Un polynôme en x^ de degré n

où «0, «1, •-.-, o,n sont des constantes numériques a le même aspect qu'une forme linéaire à n-Hi variables, qui s'appelleraient a?", x^^ x^^ . . ., a?", et où les exposants seraient regardés comme des indices. Dans certaines questions, les relations qui existent entre ces variables et le fait que la première a?" = i n'est pas une variable, n'interviennent pas. Quelques propositions de la théorie des systèmes de formes linéaires s'appliquent ainsi à la théorie des systèmes de polynômes en x.

Lorsque, en se plaçant à ce point de vue, on considère un système de polynômes en x comme un système de formes linéaires en a?", a^i, .r*, ..., le nombre de ces variables est le degré, augmenté d'une unité, de celui de ces polynômes qui a le plus haut degré; quelques-unes de ces variables manqueront dans ceux de ces polynômes qui seront d'un degré moindre, c'està-dire que leurs coefficients devront être regardés comme égaux à o. Il est commode de regarder tous les polynômes d'un système comme étant d'un même degré, égal ou supérieur au plus haut degré de tous ces polynômes, quelques-uns de leurs premiers coefficients pouvant être nuls. Quand on parle du tableau des coefficients de ce système de polynômes, on suppose qu'ils soient tous écrits les uns sous les autres, de manière que les termes de même degré soient dans une même colonne verticale, et que les coefficients des termes manquants soient remplacés par des zéros. S'il s'agit par exemple des polynômes

x'*-{-i^ x^-\-'ix'^^ a"2 — a: 4- 3

le tableau des coefficients sera

S'il plaît de regarder les mêmes polynômes comme des polynômes du sixième degré dans lesquels les termes du sixième et du cinquième degré manqueraient toujours, dans lesquels les variables x^ et x'^ auraient toujours des coefficients égaux à o, le tableau des coefficients sera

4o6 CHAPITRE X.

Ce second tableau est du même rang que le premier (n" loi).

165. On dit que p polynômes (en x)^ X|, Xo, . . ., X^, sont linéairement indépendants quand il n'existe pas de constantes Xi, X2, ..., \p non toutes nulles, telles que l'on ait identiquement en x

X, Xj -I- X2 X2 -t- . . . -4- X/, X;, = o.

Si de telles constantes existent, les polynômes sont linéairement dépendants. Cette identité implique que, dans le premier membre, les coefficients des diverses puissances de x, et le terme indépendant de x^ soient nuls séparément. C'est exactement les mêmes conditions que l'on trouverait si l'on considérait les polynômes comme formant un système de formes linéaires en a?", a?', a?^, ....

La condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes Xj, X2, ..., X^ soient linéairement indépendants est que le tableau de leurs coefficients soit de rang p\ la condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes soient linéairement dépendants est que ce tableau soit de rang inférieur à p.

Supposons tous les polynômes de degré inférieur à n, et regardons-les, conformément à une convention antérieurement expliquée, comme étant tous du degré n — i.

Si l'on di p ^ n^ les polynômes sont linéairement dépendants. Si l'on a /? = n, le tableau des coefficients est un carré, que l'on peut regarder comme un déterminant; en écrivant que ce déterminant est nul, on écrit la condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes soient linéairement dépendants.

Si l'on a /> < /i, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les polynômes soient linéairement dépendants s'obtiendront en écrivant que tous les déterminants d'ordre/? tirés du tableau sont nuls. Ces conditions étant vérifiées, si l'on veut déterminer les constantes Xj, X2, . . . , X^^, on a à résoudre un système d'équations linéaires dont ces constantes sont les inconnues, et qui admet certainement un système de solutions qui ne sont pas toutes nulles.

Considérons n polynômes (en x)^ Xj, X2, ..., X„ tous de degré inférieur à /i, que nous traiterons encore comme élant tous de degré n — i; supposons qu'ils aient un diviseur commun A de degré k; les quotients Yj, Yo, ..., Y„ obtenus en divisant X,, X2, . . ., X„ par A seront de degré inférieur k n — k\ par conséquent n — k^i d'entre eux seront liés par une relation linéaire telle que

Al Y| H- A2 Y2 -+-...-+- K,i-k+\ Y/f-Zc-*-] = O,

cette relation, identique en x^ restera telle si l'on en multiplie le premier membre par A; donc n — A" -f- 1 quelconques des polynômes Xj, X2, ..., X„ sont linéairement dépendants; par suite, le déterminant, d'ordre «, formé avec les coefficients des polynômes Xj, X2, ..., X„, sera.au plus de rang n - k.

