«. D'ailleurs, d'après le n" 150, les équations qui expriment ainsi Xt, X2, . . -, .r^ au moyen de Xp^,, Xp^-,-, • ••■, ^n sont équivalentes au système proposé; en sorte qu'on vérifie ce système en attribuant à Xp^i^ Xp^2i •••■, Xn des valeurs arbitraires et en prenant pour .r,, Xi, . . ., ^yr, les valeurs qui en résultent et que, réciproquement, dans toute solution du système, les valeurs des inconnues doivent être liées par les relations auxquelles on est ainsi parvenu. En d'autres

392 CHAPITIIE X.

termes, les équations qui expriment a?,, ^2? ••■, Xp au moyen de ^yj+t, Xpj^.2^ ..., x,i fournissent la solution la plus générale du système proposé.

Supposons r<ip; il y a, parmi les polynômes X,, Xj, ..., X,,, r polynômes indépendants; je suppose que ce soient les polynômes X,, Xo, . . ., X,-, et que le déterminant des coefficients des inconnues Xi, .ra, ..., .Tr dans ces polynômes ne soit pas nul; on résoudra, comme on vient de l'expliquer, les équations X, = o, X2=o, ..., X^= o par rapport à ^, , a^a, . . ., Xr, qui, dans le cas où /• est inférieur à n, s'exprimeront ainsi par des polynômes du premier degré eu Xr+ii Xr+-2^ •••', x,i, et l'on substituera ces polynômes, à la place de X,, X.2, ..., ^^, dans les équations restantes X^^, = o, X^^2= o, ..., Xp=o. Les inconnues .Xr+f, Xr+oi .••, x„ disparaîtront d'ellesmêmes; en effet, si l'on désigne par X^ l'un des polynômes X^^,, . . ,, Xp. on a entre ce polynôme et les polynômes indépendants X,, X2, ..., X^ une relation identique, à coefficients constants, de la forme

Quand on fait la substitution, X,, Xo, ..., X^ sont nuls, quelles ques soient les valeurs attribuées à Xr^t, Xr+2, • • •■, Xn^^s se réduit donc identiquement à la constante a^,r+i • Si l'une des constantes a^ r+i r où s désigne l'un quelconque des nombres r H- i , r + 2, . . ., /i, n'est pas nulle, les équations proposées sont incompatibles; si toutes les constantes a^,/-+i, ou tous les déterminants du (r + i)'»^""' ordre :

ct^ t ^2 2 ^r,l ^/•,2

Ctr^r ^i\n-k-\

auxquels on donne quelquefois le nom. de déterminants caractéristiques du système d'équations, sont nuls, les équations X, = o, X2 =0, . . . , Xr = o entraînent les équations X;.^, = o, X, .,.2 := o, .-.. . , Xp:= o : donc la solution la plus générale est fournie par les expressions de Xf, Xo, . . ., Xr au moyen de Xr+t, Xr+i-, . . ., x„, que l'on a commencé par former.

DÉTERMINANTS. SqS

On n'oubliera pas qu'on est certainement dans le cas r<ip, si l'on a n <ip.

En résumé, un système d'équations du premier degré peut avoir une solution et une seule (p =^ n = /), peut être impossible (/-</>, un déterminant caractéristique non nul), peut admettre une inlinité de solutions; dans ce dernier cas, la solution la plus générale s'obtient en laissant n — /• inconnues arbitraires, les /' autres s'expriment au moyen de celles-là.

159. Les théories précédentes, relatives aux systèmes de polynômes du premier degré et aux équations du premier degré, se simplifient notablement quand on suppose homogènes tous les polynômes auxquels on a affaire, quand on suppose que, dans les équations, les termes tout connus sont nuls : les équations sont dites alors Unéaii'es ; au lieu de l'expression polynômes homogènes du premier degré j'emploierai l'expression yb/v?ze5 linéaires. Il suffira, pour se placer dans ce cas, sur lequel je vais maintenant m'arrêter, de supposer, dans les notations antérieures, que les quantités ai,//^.!, «:!,«4.f, . . ., «/>,h+i sont toutes nulles. Les définitions de l'indépendance et du rang subsistent sans modifications.

