Mettre les déterminants

I sina tanga I sin6 tangè I sine tangc

I sina cosa I sinô cosô I sine cosc

sous forme d'un produit de trois facteurs s'annulant respectivement quand on suppose 6 = e, e = «, a = /;.

Montrer, en s'appuyant sur l'identité à laquelle on est conduit en considé-

rant le dernier déterminant que, si a, ^, y sont trois nombres dont la somme est nulle, on a

sin a -H sin B -\- sin y H- 4 sin - sin— sin - = o.

149. La trigonométrie fournit, entre les éléments d'un triangle, les relations

a =^ b cosG -1- c cosB, b ^ c cos .\ M- a cos G, c ^= a cos B -H 6 cos A ;

quelle relation doit-il y avoir entre A, B, G pour que les égalités précédentes, regardées comme des équations linéaires en a. 6, c, admettent une solution autre que a = o, 6 = o, c = o?

loO. Montrer que les relations

a2 -t- 62 -+- c2 = 1, a' a" ^t- b' b" -\- c' c" — o^ a'^-\- 6'2-t- c'2 = I. a" a -+- b" b -H c"c — o, aj»2,^''2, c"2= I, a a'-H 6 6'-i-c c'= o

entraînent, en désignant par A le déterminant

abc a' b' c'

et par A, B, . . ., C" ses mineurs, les relations

A = Aa, B = Aè, G=Ac, A=±i,

A'=Aa', B':=a6', G'=Ac',

A'^ Aa% B"=a6', G"=Ac",

a'--T- a--\- a"2= i, bc -+- b'c' -+- b" c" = o, b- -+- b">- -H 6"2 = I , c« -I- c'a' -I- c" a!' = o, c- -i- c''^ -{- c"2 = I , ab -\- a' b' -+- a" b" = o,

inversement les six dernières relations entraînent celles qui précèdent. On peut prendre comme point de départ le fait que les trois équations

a a -\- b b -h ce =j, a' a -t- 6' 6 -t- c' c = o, a" a -^ b" b -h c"c = o,

4l4 CHAPITRE X.

traitées comme des équations du premier degré dont les inconnues seraient a, 6, c et dont les coefficients seraient les éléments du déterminant A, entraînent les relations

aA = A, èA = B, cA = C.

151. D'un tableau rectangulaire denp éléments rangés dans/? lignes et n colonnes, combien peut-on tirer de déterminants d'ordre r, en désignant par /• un nombre au plus égal au plus petit des nombres n, /> ?