ÉVALUATION APPROCHÉE D'UNE INTÉGRALE DÉFINIE

331. J'ai déjà donné, au n** 304, quelques indications sur ce sujet. Lorsqu'on ne sait pas trouver l'expression explicite d'une intégrale définie

J f{x)dx, c'est aux méthodes d'approximation qu'il faut avoir recours; il con-

vient d'observer d'ailleurs que l'expression explicite elle-même nf permet pas, d'ordinaire, autre chose qu'un calcul approché, et qu'elle n'est pas toujours plus avantageuse, même à ce point de vue, que \t< méthodes indiquées au n" 304 et sur lesquelles je dois m'arrêler un peu. Quoi qu'il en soit, la possibilité d'évaluer, avec telle approximation qu'on veut, une inté^^rale définie montre nettement que, si l'on regarde l'une des limites, la limite supérieure par exemple, comme une variable, l'intégrale définie est une fonction de celle variable (n° 194). La classification des fonctions ainsi définies, rétude (le leurs propriétés, constitue un Chapitre très important de IWiwlyse. La première chose à faire est d'apprendre à les calculer: pour le reste, je me borne à remarquer que les théorèmes sur la variation de> fonctions s'appliquent naturellement à l'étude de la variation de la

fonction / /(^) dx^ dont la dérivée par rapport à x est /(x) : c'est

seulement sur le calcul numérique que j'insisterai.

Je supposerai que la fonction /(x) est continue dans Tintervalle (a, b); j'en désignerai une fonction primitive par P{x) en sorte qu'on ait

naturellement, on ne supposera pas que la fonction F (a:) soit connue: V{x) est simplement un symbole commode pour les explications théoriques; enfin je supposerai, comme au n" 304, que Tinterai»* mesure une aire, décomposée en bandes étroites par des parallèles h l'axe des^r; l'aire exacte d'une de ces bandes a une expression de l.i forme

où je supposerai cl <^p.

On remplace cette aire par une expression approchée; si l'on connaît une limite de la valeur absolue de l'erreur que l'on commet, la somme de ces limites, relatives aux diverses bandes, fournii*a une limite supérieure de Terreur.

La différence /i = [3 — a des abscisses des parallèles à l'axe des y qui limitent la bande est petite; je la regarderai comme du premier ordre, en emj)loyant un langage analogue à celui de la théorie de>

NOTIONS DE CALCL'L INTKGRAL. 557

infiniment petits (n" 245, note du n« 19); je regarderai A" ou le produit de A" par un nombre que Ton suppose être ni très petit ni très grand, comme étant du /i'*'"" ordre. Ce langage coïnciderait avec celui du n** 245 si l'on regardait, par exemple, a comme fixe, ^ comme variable et p — a comme l'infiniment petit principal.

La méthode même qui a conduit tout d'abord à la définition de rinlégrale définie consiste à prendre A /(a) ou hf{^) comme valeur approchée de l'aire de la bande; l'erreur est alors, dans le premier cas,

en supposant que la formule de Taylor s'applique et en remplaçant F(a H- A) par

F(a)-HAF'(a)-h^F'(a)+...= F(a)-h;i/(a)+Ç/'(a)-h..., l'expression de cette erreur devient

On voit qu'elle est du second ordre, en supposant que /'(a) ne soit pas très grand, en valeur absolue. La conclusion serait la même si l'on avait choisi la valeur approchée A/(jï).

Si l'on prend pour l'aire de la bande l'aire 7[/(P) -H/(ot)]> l'erreur sera

Elle sera, en général, du troisième ordre ( ' ).

(•) En prenant la valeur h fl ^j = /i/(a h — j que l'on a encore indiquée

au n* 304 comme valeur approchéei on trouve que l'erreur est

Supposons qu'on ait divisé l'inlervalle (a, b) en n parties égale-* à A, et qu'on remplace chacune des n bandes ainsi obtenues par le trapèze correspondant; on commettra sur chaque bande une erreur comparable à A* ; on peut donc s'attendre, sur le tout, à une erreur comparable à

/iA*= (6 - a)/i« = ^-^^^=^' , c'est-à-dire à une erreur du second ordre.

On peut d'ailleurs donner une meilleure évaluation de Terreur

commise sur chaque bande : représentons celte erreur par A(3 — a)', A étant un nombre qu'il s*agit d'évaluer; pour cela, considérons la fonctioD

elle est aussi du troisième ordxe» à peu près moitié moindre, et de signe contraire. On est conduit, par ce calcul mènM« à une méthode encore préférable : il montre ea effet que, dans la somme des développeme&ls suivant les puissances de A des quantités

F(« + A)-F(.) J[/(«)-K/(P)], et

les termes en h, h^, h* disparaissent : le développement de

= F(a4-A)-F(a)-^[/(a)-h/(a-hA)-f-4/(«-Hj)]

commence donc, par un terme du quatrième degré au moins; en fair, ce développement commence par le terme

L'cipression ^ /(a)-^-/(P)-^-4/^î-±J^^ fournit donc une très bonne valeur

approchée de Taire F(p) ~ F(a) de la bande considérée; cette expression est cxacie quand f{x) est un polynôme du troisième degré, au plus, comme il résolce du calcul même, puisque, alors, les dérivées d*ordre égal ou supérieur à 4 sont ideoti-

de X

<p(x) = F(x) - F(a) - î^ [/(a) +/(af)] - A(x - «)».

