Lorsque la fonction /(a?) qui figure dans l'intégrale

S= / f{x)dx est développable en une série

intégrable terme à terme (n° 310), et telle que la série des intégrales soit rapidement convergente, on a là un moyen naturel d'avoir une valeur approchée de S. Il est tout indiqué quand la' fonction f{x) n'est connue que patson développement en série (/). Il s'applique en particulier quand la fonction f{x) est développable en série entière ou en série de Taylor.

Je considérerai, à titre d'exemple, le cas où la fonction /( \-h\ esl

développable par la formule de Taylor

En faisant dans l'intégrale proposée le changement de variable x = — -^ h A,

elle devient

et Ton trouve de suite, en désignant par/o, /i', /ô\ ... les valeurs de la fooc-

(*) On démontre que la valeur exacte de l'intégrale est

NOTIONS DK CALCL'L INTÉGRAL. 565

lion f{x) el de ses dérivées d'ordre pair pour x = S = {b — a)/o-h

ib-a)^ fl {b--af yr

Celte formule s'appliquera ulilement, en parliculier, dans le cas où Tintervalle (a, 6) est petil, en sorte que les termes décroissent rapidemenl. On a 4léjà signalé le procédé d'approximation qui consiste à ne garder que le premier lerme

.-„,/(îi-').

%h. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

333. Je vais donner un certain nombre d'applications de la méthode générale expliquée au n° 304, pour parvenir, quand on ne sait pas le faire directement, à l'évaluation d'une quantité Q. On décompose cette quantité en petites parties qu'on puisse évaluer approximativement : si, en particulier, tous les éléments sont positifs et si l'erreur relative commise sur chacun d'eux est moindre que p, l'erreur relative commise sur la somme est aussi moindre que p. Si l'on peut faire correspondre la décomposition de Q à une décomposition d'un intervalle (a, 6) en intervalles partiels (a, ^i), (^1,^2), ..., KXn-ib^^a^Xx^x^^ . . .jjT/,, 6 étant des nombres rangés par ordre de grandeur, si l'on sait mettre l'expression approchée de chaque partie de Q sous une forme telle que (^/>+i — ■^/>)/(S/»)î où \p désigne un nombre appartenant à l'intervalle (j^j», ^/y+i) et/(j7) uue fonction continue ilans l'intervalle (a, 6), la somme

(Jr,-a)/({l)^-(a7,-a7l)/(Ç,)-^-...-t-(^- ^/i-i)/(Ç«)

fournira une expression approchée de la mesure de Q ; cette somme diffère aussi peu qu'on le veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits, de l'intégrale

b f{x)dx.

lui sera la mesure cherchée.

Il arrive souvent que la mesure de Q manque, tout d'abord, de (lofmition précise; c'est l'intégrale même, à laquelle on parvient en se guidant sur la nature de la question, qui fournit cette défînilion. Dans le cas ou l'on possède a priori celle définition, on peut, au lieu d'employer le procédé qu'on vient de décrire, se servir du mode de raisonnement que l'on a appliqué au n° 222 pour les aires et au u" 298 pour les arcs : on regarde Q comme un état d'une grandeur \ariable dépendant d'une variable indépendante x et l'on cherche la dérivée de cette fonction. Le lecteur n'aura pas de peine à reconnaître que ce mode de raisonnement s'appliquerait à plusieurs des cas (ju'on va examiner.

Au reste, dans ces applications, je ne m'attarderai pas à établir rigoureusement la légitimité des résultats en étudiant, par exemple, les petites erreurs commises dans l'évaluation des parties et en montrant qu'elles n'ont pas d'influence. La répétition serait par trop fastidieuse.

Je commencerai par une observation concernant les arcs.

334. Arcs. — La règle que Ton a donnée au n** 298 pour calculer Tare de la courbe définie par les équations

compris entre les deux points qui répondent aux valeurs /«, /' du paramètre, consiste, lorsque les arcs croissent avec /, à former la dilVérence F(/') — V{f») en désignant par F(/) une fonction prinaili^e de \^/'{f) -l-<f'^(,')> elle revient à dire que l'arc s'exprime par rinlograle définie

f v(rvTT7v)rf/.

