Trouver tous les polynômes de la forme

a{x'^-hy^) -+■ bx-\- cy-\- d

4l8 CHAPITRE X.

OU de la forme

axy -\- bx -^ cy -^ d

qui s'annulent quand on remplace x^ y par a^i, y^ ou par x^^ y-i ou par ^-3, ^3.

164. Dans un déterminant d'ordre re, dont les lignes et les colonnes sont numérotées i, 5!, . . . , /i, on considère le terme dont les facteurs appartiennent aux cases

(«1, Pi), («2, P2), ..., (a/„ ^,,),

11 résulte de la proposition énoncée dans l'exercice 127 que le coefficient de ce terme est une puissance de — i dont l'exposant est

A -t- B -+- A' H- B'-hai + aa-H . . . + a^-i- ^i -h ^2+ > • • -H ^/^,

en désignant par A, B, A',B' les nombres d'inversion contenus dans les arrangements

(ai, «2, ...,ap), (Pi, Pi,..., p/,),

(«/^-hlî a/^+2, • • ••) a«)i ( 1^/^+1 5 P/>H-2, • • -, ^n)-

Montrer que la somme de tous les termes du déterminant dont p facteurs appartiennent à des cases qui se trouvent à la fois dans quelqu'une des lignes numérotées ai, a2, ..., a^,, et dans quelqu'une des colonnes numérotées [âi, P2, . . ., P/j est égale à

en désignant par P le déterminant qui se déduit du déterminant proposé en supprimant les lignes numérotées a^-t-ii ^/)-i-2î • • -i ^re ^t les colonnes numérotées j3p+i, |3/j+2, . . ., |3/t, et par P' le déterminant qui se déduit du proposé en supprimant les lignes numérotées ai,a2, . . ., a^ et les colonnes numérotées ^j,

165. Soit A un déterminant d'ordre «, dont les lignes et les colonnes sont numérotées 1,2, ..., n. Supposons qu'on ait rangé sur une même ligne toutes les V = Gp combinaisons des n nombres i , 2, . . . , n pris p k p. Chacune de ces combinaisons se trouve ainsi avoir un numéro d'ordre. Considérons la a'*"* et la P'*-"'"* de ces combinaisons; soient respectivement a et è les sommes de ceux des nombres 1 , 2, . . ., /i qui entrent dans ces dernières combinaisons. Soit oAoa.S le déterminant déduit de A en supprimant toutes les lignes dont les numéros ne figurent pas dans la a'^™*^ combinaison et toutes les colonnes dont les numéros ne figurent pas dans la p"'"* combinaison. Soit <Jl4,p le produit par ( — 1)«+6 du déterminant déduit de A en supprimant au contraire toutes les lignes dont les numéros figurent dans la a'"'"*^ combinaison et toutes les colonnes dont les numéros figurent dans la P"™"^ combinaison.

DÉTERMINANTS. 4l9

On a

en désignant par s un nombre égal à o si a est différent de p, à i si a = ^. Écrire explicitement ces relations, dans le cas où l'on a n = 4i /> = 2.

166. On considère deux tableaux (A) et (B) comprenant/? lignes et n colonnes, numérotées au moyen des nombres 1,2,...,/), d'une part, i, 2,. . ., n de l'autre. Soient, en générai, a,.^s et ^/■,,ç les éléments de ces tableaux qui appartiennent à la /•''''"* ligne et à la 5'^""' colonne, et soit, en désignant par a, ^ deux des nombres 1,2,...,/?

Ca,8 — «a,i^p,i+ «a,2 6p,2-i- ••.-+- aa,«*p,/f

Soit G le déterminant du/»'"™* ordre dans lequel 0^3 est l'élément qui appartient à la a'*"* ligne et à la P'^'"* colonne. Il résulte du n° 162 que, si l'on a n=/>, le déterminant G est le produit des déterminants A, B que définissent les tableaux (A), (B).

Montrer que G est nul, si l'on a n </>.

Dans le cas où n est plus grand que /?, imaginons que toutes les v = G^ combinaisons des n nombres i, 2, . . ., /i pris /> à /) soient rangées sur une même ligne et affectées ainsi chacune d'un numéro d'ordre. Désignons en général par A^, B^ les déterminants du /)'*"'"* ordre qui se déduisent respectivement des tableaux (A), (B) en ne conservant que les colonnes dont les numéros figurent dans la H^™* combinaison, on a

G = A,Bi-+- A2B2+ . ..H- AvBv.