On remarquera d'abord que, si les équations en .r,, x.,, . . ., x„,

sont linéaires, au sens que je viens de dire, le cas d'impossibilité ne peut se présenter, puisque ces équations sont évidemment vérifiées quand on suppose toutes les variables nulles. A.u surplus, on reconnaît immédiatement que, dans ce cas, les déterminants que l'on a appelés caractéristiques sont tous nuls.

On remarquera ensuite que, si les formes X,, Xo, ..., X^ sont linéaires en ^,, Xo, ..., x,i, il ne peut exister entre elles de relation identique, à coefficients constants, de la forme

XiXj -+- À^X,-!-. . .-f- X,,X.,i -t- X/;Hi = O)

sans que /^p+{ soit nul : en effet, la relation précédente doit être vérifiée quand on suppose nulles toutes les variables et, par conséquent, toutes les formes X,, X2, . . ., X;,; en d'autres termes, la relation considérée doit être elle-même linéaire en X,, X2, .,. ., X^ :

on peut donc énoncer la proposition suivante : la condition nécessaire et suffisante pour que les formes X), Xj, ..., X^ soient indépendantes est qu'il n'existe pas de constantes )v, , X2, ..., A^, non toutes nulles telles que l'on ait identiquement, en x,, X2, . • ., Xn,

Xi Xi -+- XsXq-f-. . .-hXpXp =0.

Au contraire l'existence de telles constantes est la condition nécessaire et suffisante pour que les formes considérées soient dépendantes.

En particulier, si les formes X,, Xo, . . ., X^, sont de rang r<ip et si les /' formes X), X2, . . ., X^ sont indépendantes, les p — /• autres s'exprimeront linéairemenl au moyen de celles-là, et seront nulles pour toutes les valeurs des variables qui annulent X,, Xo, . . ., X^.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que/? formes linéaires en ^,, X2, ...^Xn soient de rang inférieur ou égal à /• consistent en ce que les déterminants du (r-hi)"""" ordre tirés du Tableau des coefficients soient tous nuls.

Revenons aux équations linéaires en j;,, x.yt .... Xn-,

Xl = O, X2 = O, ..., Xyi;^ o.

Supposons d'abord que les formes X,, X^, . . ., X^ soient indépendantes, ce qui exige />^ n. Si l'on a p = n, les équations n'admettent qu'une solution, à savoir la solution évidente 574 = 0, x.2= o, ..., x,t=o :

n équations linéaires à n inconnues dont le déterminant n'est pas nul n'' admettent pas d'autre solution que la solution où toutes les inconnues sont nulles.

Si l'on A p <C n, p inconnues, dont les coefficients, dans les formes X,, X2, . . ., Xy,, sont les éléments d'un déterminant non nul du />""'* ordre, s'expriment linéairement au moyen des n — p autres, qui restent arbitraires, et l'on obtient ainsi la solution la plus générale du système d'équations. Que les expressions des p inconnues au moyen des n — p autres soient effectivement linéaires, c'est ce qui résulte évidemment des formules du n° loO.

Supposons maintenant que les p formes X,, Xj, . . ., X^ soient de rang r <^p^ et que les /• formes X,, X2, • . ., X^ soient indépendantes.

DÉTERMINANTS. SgS

Les p — r autres s'expriment linéairement au moyen de celles-là et s'annulent toutes quand les r premières sont nulles; le système "des équations proposées est équivalent au système

Xi =: o, Xj ^ o, ..., Xr=o;

r inconnues s'expriment linéairement au moyen des n — ;• autres, et l'on obtient ainsi la solution la ,plus générale des équations proposées.

En particulier, si l'on a n équations linéaires à n inconnues, dont le déterminant soit nul, on peut satisfaire à ces équations en laissant certaines inconnues arbitraires. Le système proposé admet des solutions où toutes les inconnues ne sont pas nulles. La condition nécessaire et suffisante pour que n équations linéaires à n inconnues admettent une solution où toutes les inconnues ne sont pas nulles est que le déterminant de ces équations soit nul. C'est le sens précis qu'il faut attribuer à cette proposition : la condition obtenue en écrivant que le déterminant de n équations linéaires à n inconnues est nul est le résultat de l'élimination de ces n inconnues entre les n équations.