DKTERMINANTS. 407

Qu'il en soit ainsi, c'est une condition nécessaire pour que les polynômes X,, X.2, ..., X„ aient un diviseur commun de degré égal ou supérieur à k.

Si, en regardant toujours les n polynômes comme étant de degré n — i, on convient de dire qu'ils ont un diviseur commun de degré rectifié égal à k (n" 84), pour dire qu'ils ont un diviseur commun de degré vrai k — a, et que les a premiers coefficients sont nuls dans tous les polynômes à la fois, en sorte que chacun d'eux soit d'un degré vrai au plus égal à n — a — i , on peut encore affirmer que le tableau des coefficients des polynômes Xi, X2, ..., Xp doit t'tre au plus du rang n — a — {k — 3t)= n — k pour qu'ils admettent un diviseur de degré rectifié égal à k\ a fortiori cette condition doit-elle être vérifiée si les polynômes ont un diviseur de degré rectifié supérieur à k.

166. .Mon but est maintenant d'obtenir, sous forme explicite, les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les coefficients de deux polynômes

f{x) = aQX"-^ «liP"-! -K . . .-I- a„i ^ -t- «„, g{x) = b^^xi' -+- bi xf-^ -+-...-+- bp-iX -h b/j

pour que ces deux polynômes aient un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à r: on entend ici, par le degré rectifié d'un diviseur commun des deux polynômes, le degré vrai du diviseur augmenté du nombre de coefficients qui sont nuls à ta fois au début des deux polynômes regardés comme étant respectivement des degrés n el p ( n" 84). Si, par exemple, le polynôme f {oc) était réellement du degré n — 3, le polynôme g{x) du degré p — '2, il y aurait deux coefficients nuls à la fois au début des deux polynômes ; alors, s'ils étaient premiers entre eux, ils devraient être regardés comme ayant un diviseur commun de degré rectifié égal à '2, et, s'ils avaient un diviseur commun, de degré vrai égal à 3, ils devraient être regardés comme ayant un diviseur de degré rectifié égnl à 3 -t- 2 = 5.

On a démontré au n" 84 la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes y (a^-) et g {x) aient un diviseur commun de degré rectifié, égal ou supérieur à r, est qu'il existe deux polynômes F„^(ir), G/j,.(ar), non identiquement nuls, dont les degrés (vrais) respectifs soient au plus égaux à n — r, p — r et tels que l'on ait identiquement, en r,

(0 F„^,.(x) g(x) -i- Gp^ri^) f (x) =^ o.

Cette identité, si l'on y remplace F„,.(a;) et Gp^,.(^) pai" des polynômes à coefficients indéterminés

Gp;.(a7)= ^^X/'-f- -Jr- IXiXP-r-y -f-. .-I- llp-r,

équivaut à n -\- p — r-\- i équations linéaii es en Xq, Xi , . . . , X„,., |jlo, fi-i, . . .,

4o8 CHAPITRE X.

IJ-p-r', les conditions cherchées s'exprimeront donc en écrivant qu'un système de «-+-/? — /--i- I équations linéaires à n -t-/? — 2/' -4- -2 inconnues admet une solution où toutes les inconnues ne sont pas nulles. C'est ce que l'on sait faire.

Il revient au même, pour obtenir ces conditions, de raisonner comme il suit :

L'identité (i) peut s'écrire

-^In-rgi^)^ \,i-r-lXg{x)^...^lo3e"~-'' g{x) — O;

elle exprime donc que les polynômes

XP-'-fix), TP-r-\f{x), ..., f{x), g{x\ Xg{x\ ..., X'^-rgi^^)

sont linéairement dépendants : en exprimant qu'il en est ainsi, on aura les conditions cherchées. Ces polynômes sont tous de degré inférieur à n -h p — r H- I ; ils sont en nombre égal à n-\- p — -2/' -+-2; on a donc à écrire qu'un tableau Ae n -\- p — 2/- +2 lignes et de « -4- /? — r -\-i colonnes est de rang inférieur à n -h p — 2/" -(- 2.

