I.3.i..,(2/l — I)J 2/4 -^ 2 "^ Ll.3.5...(2/l — l)J 2/l-hl

L'expression approchée de - que fournissent ces inégalités est due à Wallis.

322. Intégration des fractions rationnelles. — On a vu (n^* 65,

f(x) 117) qu'une fonction rationnelle \ \ était la somme d'un polynôme

entier en j:, et de fractions de la forme J — -- i en désignant par a quelque racine de o(^), par /> un nombre naturel inférieur ou égal au degré de multiplicité de cette racine et par A une constante. Le polynôme, qui n'existe d'ailleurs que si le degré du numérateur f{x)

est au moins égal au degré du dénominateur, s'intègre de suite; il

en est de même du terme 7 r-> si a est réel; on a alors

<i) / 1— = A ( (x — a)-'Pdx — -Ç— ^^ ; — r»

quand p est plus grand que 1 , et

r ^dx , . . ,

-quand/? = 1.

Il n'y a de difficultés que quand le dénominateur ^{x) admet des racines imaginaires.

Il convient toutefois de remarquer que, même si a est imaginaire, la formule (1) continue d'être valable, pourvu que/; soit plus grand <\\ie (i); c'est seulement la formule (2) qui n'a plus de sens.

Supposons d'abord que les coefficients de f{x) et de 'f (^) soient réels; aux racines réelles de ç(j?), s'il y en a, correspondront des éléments simples réels qui s'intègrent de suite; quant aux racines imaginaires, elles vont par couples; à une racine imaginaire a-|-3« ^a, p réels), correspond une racine conjuguée a — p«, du même ordre <Je multiplicité; à un élément simple tel que

Ah-Bi

^ A, B réels), correspond un élément simple conjugué

5\S CHAPITRE XVllI.

Lorsque p est plus g^rand que i , ces éléments simples fournissent de suite «ne partie de la fonction primitive cherchée, à savoir

— A — B t - A-hBt

(p — ijix — ct - pi)/'-i {/j — Dix — 'x-^ PÔ^'-»'

la somme de ces deux fractions est évidemment réelle; c'est une fraction dont le dénominateur est (p — i) [(x — a)'"*-h ^-^ ]/''"• et dont le numérateur est

-h Bi[(x — a — ^t)/'-» — (x — OL-h P<)/'-»];

il suffit d'efl'ectuer le dé\eloppement des puissances (/> — lyème» p^^j. voir comment les termes en / disparaissent.

Ce procédé ne réussit plus quand ;c7 est égal à i ; il introduirait des logarithmes de quantités imaginaires; mais il suffit de réunir, avant l'intégration, les deux éléments conjugués

or — a — p I * j; ~ 3L -h ^^l

pour mettre leur somme sous la lorme on a d'ailleurs

= K\{;[{x — af-h ^»]— -uBarctangî-^- Si, par exemple, la fonction à intégrer, que j^ prends toute décomposée, es i

I I i -\- '21 I — 'ai I I

(x-\-iy' (x—i)* j* — I — - £ X — i-hi X — i x-^i

on \oit que ia fonction primitive s'obtiendra en ajoutant à

I , 1 V — Il — ix , \x — I I

, -h l0J,M I = ; -t-Ij^

la fonction primitive de

ii — I '214-1 __ — 'i(x — i)h-4

<;'est-à-dire

-- lg(a?* — ix -1-2)4-4 î^rc tang(â7 — 1).

Considérons encore Tintégrale

r dx

J Xx*-^iBx-^C'

•en supposant réelles les racines x', x' du trinôme Aa;*-h2Brr+ G; on a

X{x — x'){x — af) A(x' — x')\x^x* x — x" / «t, par suite,

/dx I , I ^ — J^' I :L 1er I I f AiF«H-9.Ba--i-G a^|3«— AC |ar — ar'|

en supposant les racines x\ x" rangées dans un ordre tel que l'on ait

2v/B«-AG y-^= j

Au lieu de réunir, avant d'intégrer, deux éléments simples conjugués, dont le dénominateur est du premier degré, on peut, en remontant à la définition de l'intégrale d'une fonction à coefficients imaginaires, calculer directement rintégrale

r dx

J X — a — bi'