Pour âT = p, cette fonction est nulle d'après la définition de A; pour :7 = a^ elle est nulle identiquement, ainsi que sa dérivée

il en résulte que sa dérivée seconde

cp'(a7)=— î-=^/'(ar) — 6A(ar — a) doit s'annuler pour un nombre ^intermédiaire à a, p, c'est-à-dire qu'on a

quemeoi nulles. D où Tiaterprétation géométrique suivante :

oc 4- 3 Par les trois points de la courbe proposée dont les abscisses sont a, -y p, oo

fait passer une courbe ayant une équation de la forme

^^ = A -*- Bj? 4- Ca7>+ D^,

et Ton substitue à \^ bande proposée celle que limite cette dernière courbe. Quelle que soit la courbe, ayant une équation de cette forme, qui passe par les trois points, le résultat est le même. La plus simple de ces courbes est évidemment une parabole ayant son axe de symétrie parallèle à Taxe des y.

La méthode d*approximation fondée sur l'emploi de la formule précédente est due à Simpson. Il est bien aisé de voir, en supposant qu^en ait divisé Tintervalle (a,6> en an parties égales et qu'on pose

J7, = a-+-/i, a?j=a-i-2A, ..., a?,^, = a -+- (an — i)A»

qu'elle conduit à prendre pour valeur approchée de l'intégrale / f{x)dx^ l'expression

|[P + aQ + 4R].

OÙ Ton suppose

H=/(a7,)-t-/(ar3)4-...H-/(x,,,).

56o CHAPITRE XVUI.

et que Terreur peut être mise sous la forme

D*une pan, on obtiendra ainsi aisément une limite de celte erreur si Ton a mi'' limite des valeurs absolues de /'(x) dans Tintervalle (a, S); crautre p<ir(. i.i forme même qu'on vient de trouver conduit naturellement à une ainélioraiion de la méthode : si, en eflfel, on suppose qu'on divise rintervalle (a, 6) m

n parties égales à h =z et qu'on fasse

que Ton désigne par ^i, ^t, ..., ^„ chacun des nombres analogues à S, relaiiK aux intervalles partiels (ai,a?i), (iPiyXf), ..., (Xn-i,à) et par S la sonimdes trapèzes, on aura (exactement)

La première expression de l'intégrale montre que, si Ton désigne par M ui. nombre égal ou supérieur aux valeurs absolues dey (x) dan» rintervalle «a, /". Terreur commise en prenant S pour la valeur de Tintégrale est moindre que

nMA» (6-a)M/i«

Dans la seconde expression, on voit que la quantité entre crochets, si h ca assez grand, est voisine de Tintégrale

f(x)clx=f(b)-f{a).

On pourra donc prendre pour valeur approchée de rinit^grale

(lotte expression, appliquée à la bande dont Taire exacte est F(3)— F(i'. fournirait, comme valeur approchée de cette bande, Texpression

Un calcul analogue à celui qu'on vient de faire pour calculer Terreur, conduirait à la relation (>)

F.^,-F(.) = (p-,)/<'>y^P>-ii^[/'(P)-/'(a)]-^l^V-m

en désignant par $' un nombre compris entre a et p. Dans cette nouvelle formule, le dernier terme est identiquement nul quand /(a?) est un polynôme de degré inférieur à 4; dans ce cas la formule

donne la valeur exacte de Tintégrale. La même relation permet de reconnaître aisément que Terreur commise en adoptant cette dernière valeur pour Tinté- ^rale est moindre en valeur absolue que

on désignant par M' un nombre égal ou supérieur à la plus grande des valeurs absolues de/*^(a:) dans Tintervalle (a, b) (*).

Appliquons ceci à la recherche dé la valeur de Tintégrale

^ dx

dont on sait que la valeur exacte est -r =0,7853981....

En divisant Tintervalle (0,1) en cinq parties égales, on a à calculer les va-

j 2 3 4 leurs des six ordonnées correspondant aux abscisses o, -ry -> 77 -9 i ; on doit

ajouter la demi-somme des ordonnées extrêmes et les quatre ordonnées intermédiaires; le calcul est indiqué ci-dessous; il a été fait avec six déci-

(*) Le même genre de raisonnement conduit, pour la méthode de Simpson, à la relation suivante :

(') Il est clair qu'on pourrait continuer ainsi. Le résultat général est contenu dans une formule due à Euler, dite formule sommatoire d'Euler-MacIaurin.