COS

l'arc de la courbe, compris entre les deux points correspondant aux valeurs 2, P de co, sera donc

•P dw

Cl)

cos'"-^* — m

si m -h I est positif, on doit supposer que cos — ne s'annule pas dans riniervalle (a, p). La courbe se réduit à une droite pour m = i, à un cercle

( • ) L'angle u est Vanomalie excentrique du point M ; le lecteur retrooTera ceiif formule par des considérations géométriques, en regardant Tellipse eommr la prjection du cercle.

pour m = — I ; pour m = 3, on a

cos»^

Siangj -h tang3y,

la formule est valable tant que w est intérieur à l'intervalle ( r — )•

336. Intégrales relatives à un arc de courbe. — On considère un arc AB d'une courbe qui, rapportée à des coordonnées rectangulaires,

Fig. 102.

est définie par les équations

Pour désigner le point de cette courbe qui correspond à la valeur t du paramètre, je me permettrai de dire, d'une façon abrégée, le point t. Je suppose l'arc décrit en faisant varier t de a k b. On se donne, en outre, une fonction cp(^) de la variable t. On divise l'arc AB en petits arcs, on multiplie la longueur de chacun de ces arcs partiels par la valeur de la fonction cp(^) pour une valeur du paramètre t correspondant à quelque point de cet arc partiel; on fait la somme de tous les produits ainsi obtenus; on demande de quelle limite s'approche cette somme, quand le nombre des arcs partiels augmente indéfiniment et que la longueur de chacun d'eux diminue indéfiniment.

Le petit arc dont les extrémités correspondent aux valeurs ^', ^' du

paramètre peut être remplacé par (^' — ^') vV'^C^O + 5^^(^')î ^^ limite cherchée est