•où a et b sont supposés réels; on a, en effet, par définition,

/dx r (x^a)dx . r bdx

x — a''bi~ J (a7-a)«-h6* "^ \/ {x — a)^^b^

= Ig \/x — a)* -f- 6* -f- t arc tang — y — •

En supposant que Xq et Xt soient des nombres réels, on aura

r*' dx , /(a:, — g;» -h 6^

•/r. a: — a — bi "" vA^o — «)*-+- ^*

(Xt — a Xn — a \

arc tang — j- arc tang — j- — j •

CHAPITBE XVIII.

Le second membre s*interprète géométriquement d*une façon simple, que le lecteur n'aura pas de peine à établir.

Fig- 9^.

CL^bÙ

JCo

Figurons, conformément aux conventions habituelles, les points a:«, Xt (sur l'axe des quantités réelles^, et le point a — bi. Dans l'intégrale

dx

a — bi

la partie réelle est le logarithme du rapport des distances du point a-^ bi auK points Xx et x« et le coefficient de < est Fangle (compris entre — ?: et ir» sous lequel on voit, du point a -4- bi, le vecteur qui va du point ar« an point Xi : cet angle est positif ou négatif suivant qu'il a la disposition directe ou la disposition inverse; on peut dire encore qu'il est de même signe que le

rapport —-

En emplovant la méthode précédente, on voit que l*on peut effectuer toute

intégrale du type

où Xtf, X| soni des nombres réels et où/^x), ^< x) sont des polynômes premiers entre eu\, à coefficients réels ou imaginaires, en supposant que, dans l'intervalle (X^.XiK le dénominateur Q(x) ne s'annule pas. L'intégrale n'a pas de sens quand 9(x) s'annule dans cet intervalle.

La méthode générale s'applique sans difficulté à une intégrale du type

f\ X ) dx

aBj

oùyiX' est un pohnome; il n'est toutefois pas inutile d'indiquer une autre méthode pour traiter ces intégrales, en particulier dans le cas où les coefficionts sont réels, et où les racines du trinôme sont imaginaires. D'abord, en

prenant ^ -^- t pour variable, on ramènera celte intégrale à une intégrale du lype

r ff{x)dx ^

i»n peut, en séparant tlans g{x) les termes de degré pair et les ternies de degré impair, meltre gix) sous la forme

m ordonnant ensuite ©(ar«) et ^(x^) suivant les puissances de ar*-Ha, puis en divisant par (a?* -h a )«, on voit quon mellni --^ — -V- sous forme d'une partie entière et de termes delà forme

(X*-^0L)P (x^-hOL)P

Les premiers s'intègrent immédiatemeni; on a en eiïet xdx t f d(x^-^ Si) —

r xdx I r d

(a-«-+- OL)P '^{p — i)(:r«-ha)/'-' si p est plus grand que i et, si p est égal à i,

X dx

/xdx I , / .

Quant aux autres termes, on a déjà donné une méthode pour les intégrer, qui consiste à poser j:r = y/s tangf; on peut aussi obtenir une formule de réduction, fl suffit pour cela de prendre la dérivée de .r(.r*-!- x)-/'-»-*, qui e«t

__ xp — i {'ip — 'i)y- ^

~~" (a:*-f- a)/'-» (a-^-i-a;/'' on déduit de là

r dx -ip — > r dx ^ ,

on peut au moyen de celte formule exprimer l'intégrale cherchée au moyen

de

r dx

53l CHAPITRK XVIII

323. Un très grand nombre d'intégrales peuvent, par un chan^'ement de variables, se ramener à celles qu'on vient d'étudier, qui portent sur une fonction rationnelle. J'indique d'abord quelques exemples où le changement de variable s'aperçoit immédiatement.

Considérons une intégrale du type

ff{^.y)dx.

oà/[Xjy) est une fraction rationnelle en x, y et où y est mis, pour

abréger, à la place de ( —, p ) > en désignant par/?, q des nombres

entiers et par a, 6, «', 6' des constantes, telles que ab' — a'b ne s<»ii pas nul ; si l'on pose

ttjr-^b b' rr - b , \ah'—ah\

= /7, or = : — , dj- = qi^-^di.

a X -*- 6' ' a — a' i*t \ a — a Vi \-

on ramènera évidemment la quantité sous le signe / à être rationnelle.

