t)dt

OU, en supposant que les arcs croissent en même temps que t^

en prenant l'arc de courbe 5, compté à partir d'une origine fixe, pour variable, en désignant par 6(5) la fonction de $ qui remplace ç(/) el par a, ^ les valeurs de l'arc qui correspondent aux points A, B. on aura

Regardons la courbe comme un fil matériel très fin ; soit k la dcnsite (*) du fil au point ^, l'intégrale

représente alors la masse du fil : elle se réduit à la longueur pour A' = 1 .

On démontre, en Mécanique, que, si ç(^) désigne la distance à une

r* ds

droite fixe du point t de la courbe, l'intégrale / k^{t)--rdt dÎNisée

r^ ds par la masse M = / /^'-yi^f^ donne la distance du centre de gravité

(') Si l'on considère un arc de la courbe, ou plutôt du fil, la densité moyenne de cet arc est le rapport de sa masse à sa longueur. Soit A un point de la courlv: envisageons un petit arc de courbe contenant le point A; admettons que la denMté moyenne tende vers une limite, quand Tare, en se rapetissant, tend à se réduire dU point A, cette limite sera la densité au point A. Inversement, en supposant celle densité continue, la masse d'un petit arc s'obtient, avec une erreur relative in*? petite, en multipliant la longueur de l'arc par la densité en Vun quelconque de ^e< points : d^où l'expression de la masse sous forme d^ntégrale.

Considérons de même une surface matérielle (plaque mince, membrane, etc.); I*> densité moyenne d'une portion de cette surface s'obtiendra en divisant la masse de cette portion par son aire : si cette portion se rapetisse autour d'un point A et »i 1" densité moyenne tend vers une limite, cette limite est la densité en A.

Considérons enfin un volume limité, rempli de matière. La densité moyenne d'une portion de cette matière s'obtiendra en divisant la masse de cette portion par son volume. En faisant tendre le volume vers o, on obtient la densité en un point.

Je désignerai la densité en un point par A'; elle dépend en général de ce poini: quand elle est constante, la matière du fil, de la membrane, du corps est dite hom'tgene. Dans les applications géométriques on suppose souvent /r = i.

à celte droite; en particulier les coordonnées X, Y de ce centre de gravité sont

jr;, y doivent être remplacés par /(^), giO-

Par exemple, pour l'arc de cercle défini par les équations x^r cos ty y=r sinty quand t varie de — a à + a, on a -t^ =: r et les coordonnées du centre de gravité sont, en supposant la densité égale à i ,

Si la fonction ç(^) représente le carré de la distance du point t de la courbe à une droite fixe, l'intégrale

At(o^:

dt

est ce qu'on appelle le moment d* inertie de l'arc de courbe par rapport à la droite; ainsi le moment d'inertie par rapport à l'axe des x est

' ky^^dt.

-^ dt

Par exemple, le moment d'inertie par rapport à l'un des axes d'un segment de droite homogène de longueur /, parallèle à cet axe et situé à une distance de lui égale à a s'obtient en multipliant là^ par la densité.

Si la fonction <p(^) désigne le carré de la distance du point t de la courbe à un point fixe, l'intégrale

dt

k^(t)^dt

est le moment d'inertie de l'arc de courbe par rapport à ce point. Le moment d'inertie par rapport à l'origine est ainsi

il est la somme des moments d'inertie par rapport aux deux axes.

5y.\ CHAPITRE WIII.

Le moment d'inertie d'une circonférence de cercle de rajon /% par rapport à son centre, est 2Tzkr^, en supposant la matière homogène.

337. Intégrales relatives à une aire plane. — Considéions, dans le plan, un contour (C) limitant une aire «A»; je supposerai, pour simplifier, que ce contour (C) soit rencontré en deux points seulement par les parallèles à l'axe des y, comprises entre les tangentes parallèles à cet axe, tangentes que je suppose correspondre aui abscisses a et é. La longueur interceptée sur une parallèle qui correspond à l'abscisse x est un nombre positif qui dépend de x et que je désignerai par f (a?). C'est la différence entre les ordonnées des deux points de la courbe qui ont x pour abscisse.

Ceci posé, imaginons qu'on décompose l'aire <Â> en bandes Irè* étroites par des parallèles à l'axe des y^ que l'on multiplie l'aire de chacune de ces bandes par la valeur •i(x) d'une certaine fonction relati>e à un point de la bande (peu importe lequel); on fait la somme de tous les produits ainsi obtenus, et l'on demande de quelle limite cette somme s*approche indéfiniment quand, le nombre de> bundos croissant indéfiniment, Tépaisseur de chacune décroit indéfiniment.