On observera qu'une proposition énoncée au n° 148 se trouve maintenant entièrement démontrée :

Quand un déterminant est nul, Les éléments de toutes les lignes de ce déterminant vérifient une même équation linéaire^ dont tous les coejficients ne sont pas nuls.

Il convient de remarquer que, si p est plus petit que n, les équations X, = o, X2= o, . . ., \.p=. o admettent toujours des solutions où les inconnues ne sont pas toutes nulles.

160. Le cas où l'on a affaire k n — i équations linéaires à n inconnues se présente fréquemment et il convient de s'y arrêter un instant. On a déjà traité au n' 133 des équations

ax -+- by -4- cz = o, a' x-\- b'f-+- c' z = o,

et l'on a vu que la solution la plus générale de ces équations, dans le cas où les trois déterminants bc' — b'c, ca'—c'a, ab' — a' b ne sont

pas nuls à la fois, c'est-à-dire dans le cas où les deux formes linéaires égalées à o sont du rang 2, s'obtenait en prenant x^ y, z proportionnels à ces déterminants. Ceux-ci ne sont autre chose que les mineurs relatifs aux éléments de la troisième ligne d'un déterminant du troisième ordre dont les deux premières lignes sont

Le fait que les trois mineurs, mis à la place de x^ y, z, vérifient les équations proposées est un cas particulier des relations entre les éléments d'un déterminant et ses premiers mineurs (n" 144). Si l'un des trois déterminants est nul, sans que les trois soient nuls, l'inconnue qui devrait être proportionnelle à ce mineur est nulle.

Si les trois mineurs sont nuls, et si l'on écarte le cas où tous les coefficients sont nuls, les deux formes linéaires sont de rang i ; on peut résoudre l'une d'elles par rapport à une inconnue dont le coefficient ne soit pas nul, en laissant les deux autres arbitraires, on obtient ainsi la solution la plus générale des équations proposées.

Considérons maintenant trois équations à quatre inconnues

ax -f- by -T- cz -^ dt =0, a' X -I- b' y -t- c' z -^ d' t = o, a" X -<- b" y -1- c" z -\- d" t = o,

et supposons que le tableau des coefficients

ou les trois formes linéaires égalées à o, soit de rang 3. En regardant les trois lignes de ce tableau comme les trois premières lignes d'un déterminant du quatrième ordre, et en désignant par A'", B'", C", D'" les mineurs de ce déterminant relatifs aux éléments de la quatrième ligne, mineurs qui, par hypothèse, ne sont pas tous nuls, il résulte des identités établies au n" 144 que les équations proposées sont vérifiées quand on prend ^, y, ^, / égaux à A'", B"^ C", D"' et par conséquent aussi, à cause de l'homog^énéité des équations, quand on prend x^

y, 5, t proportionnels à A'". B'", C", D'"; c'est là d'ailleurs la solution la plus générale; dans cette solution, en ellét, l'une des inconnues ;r, y^ z, t doit rester arbitraire; or, on peut choisir le facteur de proportionnalité de manière à faire acquérir à cette inconnue telle valeur qu'on voudra. Si l'un des déterminants V", B'", C", D'" est nul sans que tous les autres le soient, cela signifie que l'inconnue qui lui est proportionnelle doit être nulle.

Si le tableau des coefficients était de rang 2, il j aurait, parmi les trois formes linéaires, deux formes qui seraient indépendantes, les deux dernières par exemple ; l'un des six déterminants du second ordre qu'on peut tirer du tableau de leurs coefficients, par exemple le déterminant b'c" — 6"c', ne serait pas nul; on résoudrait alors les deux dernières équations par rapport à y et k z] on en tirerait des formules telles que

qui, en laissante et t indéterminés, fourniraient la solution la plus générale des équations proposées. Si le tableau des coefficients des trois formes était de rang 1 , il n'j aurait qu'une forme indépendante ; on résoudrait l'équation obtenue en l'égalant à o par rapport à l'une des inconnues, dont le coefficient n'est pas nul, cette inconnue s'exprimerait linéairement au moyen des trois autres, qui resteraient arbitraires.