ABC

définiraient alors une droite, dont une ou plusieurs parties seraient décrites deux fois quand t varie de — oo à -h oo.

nellemcnt en t. Cette méthode, si l'on ne veut introduire que des éléments réels, suppose B=^ — AC^o.

Voici un exemple.

On demande d'exprimer x et \/â x'^ -\- 'i b x -^ c rationnellement en /. Ce problème rentre bien dans ceux qu'on vient de traiter : il revient, en effet, à exprimer ;r et ^ rationnellement en t de manière à vérifier Féquation du second degré y^ = ax^ + ibx -\- c\ on choisira pour x^ un nombre quelconque qui rende le second membre positif, et pour jKo l'une des deux valeurs de dz y/^xj-h 2 6:roH- c; supposons, par exemple, c > o : on pourra prendre Xq=^ o, yo= \/c et remplacer y par ^ -f- Y; on aura alors, pour Téquation entre Y etar,

Y»-^ 2/cY = aa7«-f- 2 6ar;

en posant Y = tx^ et résolvant par rapport à x^ on trouve

'x{h — t\fc) — t*' \fc ->t- '>.ht — a yfc

Si a est positif, on peut résoudre les deux équations

y\ ^ ax"^ ^'ibx -\- Cj y •=. xyfâ -^ t.

On trouve ainsi

c — /* i^sfâ — ^bt-\-c\Ja X = 9 V =■ — — •

Dans le cas où la courbe ©(^, j) = ^ n'est pas du second degré, on ne peut pas, en général, exprimer x^ y rationnellement en t\ cela n'est possible que pour des courbes spéciales, et cette possibilité est liée à l'existence de points multiples sur la courbe.

Supposons que le polynôme f(^, JK) i^e contienne pas de terme constant, c'est-à-dire que la courbe dont l'équation est cp(j:r, y) = o passe par l'origine : imaginons que le polynôme soit ordonné comme il a été expliqué au n** 44, en mettant d'abord les termes du premier degré, s'il y en a, puis les termes du deuxième degré, puis ceux du troisième degré, etc. Si les termes du plus bas degré dans f (^, .x) sonl du ^»*"« degré, on dira que l'origine est, pour la courbe, un point /?"P**^, ou un point multiple d'ordre de multiplicité p. L'origine

538 CHAPITRK XVIII.

est un point simple de la courbe s'il y a des termes du premier degrf^.

Soit maintenant Xa, yt un point quelconque de la courbe; remplaçons, dans ^(j7, y)y x et y par x^-h^ eiyo-\-Y et ordonnons le polynôme (en X, Y) ©(or^-f-X, yo-f- Y), comme il vient d'être expliqué : si les termes du plus bas degré sont du degré /?, on dira que le point dont les coordonnées sont x^^y^ est un point ;»■'** de la courbe dont l'équation est »(^, y) = o.

Pour que Xq^ yo soient les coordonnées d'un point multiple, il faut que l'on ait (n*» 48) :

Si les conditions écrites explicitement sont vérifiées, le point considért* est au moins r/oub/e.

Je vais montrer, dans le cas où le polynôme 9{x,y) est du troisième ou du quatrième degré, le parti qu'on peut tirer de la connaissance d'un point double; je suppose de suite que ce point double soit l'origine des coordonnées; s'il n'en était pas ainsi, on commencerait par faire la transformation expliquée plus haut. Dans le cas du troisième degré, si l'origine est un point double de la courbe, l'équation de celle-ci doit être de la forme

ax* •+- hxy -h cy^ -h «a?* -h ^x^y -f- '^xy^ -4- %y* = o ;

il suffit de résoudre cette équation et l'équation y = tjc^ pour obtenir x ei y exprimés rationnellement au moyen de t : les courbes du troisième degré qui admettent un point double sont unicursale-^. On voit que x, y s'expriment par des fractions de même dénominateur dont les termes sont, au plus, du troisième degré.

Dans le cas d'une courbe du quatrième degré, si l'origine est un point triple, le même procédé permet d'obtenir jt, y en fonction de/. Si l'origine est un point double, l'équation peut se mettre sous la forme

F, G, H désignant des polynômes homogènes en j?, y qui sont respectivement du second, du troisième et du quatrième degré; en remplaçant y par Ix dans cette équation, on obtient, après avoir suj>primé le facteur x'^^

On en tire

Le poljnome en t sous le radical est en général du sixième degré; s'il arrivait que ce polynôme admit deux racines doubles, ou une racine quadruple, en sorte qu'on pût le mettre sous la forme

K«(/)(A/î-*-B/-hG),

X se mettrait sous la forme

or, on a vu plus haut qu'on pouvait exprimer t en fonction rationnelle d'une autre variable t^ de manière que y^A/^-f-B^ + C s'exprimât aussi rationnellement en fonction de t^ \ dans ce cas, x et, par conséquent,^ = tx s'expriment rationnellement en fonction de /'.

On peut encore essayer, pour une courbe du troisième ou du quatrième degré, dont l'équation est o(x, j^') = o, de résoudre les deux équations simultanées

en choisissant la constante m de manière que l'équation en x

f(x, tnx -\- t) =. w

soit du premier degré quand o est du troisième degré, du second degré, au plus, quand ç est du quatrième degré. Si cela est possible, il est clair, lorsque l'équation en x est du premier degré, qu'on peut exprimer rationnellement x^ y au moyen de t\ dans le cas où, le polynôme ^{x^y) étant du quatrième degré, on peut ramener l'équation en a: à être du second degré, x s'exprime rationnellement, comme tout à l'heure, au moyen de f et d'un radical du second degré, qui porte, en général, sur un polynôme du sixième degré; ici, encore, s'il arrive que ce polynôme soit le produit d'un carré parfait par un trinôme du second degré en ^, la courbe est unicursale.

Une étude approfondie du sujet conduit à des méthodes générales

54o CHAPITItË XVIII.

pour reconnaître si une courbe du fV^^*^ degré est, ou non^ unicursale, et pour exprimer rationnellement, au moyen d'un paramètre /. lorsque cela est possible, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe. Les recettes que j'ai indiquées plus haut réussissent en faiu lorsque le degré de la courbe ne dépasse pas 4* J^ ne m'arrêterai pas à le démontrer.