On substitue à Taire de la bande M'M"PF qui correspond aux limites x\ x' Taire d\in rectangle qui aurait pour base Tépaisseur r" — x' de la bande et pour hauteur M'F=o(j:') ou ^FP; on substitue au produit partiel relatif à celte bande la quantité

il apparaît alors que la limite cherchée est Tintégrale

NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. Sj)

Si ron prend ^{x) = ij Tintégrale représentera évidemment Taire X.

Regardons l'aire X comme une plaque homogène dont l'épaisseur est négligeable. On montre, en Mécanique, que, si l'on prend "^(x) = j:, l'expression

est l'abscisse du centre de gravité de cette plaque. L'ordonnée de ce centre de gravité s'obtiendrait d'une façon analogue en décomposant l'aire X en bandes étroites par des parallèles à l'axe des x.

Dans les mêmes conditions, si l'on prend J/(j?)=::r^, l'intégrale

où; A: est la densité (supposée constante), est ce qu'on appelle le moment d^ inertie de la plaque par rapport à l'axe des^.

Considérons, par exemple, une plaque rectangulaire ayant ses côtés respectivement égaux à a et à P; le côté de longueur ^ est supposé parallèle à l'axe des j^; soit Xq l'abscisse du centre de la plaque; en supposant la densité égale à i , le moment d'inertie de la plaque par rapport à l'axe des y sera

^x^'dz:= -C( 12x5 -haï).

Les moments d'inertie de la plaque par rapport au côté de longueur p et par rapport à la parallèle menée par le centre à ce côté

a» S a» S seraient respectivement -^f — ^-

338. Intégrales relatives à un volume. — Considérons un volume V limité à deux plans (A), (B) parallèles à un plan fixe (H) que le lecteur pourra se figurer comme étant horizontal. Imaginons un axe OZ perpendiculaire au plan (H) et le perçant en O. Le point O servira d'origine sur l'axe OZ ; chaque point M de cet axe sera déterminé, comme d'habitude, par l'équivalent algébrique du vecteur OM,

équivalent al{:;ébrique que j'appellerai la cote du point M. Un plan quelconque (P) parallèle au plan (H) est déterminé par la cote du point où il rencontre l'axe OZ; ce même nombre sera la cote du plan (P). Je suppose que les cotes des plans (A) et (B) soient a ei h et que l'on ait a<ib.

Ceci posé, tout plan parallèle au plan (II), compris entre les plans (A) et (B), détermine dans le volume V une section dont Taire dépend de la cote z du plan sécant. Je suppose qu'on sache évaluer celle aire, que je désigne par o{z). Imaginons qu'on découpe le volume V en plaques minces par des plans parallèles au plan (H), dont je désignerai les cotes successives par a, ^1, ^2, ..., z„^y b; soit ^ le volume d'une de ces plaques, limitée par les plans dont les cotes sont 5' et z" ; on ne sait pas évaluer le volume a-, mais on lui substituera le volume o{z')(z" — z') d'un cylindre droit dont la hauteur sera l'épaisseur z" — z' de la plaque et dont la base sera la section par le plan de cote z' ; on aurait pu tout aussi bien prendre pour base la section par le plan de cote z" ou par un plan intermédiaire. Dès lors, on aperçoit de suite que le volume cherché sera

\ = f <f(z)dz.

Imaginons que, après avoir décomposé le volume en plaques minces, on multiplie le volume de chaque plaque mince, comprise, par exemple, entre les deux plans de cotes js', 5", par la valeur d'une certaine fonclion ^(z) pour un nombre appartenant à l'intervalle (5', z"), qu*on fasse la somme de tous ces produits et qu'on veuille la limite dont s'approche cette somme quand, le nombre des intervalles partiels (a,2|), (31,^2)5 •••» (5„|, 6) augmentant indéfiniment, l'étendue de chacun de ces intervalles diminue indéfiniment; on trouvera pour celte limite

On démonlre en Mécanique que la cote Z du centre de gravité du volume V, supposé rempli par une matière homogène, est donnée par la formule

Z=^ I z^iz) (/z.

Supposons en particulier que le volume V soit de révolution autoui de OZ; les sections planes seront des cercles ayant leurs centres sur OZ ; le rayon x de chacun de ces cercles dépendra de la cote z du plan sécant, et la relation x=^f{z) entre ce rayon et la cote n'est autre chose que l'équation de la courbe méridienne dans un plan passant par OZ et coupant le plan (H) suivant OX.

L'expression du volume sera alors

la cote du centre de gravité sera alors

339. Surfaces de révolation. — G)nsidérons maintenant la surface engendrée par la révolution autour de OZ d'une courbe AB située dans un plan ZOX tel que celui qu'on vient de définir; désignons par a, b les cotes des plans (A), (B) menés par les points A, B auxquels l'arc de courbe est limité et qui contiennent les cercles décrits par ces points.

