Applications. — Les intégrales du type
où y est mis, pour abréger, à la place de ^ A^c-' -H 2 B x -h C, peuvent, par le procédé qu'on vient d'expliquer, être ramenées à des intégrales qui portent sur des fonctions rationnelles. 11 en est de même des intégrales du type
/ R(cosa:, sina7)dlr,
OÙ R est une fonction rationnelle de cosj? et de sinj;; on observera d'abord que ces intégrales se ramèneraient au type précédent en posant
cos^ = a, sina? ==fc /i — m*, ds: =z± ;
v/i — tt«
on ramène la quantité sous le signe / à être rationnelle en posant
T i — t* . Il , ifit tang— = /, cosa: = —, sina7= -r» «m? = -z;
je reviendrai d'ailleurs sur les intégrales des deux types précédents. La courbe (folium de Descartes), défînie par Téquation
est unicursale; les coordonnées d'un quelconque de ses points s'eiprimeni par les formules
at an
IH- /> "^ l -f- r« '
en supposant que t varie de o à -h oo, le point a?, y décrit une courbe fermée, tangente aux deux axes, dont je me propose de calculer Taire.
La courbe admet une tangente parallèle à Taxe des y\ on trouverait la valeur ^ de i qui correspond au point de contact A, en cherchant la valeur
dx positive de t qui annule —r-' Le point A sépare la boucle OMANO en deux
traits de courbe OMA, ANO.
Le premier est décrit par le point x^ y quand t croît de o à ^': à ce trait correspond une fonction j^ = 6 (or), vérifiant l'équation de la courbe, définie dans rintervalle (o, a) en posant
at
at'^
quand t croit de o à t*. x croît de o à a et y de o à r-» Le second trait de
courbe est décrit quand t croît de /' à -+- oo ; à ce second trait correspond une fonction jr = 6,(07), vérifiant encore l'équation de la courbe; quand t
croît de /' à -4- 00 , a? décroît de a à o, y varie de 77 à o. L'aire cherchée est
d'ailleurs égale à
Jr ^^(x)dx — I (i(x)dx; 0 • ^1
dans chacune des intégrales faisons la substitution
af
tlx
at' Ot(ar) et 6(0?) prendront la forme -\ mais aux valeurs de a? qui vont de o
à X, correspondent, peur la première intégrale, les valeurs de t qui vont de - 00 à /', et, pour la seconde intégrale, celles qui vont de o à i'; Taire cherchée sera donc
flL
On a d'ailleurs
L*aire cherchée est donc
Si l'on pose
u = i-ht*, du = ^ *« rf*,
on voit de suite que u varie de i à +00 quand t varie de o à oo et l'on arrive, pour Taire cherchée, à l'expression
a* Le calcul s'achève immédiatement; Faire cherchée est égale à — •
La courbe du quatrième degré (leniniscate de Bernoulli) définie par l'équation
(ar»-h^î)t=aî(jr«-7«)
a la forme figurée ci-dessous; cherchons à évaluer Taire OAM située dans Tangle des coordonnées positives.
Fig. 9«.
I/orif;iiio est un point double; en résolvant par rapport à x, / l'équation de la courbo et Téquation j^ = mâr, on trouve
a yT—m 1 -^ m*
X Q\, y s'expriment rationnellement au moyen de m et de v/i — /w*; comme ces deux quantités s'expriment rationnellement au moyen d'un paramètre, en posant, par exemple,
— t^ I Ji /
/Il =