Supposons les nombres i^, /, in^t^ t* rangés par ordre de

grandeurs croissantes, et les intervalles {t^%i\)^ {U^^^u ... très petits: la somme

où 0|, O2» - 0^ sont des nombres qui appartiennent respectivement

aux intervalles partiels, dîflere très peu de Finlégrale définie, si ces

intervalles sont très petits. Ainsi qu'on Fa déjà fait observer au n° 298, les quantités qui multiplient les différences t^ — /q? • • • ? ^ — ^/i-i diffèrent très peu des rapports que Fon obtient en divisant respectivement par ces différences les longueurs des cordes qui joignent au suivant chacun des points M^, M,, . . . , M' de la courbe qui correspondent aux valeurs ^©j 'd • • • ? ^' du paramètre. En remplaçant chacun des éléments de la somme précédente, qui sont tous de mêmes signes, par la corde correspondante, l'erreur relative commise sur chaque élément est très faible; il en résulte que l'erreur relative commise sur la somme est aussi très faible; d'où la conclusion suivante, annoncée au n° 298.

La longueur d'un arc de courbe Mo M' diffère aussi peu qu'on le veut de la longueur de la ligne brisée MqMi, ..., M' pourvu que les points consécutifs Mo, M|, . . ., M' correspondent à des valeurs du paramètre croissantes et suffisamment rapprochées.

La démonstration suppose l'existence et la continuité des dérivées.

335. Aires en coordonnées polaires. — Considérons une courbe rapportée à des coordonnées polaires.

Supposons qu'on veuille avoir l'aire comprise entre les deux rayons vecteurs OA, OB, et l'arc de courbe AB, dont l'équation estp=:/(to); et dont on obtient tous les points en faisant varier a> depuis la valeur a, qui correspond à la direction OA, jusqu'à la valeur p, qui correspond à la direction OB. La variable co va jouer ici le rôle de la variable x du raisonnement général. On décomposera le secteur curviligne à évaluer en petits secteurs curvilignes o- par des rajons vecteurs par-

tant du point O; l'un de ces petits secteurs est limité, par exemple, par les rayons OM', OM" qui correspondent aux angles polaires co', w": on lui substitue le secteur circulaire OM'P, dont l'aire est - p^ (w^— to') en désignant par p la valeur du rayon vecteur OM'; on parvient ain^i. pour l'évaluation de l'aire, à la formule

SI le pôle était intérieur à un contour défini par l'équation p :=/(tu'i, et dont on obtiendrait tous les points en faisant varier w dans un inlf rvalle de air, l'aire limitée par ce contour se calculerait par une formule telle que

SI le pôle était sur le contour même, et si l'on obtenait tous Ie> points de ce contour en faisant varier, dans la relation p =/(<«)), o de a à a + *rc, on aurait pour la surface

I r*"^'' S=-^ p.rfo>.

L'angle a serait l'angle polaire d'une direction choisie sur la tangente

Fig. loo.

au pôle. La formule doit être modifiée si le pôle est un point anguleux de la courbe, ou si celle-ci traverse sa tangente.

Considérons le cas où le pôle est extérieur au contour de Taire: je

suppose que celle aire soil comprise enlre les deux tangentes cxlrêmes 0.\, OB correspondant aux angles polaires a el j3, et qu'une droite menée par le point O rencontre le contour en deux points; l'aire cherchée est la différence des deux aires OAMB, OAPB; le lecteur reconnaîtra de suite qu'elle est égale à

- / /(w)<ioj, ^ • 'a

en désignant par/((o) la différence OM^ — OP^ des carrés des rayons vecteurs OM, OP qui correspondent à l'angle polaire a>.

A propos des coordonnées polaires, je rappelle qu'on a calculé la différentielle de l'arc (n" 302); il résulte de l'expression trouvée que Tare d'une courbe limitée à deux points qui correspondent aux angles polaires a, p est donné par la formule

sy^'

p'* d{ûy

en désignant par p' la dérivée de p par rapport à co.

Si p et o) étaient exprimés en fonction d'un même paramètre /, l'aire serait donnée par une formule telle que

XV'-(S)'-(f)'-

Exemples. — Considérons Tellipse défînie par l'équation