Telles sont, par exemple, les intégrales du type
r dp
J a cos*iF -I- b sin'x
sur lesquelles je vais m'arrêter un instant. J'observe d'abord que les intégrales du type
J a cos^ X -h b sin^ a: -h c J (a
H- c) cos*a7 H- (b -h c) %\ïi^x
rentrent dans le type précédent; il en est de même des intégrales du dx /"* d.r
■ (A H- B)cos* — h(B — A)sin*-
après que l'on y a remplacé x par 2^; plus généralement les inté- «îrales
r dx
J A cosir -♦- B sinar -i- G
ventrent encore dans le même type : si Ton détermine, en effet, un angle a tel que Ton ait
A = rcosa, B = rsin5c, elles prennent la forme
r dx
J r cos{x — a) -h c'
<»t il suffit de remplacer x par %-{- x pour les ramener à un type que l'on vient d'examiner.
Ceci posé, pour ce qui est des intégrales
dx
on aura à distinguer deux cas, suivant que a et b sont de mêmes signes ou de signes contraires. Le cas où l'une de ces constantes
55o CHAPITRE XVIII.
serait nulle se traite immédiatement, puisque Ton a
/dx __ Ç dur __
cotangor = —
tangx
1° Supposons que a et 6 soient de signes contraires. Si Ton a affaire à une intégrale défînie, prise entre les limites x^ et ar,, il faut, pour que cette intégrale ait un sens, que le dénominateur
a cos'xH- b sin'jr
ne s'annule pas dans l'intervalle (a?©, a:,), en d'autres termes que Ton n'ait pour aucune valeur de x appartenant à cet intervalle
tangar=±i/— ^.
Supposons qu'il en soit ainsi; on pourra, par des procédés analogues à ceux qui ont élé décrits plus haut, quitte à fractionner l'intégrale, s'arranger pour que les limites appartiennent à l'intervalle
( y - j» puis faire la substitution
iF = arctanff/, dx = -, sin*a? = r> cos'ar= ;
qui ramène l'intégrale à la forme
r dt J a-^-bt^'
que l'on sait traiter : aux limites Xq^ x^ correspondront les limites ^0 = tang j^O) 'i = tangXi .
On peut d'ailleurs se dispenser de ramener les limites à être
comprises entre — - et -h -• Si, en effet, on pose tanga =1/ — t»
la substitution précédente, faite sans se préoccuper des limites, conduit aux. égalités
r df^ r dt I . tangjT — tanga 1
,/ a C()s«^ H- b sïn^x " J a-h bt* ~~ ^b tanga ^ tangjr -+- iang« |
26tanga ^ | sîn{ar -4- a) |
régalllé des membres extrêmes veut dire que la dérivée du dernier
membre est , . ^ ; c'est d'ailleurs ce que le lecteur n'aura
acos*.r -h 6 sin*a7 ^
point de peine à vérifier; pour appliquer cette formule à la détermination d'une intégrale définie, prise entre les limites Xq et Xi, il suffit
<iue la fonction le -7—, soit continue dans l'intervalle (xq, Xi ),
' ^*j' sin(a7 — a) , , ^ j. ' n '
c est-a-dire que -r-^ ^ ne s annule pas et ne devienne pas inhni,
ou encore que x ne prenne dans cet intervalle aucune valeur de la forme dz a-H rmz, m étant un nombre entier; or, pour une telle valeur, on aurait
tanga? = iang(=fc a) =±1/— |
^t l'on a supposé que cela ne pouvait avoir lieu dans l'intervalle (xo^Xi) afin que l'intégrale proposée eût un sens. On peut donc écrire
/'* da^ __ I r I sin(37i — g) I sin(aro— a) 1 *|
a cos*ar-+- 6 sin*a7 "" -26 tanga L ^ I sin(a7i-i-a; ° | sin( jro-i- a) | J
I . sin(j7i — a) sin(a?Q-i- a)^
"" 2^tanga ®sin(a:i-ha) sin(a7o — a)'
<lans la dernière expression, la quantité sous le signe Ig est positive, «car les deux facteurs sont de mêmes signes. On a, par exemple,
1£ X. /77r Tc\ . /Sir 7c\
d. 1 , ^^nT-3J^'"(-6-^3J
r ± =--^ig
J,^ 3 cos«ar - sin«a7 21/3
. Tz . 7'jr sin-sin %- I . 00
^'V^ sm — sin- 1 7.
Considérons maintenant les intégrales du tj[.e
dx
J a cos*
.r -4- 6 siii^a?
'Jji. CHAI'ITRE .WIII.
OU aeib sont de mêmes signes ; dans ce cas, la fonction sous le signe /
est toujours continue; on peut appliquer ici les méthodes générales, il est plus aisé de se rappeler que la fonction toujours continue
(n" 211) Arc lang f l/- tangx j, dont la valeur est comprise entre le>
. , . , , t: , , i ' • f yJab s^w a mêmes multiples de- que le nombres, a pour dérivée , . ^ ^
en sorte qu'on peut écrire
/ ; î — :— T— = -4:^ Arc lang ( l/- langx).