En particulier, si l'on suppose /• = !, on aura, en écrivant que les n-i-/? polynômes, de degré inférieur À n -\- p

^^^'/(•^), xP~-'^f{x), ..., /(.r), g{x), ..., x"-^g(x)

sont linéairement dépendants, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynomes/(a7) et g{x) aient un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à i. Cette condition s'exprime en annulant le déterminant d'ordre n-\-p, dont les éléments sont les coefficients des polynômes précédents regardés comme des polynômes de degré n-\-p — i.

167. Ce déterminant, dont l'introduction est due à Sylvester, tient un rôle essentiel dans la théorie qui nous occupe. On peut lui rattacher les conditions nécessaires et suffisantes pour que les polynômes /( 37) et g(x) aient un diviseur de degré rectifié au moins égal à /•.

Il faut et il suffit pour cela que le déterminant de Sylvester soit de rang au plus égal à n -\- p — /•. La condition est nécessaire : en effet, si l'on regarde les n -\- p polynômes

comme étant de degré égal à n-hp — i,on voit de suite que, si les polynômes f{x) et g{x) ont un diviseur commun de degré rectifié égal à r, les n -><- p polynômes ont aussi un diviseur commun de degré rectifié égal à /', au sens qu'on a donné à ce mot à la fin du n° 166; le rang du tableau de ces coefficients des n -\-p polynômes doit donc être au plus égal à n-\-p — r.

La condition est suffisante, car, si le rang du tableau est égal ou inférieur à n -¥- p — /*, il ne peut y avoir, parmi les n-+- p polynômes, plus de n-^ p — r polynômes qui soient linéairement indépendants : n -^ p — r ~\- \ polynômes pris parmi eux, par exemple les polynômes

xP-^f{x), xP-\f(x), ..., f{x), g{x), xg{x), ..., x'^-'-gix),

ou les polynômes

x'^-^g(x), x"-'-g(x), ..., g{T), f(x), x/(x), ..., xP-rf(x)

sont linéairement dépendants; en écrivant qu'il en est ainsi, on parvient à des identités de la forme

^/>-l(^)/<^)+//«-r(^)^(^)=Oi /„, (x)g(x) ^-gp,.{x)f(x) = O,

où les deux polynômes g,,^i{x)^ /„,.(a:), dont les degrés (vrais) respectifs sont au plus égaux k p — i et à /i — /•, ne sont pas identiquement nuls tous les deux: de même, les polynômes /„i( a*), g,,^r(^)-

Ces deux identités vont nous permettre de reconnaître que les deux polyïiomesf(x), g{x) ont un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à /•, par lin raisonnement pareil à celui du n° Si. Supposons qu'il y ait a coefficients nuls au début des deux polynômes /(ar) et g{x) : je suppose qu'il y en ait exactement i au début de f(x) : il peut y en avoir davantage au début de g(3C) : c'est à la j)remière identité que j'aurai recours: si, au contraire, il y avait moins de coefficients nuls au début deg{x) qu'au début de /(x)^ c'est à la seconde qu'on recourrait.

Si les deux polynômes gp^i{x), fn-A^) sont premiers entre eux, on voit, comme au n° 84, que la première identité entraîne l'existence d'un diviseur commun ^{x) aux deux polynômes /(ar) et gi-i:)-, tel que l'on ait

f{x)==fa-r{x)^){x), g{x)=gp-i{x)%{x);

le degré vrai de 8(a7) est égal à la différence entre le degré n — ol de f(x) et le degré de /„;.( a?), qui est égal ou inférieur are — r: il est donc égal ou supérieur à (n — a) — {n — r) = r — a; par conséquent, 6 (a:-) <loit être regardé comme un diviseur commun àif(x) et à g{x) de degré rectifié égal ou supérieur à /•.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux polynômes /(a;) et g(x) aient un diviseur commun de degré rectifié égal ou supérieur à r, fournissent évidemment, lorsque l'un des deux coefficients «oi f>o "^ peut s'annuler, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux polynômes aient un diviseur commun de degré vrai au moins égal à r. On montre, dans ce cas, que les conditions nécessaires et suffisantes peuvent être réduites à r; mais je ne m'y arrêterai pas.