Plus généralement, considérons les intégrales du type

I f\ T^ M, t\ U\ . dx

où^y^r» M, *\ u\ . - - ^ est une fonction rationnelle en x, u^ t*. •»•- .. . el où I., ^\ «r, sont mis pour abréger à la place de

ttx -^ b ' «i r — />\' ' ax — b

/», y* /*\ q\ p^. «/> — êlanl des entiers: il suffira de faire le cb.-::-

gemenl de variables

ax — I»

eu do>ii:n4nl jvar r un entier qui soîl di\i<îble par «y. •/, •/'

^fcîL Voici maintenant une ivmaixfue ireoerale :

Cousidi-rv^ns riuttiCrale / R jr. i' 'Yx. où R x^r-esla»** i:- -

rationnelle de x^ y et où y est une fonction algébrique de x^ c'està-dire une fonction de^ telle que l'on ait identiquement ç5(;r,y) = o, en désignant par f (^, .v) un polynôme en x^ y.

L'équation o{x^y)=: o définit y comme une fonction implicite de:r; pour que cette fonction soit complètement définie dans un ntervalle (A, B), il faut qu'on sache quelle racine de l'équation enj^) o[x^y)=:o il faut associer à chaque valeur de .r appartenant à l'intervalle (A, B); je suppose que cetle fonction j^ = 9(^7) soit continue dans cet intervalle, et qu'il en soit de même de la fonction R[:c, 9(;r)]. Si a^o, Xs appartiennent à l'intervalle (A, B) le symbole

\\\x,^{x)\dx

a alors un sens précis.

Au point de vue géométrique, la définition précise de la fonction ^{x) revient à isoler, sur /a courbe algébrique définie par l'équation o{x^y) = o, un trait continu qui n'est rencontré qu'en un point par les parallèles à l'axe des y^ et qui va d'un point dont l'abscisse est A à un point dont l'abscisse est B. Ce trait de courbe représente la fonction j^ = 9(;r), dans l'intervalle (A, B).

Supposons qu'il existe des fonctions rationnelles de /,

continues dans l'intervalle (a, jî) et telles que, lorsque t varie dans cet

intervalle, le point dont les coordonnées sont x^ y décrive précisé-

/' '•i R(Xjy)clXy on -, fera le changement de variable

X = g{t), dx = h\t)dt\

la fonction y = 9(x), par ce changement de variables, se changera en A(/) et l'intégrale proposée deviendra

Ç \\g{t),hi,t)\h\t)dt, /o et /| étant des valeurs de /, appartenant à l'intervalle (a, P), telles

534 UIAIMTRE XVlll.

que Ton ait

La quantité sous le signe / est maintenant rationnelle en t et le problème est par conséquent ramené à celui qu'on vient de traiter.

325. Digression sur les courbes unicursates. — On voit d'après cela rimportance des courbes algébriques, dites unicursales, lellei» que les coordonnées de leurs points s'expriment rationnellement eu fonction d'un paramètre t.

Dire que la courbe algébrique dont l'équation est o(x, jk) = o «si unicursale, c'est dire qu'il existe deux fonctions rationnelles g{l}. h{t) telles que le lieu des points dont les coordonnées or, y annulent le polynôme <p(a?, y) est le même que le lieu des points dont on obtient les coordonnées a:, y en donnant à / toutes les valeurs possibles dans les formules x = g(t), y= h{t).

En d'autres termes, si la courbe dont Téquation est o{x^ y) ==■ o est unicursale, d'une part, à chaque valeur de t corresprind un poinl de la courbe dont les coordonnées x^ y sont fournies par les formules précédentes, en sorte qu'on doit avoir identiquement (en l)^

et, d'autre part, à chaque point de la courbe, à chaque système de valeurs :c, y qui annulent le polynôme o{x^y) correspond au moins (*) une valeur de t telle que l'on ait x = g{t)^ y = hit).