J « cos*ar-h ^sin^j- ^/^^ \V « /
On a, par exemple, en supposant a, b positifs,
r* dx ^ IC
J^ «cos»j'-+-6sin«ar "" ^/ôï'
r'"" dx ^ -^^
La méthode qu*on vient d'expliquer suffit à faire comprendre que. uu lieu des fonctions arc tang^, arc si n^:, ..., définies sans ambiguïté au n** 200, il peut être avantageux d'introduire des fonction*» Vrc tang. Arc sin, appropriées au problème spécial qu'on a en vue, ei dlHérentes de celles qu'on vient de rappeler. Supposons, par exemple, que les limites de Tintégrale à calculer soient x^. x^ et que Ton soit amené à y faire le changement de variable t = tangjr, la tangente \ariant d'une façon continue dans l'intervalle (oto, X\ ) dont je
ne suppose pas que les bornes appartiennent à Fintervalle ( ^» - ) ;
si>iont d'ailleurs
/a = lang Xo, /i = tangxi ;
Il Y a une détermination de Arc tang/, telle que, / variant de /« à /,, celte détermination \arie, sans oscillation, de x» à x, ; il sera loul n iturel de Ki choisir,
J\>hser\orai aussi qu*il est parfois commode de fTecluer fi nlégraliou suK lrt>p se préoccuper des limites, de |)arvenir. comme on le peut, à u le touotion qui aiinielte comme déri\ée le ci»eflîcienl de dx so\\> ie
sl«;ne / el de s'assurer ensuite que les conditions de continuité sous lesquelles on peut appliquer la formule fondamentale
sont vérifiées.
Si, par exemple, on fait dans Tintégrale
r dx
J langjr — tangt/
la substitution tangr = /, on la ramène à la forme J (I-^-/»)(^ — tanga)
, r dt ^ r tdt r dt
= cos'a I cos*« / -;-— sinacosa / ~
. , I tangj- — ta:i&:a 1 = cos'a Ig — — ^-— — jTsina cosa.
I \J \ -t- lang-a |
On en conclut que la fonction
F(a-) = cos'rt Ifî I sin(x — a)\ — x siiia cosa
admet pour dérivée •
tangj* — tanga
D'un autre côté, si l'intégrale doit être prise entre les limites a^o, a^i, il n«
doit y avoir dans l'intervalle (Xy, X\) aucune racine de Téquation
tang^ — tanga = o ou sin(a? — a) = o;
dans ces conditions la fonction F(a:) est continue dans rintcrvalle {x^^x{) et l'on peut écrire
I /•'* dx , (sinf^r,— a)| ,
/ =cosaIg -r—r ■ — (oTi — a?o)sma.
cosa^^ tangx — tanga °|sin(jro — a)|
On peut même, dans le second membre, supprimer les deux barres verti-
I J 1 !• . 1' !• 1. • sinCj* — a) ,
r.iles, car, dans les conditions que 1 on a dites, 1 expression -: ^'arde
' ^ ' r sin(Xo— a) '^
•ion signe dans tout l'inlcrvalle (a^o, Xi); elle est positive pour a" — oto» clic
lest encore pour x = Xi.
En parliculier,
dx Ig2 Tri/3 ^ — langar 4 <-*
à un denrii-millième près, par excès.
330. Enfin, il convient de dire encore un mol du cas où la fonction R(cosa7, sinx), qui figure dans l'intégrale
/ R(cosa?, sinar) rfr,
est un polynôme en cos;r et sin:r; on a déjà donné, au n" 315, une méthode pour traiter ce cas; on peut aussi remarquer que tout se ramène au calcul des intégrales du type
/ cos/'arsin^j-^,
où />, q sont des nombres entiers positifs ou nuls. Il est aisé de trouver une formule de réduction pour cette intégrale, que je désignerai par A^^^. On a, quels que soient les entiers a, p,
^(cos*a7sinPir) = — a cos^'^ x slnP-*-^ x -\- ^ cos«-»-*arsinP-'a?
= — acos«-*arsinp-ïar(i — cos'a?) -+- p cos*-<-*a?sinP"'i* = (a -h P) cos*^-*irsinP-* J7 — a cos*-*ar sinP-*a: = — ( a -+- p ) cos*-* X sinP-^' x -h ^ cos»-* x sinP-* r,
d'où Ton déduit
(a -4- P) Aa-f.,,p i — ût Aa i,p i = cos«.t sinPa?, — (a -4- p) Aa-i.p+i -H pAa-i,p-i = cos«J7 sinPar,
et, par suite,
(/>-+-^)Ap,ç = (p — i;Ap-i,y-t-cos/^>a?sin^+«^ = (^ — O^A'.y-î — cos/^'arsin^-^a?.
Ces formules ramènent, de proche en proche, le calcul de A^^^ au calcul d'une intégrale du même type oii /y, q sont égaux à o ou
à 1. Au reste, elles pourraient encore servir, en les résolvant par rapport à A^2,^, ^p,q^2 si/? et ^r étaient négatifs. En restant dans le cas où /?, q sont positifs, on observera que, si Ton désigne par A' ^
l'intégrale A^,,^ prise entre les limites o et-, on a
tant que /?, q sont plus grands que i; il est aisé de déduire de là l'expression de A^^.
Lorsque l'un des nombres ;>, q est impair, on procède autrement pour le calcul de A^^^ ; si, par exemple, p est impair, on écrira
/ cosP X sin^ X cLv = 1 sin^ar^i — s\n^ x f^ d sin x = j /7(i — f«) « dt,
en posant t = sin^ : on n'a plus qu'à intégrer une fonction entière. Signalons encore les intégrales du type
I R(e')dx,
où R(e') est une fonction rationnelle de e^; le cas où K(e^) est un polynôme en e^ a déjà été traité. On peut poser, en général,
c*=/, x=\^t, dx^-jy
on est encore ramené à une différentielle rationnelle.
