Quelle relation y a-t-il entre les polynômes

). ^ = 5*f-Hl->

où a, 6, c, X, [j. «ont des constantes différentes de o?

Au lieu d'appliquer la méthode développée dans le n° 153, il est plus commode ici d'employer le procédé suivant qu'on généralisera sans peine; on regardera les égalités précédentes comme des équations en a:, y^ z et X, Y, Z, T comme des quantités connues; on résoudra trois de ces équations par rapport à x, y, z et l'on portera les valeurs trouvées dans la quatrième. Les calculs qui suivent équivalent à ceux qu'on vient de dire.

- + ^=X-)-a(--m) = Z-hu( I

(X — [j.) — hX — Z-i-X-+-[j. = o,

(^X)f +Xf.(Y-T)-X-,a-o, X — Z + Xfi(Y — T) = o.

Résoudre la même question en cherchant cinq nombres a, p, y, o, z tels que l'on ait identiquement, en ^r, y, z,

aX ^ pY -H yZ H- ôT -h £ = o.

153. Soient Xi, X2, ..., X^^ des formes linéaires en Xj, a;,, ..., a*/j. Si l'on connaît, d'une part, la solution la plus générale des équations Xi = o, X2=o, ..., Xy, = o et, d'autre part, une solution particulière des équations Xi = aj, X2 = «a, ..., Xp=oLi„ où a,, «2, . . . , a^^ sont des nombres donnés, comment pourra-t-on en déduire la solution la plus générale des dernières équations ?

154. Si les polynômes Xj, X2, ..., X^, du premier degré en a?,, x-i, ..., x,i, sont de rani; /■, il ne peut exister plus de p — /• polynômes du premier degré en Xj, X2, . . ., X/^, indépendants quand on regarde ces dernières lettres comme figurant des variables, qui s'annulent identiquement quand on remplace Xi, X2, . . ., X,, par leurs expressions explicites en a^i, x-^^ . , ., Xn-

IdS. Si Xi, X2, ..., Xp désignent des polynômes du premier degré en a-j, x^^ ..., Xn et s'il existe q polynômes (et non davantage) du premier degré en Xi, X2, ..., Xp, indépendants quand on regarde ces lettres comme figurant des variables, qui s'annulent identiquement lorsqu'on remplace X], Xo, . . ., X^ par leurs expressions explicites en Xx. a^o, ..., x„, les/? polynômes Xi, X2, . . . , Xy, sont de rang p — q.

lf)(j. Si les polynômes Xj, X2, . . ., Xy;, du premier degré en Xi, xi, . . ., Xn, sont de rang /• et si l'on peut les exprimer tous au moyen de /■ polynômes X'i, X'.,, . .., X^ du premier degré en Xi, x^-, ..., x,, par des formules telles que

Xj = a,-,i X 1 -H a/,2 X; -f- . . . -I- a,-,,. XV -+- ^i.r^i {i—i,-^,- ■■, P),

où a/,1, a,,2- • • • sont des coefficients constants, les polynômes Xj, Xj, . . ., X^ sont indépendants.