Je reviens, après ces exemples, aux intégrales du type

où R est une fonction rationnelle de x et de y et où j^ est mis à la place de y\x'-j- 26^-4- C; je vais indiquer un autre procédé d'intégration. Rien n'empêche de supposer B nul, puisque Ton peut loujours commencer par faire la substitution x -\- -^ = x'', c'est ce que je ferai dans ce qui suit. On peut supposer aussi que la fraction rationnelle R(ar, y) ne contient^ qu'au premier degré puisque l'on peut remplacer y^" ety-""^* respectivement par (A^'-j-C)", (.\j:--|-C)''^v: on peut donc, en désignant par M, N, P, Q des polynômes en x, suj>poser que K(x,y) a été mis sous la forme

MP — \Q(Aar«-r-C) (NP-MQ) Ajrt-H-C

où f{x) est une fraction rationnelle en j?, où g{x)^ l^{^) sont des polynômes en x\ puisque l'on sait trouver la fonction primitive d'une fraction rationnelle y(^), le calcul de / R(ar, r)rfx est donc ramené à celui de l'intégrale

Çgjx) dx

Je me bornerai, dans la suite, au cas où les racines de/(-r) sont réelles. En décomposant la fraction Çt^. en élémenU simples, on voit de suite que tout est ramené à effectuer des intégrales qui appartiennent respectivement aux types

où /i ety» sont des entiers positifs ou nuls.

NOTIONS DK CALCt'L INTÉGRAL. î\'t

Considérons d'abord les premières; quand n = '2m -{- i est impair, il est avantageux de faire la substitution

A J7* -+- C = 5*, Xxdx = z dz <|ui donne

/ÂïïTc " J l A ; A •

On développera ensuite ( — ^ — ) P^^ la formule du binôme; le

calcul s'achèxera sans peine.

Quand n = 2m est pair, on obtiendra une formule de réduction, d'après le procédé indiqué au n" 321, en partant des formules

d / , , n — I 7T\ a/wAjrï'w-h^'im — i)Cjc*"»-«

-j- ( a-^m-i /AÏM-C) = ^ ,

J v/Aa:«-+-C J v/Ar«-+-G

dont la dernière permettra de ramener de proche en proche le calcul

de / , a celui de / ,

J /Ax2-+-G J v/Ajr«-i- G

Quant aux intégrales du type

rfr

on pourrait les obtenir par une voie analogue; on peut aussi faire la substitution

I , dz

X =i a -\ — 9 dx = -9

qui donne

d.T /* z/'-» dz

Ji.x-a)Py/Kx*+C j / ^^.

uAa A

/zP- ^ dz /(Aa»H-C)^*H-2Aa;

il convient de remarquer que, si Ton a affaire primitivement à une

intégrale définie, prise entre les limites jcq et x%^ le nombre a ne doit

pas appartenir à Tintervalle (^O) ^i ) si ron veut que cette intégrale ait un sens; par suite, entre les limites correspondantes de la nouvelle intégrale, z ne changera pas de signe; sgn^ sera toujours égal à i ou toujours égal à — i; l'intégrale précédente appartient au type que l'on vient d'étudier.

Si a était nul et sip était impair, il conviendrait encore de faire le changement de variable A:r^+ G =y.

3â8. Considérons maintenant les intégrales du type / R {s'inx, cosx) cLr^

où R(sina:, cos^) désigne une fraction rationnelle en sinjr, cosx.

Si l'on a aflaire à une intégrale définie, les limites Xo^ Xf doivent être telles que la fonction R(sinJ7, cosar) soit continue dans l'intervalle {Xo^ Xi).

On a vu qu'une intégrale de ce type se ramenait à une intégrale portant sur une fonction rationnelle en posant

ar = 2 arc tang^, ax = -» sina? = -rt cosa? = -;

il convient, toutefois, de remarquer que / variant de — oo à -}-», X varie de — it à -H it; la méthode s'applique sans difficulté à une intégrale définie dont les limites appartiennent à l'intervalle ( — r, ti): on aura alors, en posant 1^= tang—, t^ = tang— î-^

Elle ne peut s'appliquer sans modifications lorsque l'un des nombres Xqj Xi est en dehors de l'intervalle ( — tt, tt). Il faut alors ramener les limites de l'intégrale à être comprises dans cet intervalle : on y parviendra en fractionnant au besoin- l'intervalle d'intégration. Supposons d'abord o < x» — ar„ < 2iî; déterminons un nombre entier n tel que Ton ait ( * )

(') /i sera la valeur approchée, à une unité près, par excès de ~-

et faisons la substilution

ûnx et cosx seront remplacés par asinj^ et acos^(*), a étant égal à ( — i)" ; l'intégrale devient

R(a sin^, a cos^) djr»

Si X\ — mz appartient, comme x^ — /iir, à l'intervalle ( — it, ic), le problème est résolu : s\ x^ — /nr est plus grand que ir, on écrira

-, — nie *^x,-/t« *^ir

la première intégrale rentre dans les conditions voulues; pour calculer la seconde, on fera le changement de variable

j^ = n -h z, dy ^dx,

s\ny et cos^ sont remplacés par — sin«, — cos-2 et la seconde intégrale est remplacée par

R(— asin^, — acos^) dz^

qui rentre aussi dans les conditions voulues, puisque x^ — (/i -H i)it ne peut être supérieur à tc.

Si Ton avait maintenant x^ — ;ro>2'n, ce qui ne peut d'ailleurs arriver que si la fonction R(sin^, cosor) est continue dans tout intervalle, on partagerait l'intervalle (^o> ^0 en intervalles tels que

donc chacun aurait une étendue égale ou inférieure à 21c et l'on serait

(*) Gomme le nom de la variable d'intégration n^importe pas, on emploie souvent la même lettre x pour désigner la nouvelle variable : on dit alors que l'on remplace X par nie + x\ les limites x^ et x^ sont remplacées par x^^ nie, x^— n-K\ la

quantité sous le signe / ne change pas, si n est pair.

ramené à des intégrales

,Xo-4-aTC /•J»-t-*«

que l'on sait traiter.

On observera qu'une intégrale de la forme

où la fonction* sous le signe / est supposée continue dans tout intervalle, est indépendante de x^ : en effet, on peut récrire

î« >,iir+j'o

en remplaçant dans la dernière x par a-n + .r, on la ramène à la

; elle détruit la première et l'on a, quel que soit x«, w

>,.T,-«-«1C ^tlZ

si, en particulier, on prend Xo = — it, on voit que l'intégnile ccumdérée est égale à

/ R{sinx,cosx) cLc = 1 iRl -» -) -•

Les calculs que l'on vient d'expliquer sont, dans certains ca>. susceptibles de simplifications. Si la fonction R(sin^, cosx) peul être mise sous forme de fonction rationnelle de sin2X, cos2.r, u qui arrivera en particulier si R(sinj', cosx) est rationnel en sin-x, cos'-'j:, il sera avantageux de prendre pour nouvelle variable non pa>

^V^S: ' '"^'^ '^'^^^ tang^; il y aura, pour ce qui concerne les limili>.

à prendre des précautions analogues à celles sur lesquelles je \ieii? d'insister.