4lO CHAPITRE X.

168. Je me contente aussi d'indiquer les résultats suivants qui s'établissent à peu près comme ceux qui précèdent.

Supposons, en conservant les mêmes notations, que l'on ait /i ^/?, et posons, pour abréger l'écriture,

/t = «0 a^'^-h ai r't-i -f- . . . + a^, gk = 6,, ^^ -H 6i ^f-^-' + . . . -t- è/f

Considérons les n polynômes, dont il est aisé de voir qu'ils sont tous de degré inférieur à n,

x"-~i'f^g{x) — g^f{x), x'^~i>f,g(x)- g,f{x), x'^~i'fng{x)~g.f{x), ..., x'^-i>f,,-ig{x)~g,,-if{x:).

La condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes f{x) et g(x) aient un diviseur de degré rectifié égal à /• est que le tableau des coefficients des n polynômes soit de rang égal ou inférieur à n — /■. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à I s'exprime donc en égalant à o un déterminant d'ordre n (déterminant de Bézout) ; la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à i s'exprime en écrivant que tous les premiers mineurs de ce déterminant soit nuls, etc. Le déterminant de Bézout est d'ordre moins élevé que celui de Sylvester, et il est, à cet égard, plus commode à manier; mais, d'un autre côté, sa forme est moins simple que celle du déterminant de Sylvester.

Lorsque les conditions pour l'existence d'un diviseur commun de degré rectifié égal à r sont vérifiées, on peut toujours trouver ce diviseur commun en cherchant le plus grand commun diviseur des polynômes /"(a?) et g{x); à la vérité, il est préférable, lorsqu'on applique l'une des méthodes précédentes, de profiter des calculs qu'on a faits pour obtenir le diviseur commun, mais je ne m'arrêterai pas à cette question.

11 convient de remarquer que les démonstrations qui précèdent ne supposent en aucune façon qu'on ait établi le théorème fondamental de l'Algèbre (n" 111).

' ll)9. Eliminer x entre les deux équations f{x) = o, g(x) = o, c'est, par définition, trouver la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux équations aient une solution commune. S'il en est ainsi, les deuv polynômes f{x) et g(x} ont un diviseur commun; réciproquement, «i ces polynômes ont un diviseur commun de degré (vrai) égal à /■, les deux équations /(:r) = o, g(x)= o ont /■ racines communes, à savoir les /• racines du diviseur commun. Si les deux polynômes /{x) et g(x) ont un diviseur commun de degré

DETERMINANTS.

vrai r — a, et si les a premiers coefficients de A^) 6t de g{x) sont nuls, en sorte que les deux polynômes aient un diviseur commun de degré rectifié égal à r, on dit souvent que les deux équations /"(a?) = o, g{x) = o ont r — a racines communes qui sont finies, à savoir les racines de leur commun diviseur, et a racines communes infinies; cette dernière façon de parler, sur laquelle j'aurai à revenir, ne signifie rien de plus que ceci : les a premiers coefficients de /{x) et les a premiers coefficients de g{x) sont nuls. En adoptant cette faconde parler, on peut énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations y (.r) = o, g{x) aient (au moins) une racine commune finie ou infinie, ou, si l'on veut, le résultat de l'élimination de x entre ces deux équation-;, s'obtient en égalant à o le déterminant de Sylvester, ou celui de Bézout, formé avec les coefficients des polynômes y( a:) et g(x). Les racines (finies) communes aux deux équations s'obtiennent en cherchant le plus grand commun diviseur aux deux polynômes et en résolvant l'équation obtenue en égalant à o ce plus grand commun diviseur.

EXERCICES

142. Quel est, dans le déterminant général de «'^""^ ordre, le coefficient du terme dont les facteurs sont'les éléments situés sur la diagonale autre que la diagonale principale?

143. Un déterminant du n'*"»" ordre dans lequel tous les éléments situés audessus (ou au-dessous) de la diagonale principale sont nuls est égal au produit des éléments de la diagonale principale.