Par conséquent, si x^ y sont les coordonnées d'un point de La courbe, les deux équations précédentes considérées comme des équations en t ont au moins une racine commune. Réciproquement, il est clair que, si ces deux équations ont une racine commune, le poinl dont les coordonnées sont x = g{e), y = /i{t) est un point de la courbe : l'équation ^(x^y) = o est la condition nécessaire et suflî- -sante pour que les deux équations (en l) x = g{t), y = h[t) aienl une racine commune.

( ' ) On démonlre que, si la courbe est unicursale, on peut choisir les fonctions g{l)j h{t) de manière qu'à chaque poinl de la courbe (sauf des point» exceptionnels, en nombre fini) ne con*esponde qu'u/ie valeur de t.

NOTIONS DR CALCUL INTEGRAL. i»J

Les courbes du second degré sont unicursales. Soit en effet

(i) Aar*-h -^Bar^-i- G^*-H aDar -»- 2E^-+- F = o

l'équation d'usé telle courbe, équation dont je désignerai le premier membre par f (^, ^); soient en outre Xq, ^o l^s coordonnées d'un point fixe pris arbitrairement sur cette courbe, en sorte qu'on ait <p(j7o? J^o) = o; on commencera par faire le changement de variables

qui revient à transporter les axes parallèlement à eux-mêmes, de façon que la nouvelle origine coïncide avec le point dont les coordonnées étaient primitivement a?©, J^oî à cause de l'identité (n°48)

?(a-o-*- X, ^oH- V) = 9(:ro, y^) -f- Xo;^-4- Y<p;.^-+- AX«-^ -iBXY h- CYt,

on voit que les valeurs de a?, y qui vérifient l'équation o[x^y) s'obtiendront en ajoutant à J?o, j^o ^^s valeurs de X, Y qui vérifient l'équation

(a) AX«-}- 2BXY -h CYîH- X©;,^-h \^'y^=-o.

Si, dans cette équation, on fait Y = ^X, et qu'on supprime le facteur X, elle devient

( A -h 2Bf -h G/*)X -H <p;.^-h ^<Pv.= o. On voit que l'équation (2) est vérifiée quel que soit t^ si l'on prend

A-hAB/-HG/«' ' -''^- A-huB/H-G/»'

et que, inversement, à chaque système de valeurs de X, Y qui vérifient l'équation (2), correspond en général une valeur ^ de /pour laquelle les seconds membres des égalités précédentes prennent respectivement les valeurs X, Y. Les expressions de x^ y que l'on lire de là sont de la forme

^ ' '''^ A-h'2B/-+-G^«' ^~ A -+-2B/-hG^'

Ce sont des fractions rationnelles en t dont les termes sont du second degré et dont les dénominateurs sont les mêmes. Je laisse de côté la démonstration de la réciproque, en vertu de laquelle une courbe définie par des équations telles que (3) est une courbe du second degré (<).

Au lieu de faire le calcul comme on vient de l'indiquer, il re\Tent au même de résoudre !es deux équations

par rap|>ort à x^ y, ce qui revient à prendre l'intersection de la courbe donnée et d'une droite variable passant par le point fixe ar^j y^ de cette courbe; l'équation du second degré en x^

a une racine connue x^\ l'autre racine s'exprime rationnellement en /, elle fournit ainsi l'expression de x au moyen de t\ l'expression dey est ensuite fournie par la formule y ssz r© + /(a: — x^).

Enfin on peut encore opérer de la façon suivante, que le lecteur, s'il est familier avec la géométrie analytique et l'emploi des coordonnées homogènes, raccordera sans peine avec la méthode qu\>n vient d'indiquer.

On résout par rapport kx^yle système d'équations

en choisissant la constante m de manière que l'équation en Xy <f{Xj mx -\- t) = o, qui est en général du second degré en Xy s'abaisse au premier; il suffira pour cela de prendre pour m Tune des racines de l'équation du second degré

Ayant ainsi choisi m, on obtient sans peine x et y exprimés ration-

( ' ) Il y aurait exception si le déterminant

était nul ; les équations (3)

abc