Fi g. io'|.

vA

Tout plan de cote 2, parallèle au plan (H) et compris entre les deux plans (A), (B), coupe la surface de révolution suivant un cercle dont le rayon x est égal kf{z)^ en supposant que, dans le plan méridien, l'équation de l'arc AB soit x =zf(z).

Ceci posé, décomposons la surface de révolution en petits rubans T. - II. 37

578 CHAPirnK xviii.

circulaires par les plans parallèles au plan (H) dont les cotes sont a, wf, Z2, ..., 5«i, b; soient 5', 2* deux de ces cotes consécutives; le petit ruban de surface correspondant sera assimilé à la surface latérale d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles; l'arête de ce ironr de cône sera la corde de Tare de la courbe méridienne dont les extnmités répondent aux cotes ^' et 5", corde dont la longueur sera à peu prés égale à (5" — -;') s/i-hf-{z').

La demi-somme des circonférences de base du tronc de cône esl '^[/(^') +/(^')J ^"> ^ P^" près, 'nzf{z')\ on substituera à la surface du tronc de cône, ou du petit ruban circulaire, la quantité

la somme de toutes les expressions analogues est une expression approchée de l'intégrale

en désignant par s Tare de la courbe AB, compté à partir d'un point fixe et croissant quand z croît. C'est cette intégrale qu'on prendra pour la surface engendrée par la révolution de la ligne AB. Elle peut s'écrire

s = / 'nzF(s)ds,

lorsqu'on prend pour variable d'intégration l'arc s de la courbe qu» correspond à chacun de ses points : a et p désignent alors les valeurs de s qui correspondent aux points A et B, et F(s) désigne ce que devient /(s) quand on y remplace z en fonction de 5.

Les explications précédentes, relatives à l'évaluation d'une surface de révolution, sont notoirement insuffisantes en tant que démonstration de la formule à laquelle on parvient. Tout d'abord cette surface qu'on prétend évaluer n'a pas même été définie; dans l'évaluation approchée que l'on fait des petits rubans circulaires, on n'a aucune idée de l'erreur qu'on commet. Ces explications toutefois peuvent être regardées comme amenant d'une façon assez naturelle la formule

finale / ^TzF{s)ds et il est légitime d'adopter cette formule comme

définition de la surface de révolution.

La cote Z du centre de gravité de la surface de révolution regardée comme homogène serait donnée par la formule

SZ= r ^T:zf{z)-J-^dz.

Le lecteur n'aura aucune peine à retrouver, en se servant de ces formules, les expressions classiques des volumes et des surfaces que ron considère en Géométrie élémentaire. Voici quelques autres exemples :

Supposons qu'on veuille évaluer un volume V tel que celui qu'on a considéré un peu plus haut, pour lequel la surface d'une section soit une fonction de la cote ^ de la forme As' H- Bz^-i- Cs + D; on aura

V = / ( A^»^ B<«*-4- Cz -+- D) dz

= (^ — «) [7 A(a»-4- a»6 -+- ab^-h 6»)

^ i B(a«-+- a6 + 6*) -H iC(a -H 6) -+- d1 .

On peut regarder b — a comme la hauteur du volume; si l'on désigne par P, Q les sections extrêmes, les bases, et par R la section moyenne du volume, on aura

P = Aa»-HBa«4-Ca-4-D, Q= A6»H-Bô«-hC^-+- D,

» = .(îi»)VB(îi»)Vr.i±».D,

et l'on trouvera sans peine (*)

Si A était nul, la cote du centre de gravité du volume considéré, supposé homogène, s'obtiendrait par une formule analogue.

( ' ) C'est une conséquence immédiate de la noie du n» 331 à propos de la mcthode de Simpson.

58o CHAPITRE XV m.

Le volume et la surface engendrés par la cycloïde

X = a(t — sin^), y = a{t — cost)

tournant autour de Taxe des x^ sont respectivement

Tzy^dx = ira»/ (i — cos/)»rf^ = 5r*a», S= / ^Tzy--T-d.T = Ji'Ka^l (i — cost)s\n - fit = — ^ — •

340. Intégrales doubles. — Considérons, comme plus haut^ uu contour (C) limitant une aire plane e.l>; imaginons qu'on subdivise cette aire en parties de dimensions très petites. J'entends par là que la distance maximum de deux points de cette aire est très petite; les bandes que l'on a considérées plus haut ne satisferaient pas à celle condition, car leur épaisseur, seule, a été supposée très petite. Supposons qu'on multiplie chaque aire partielle par la valeur y(x, ri d'une fonction continue de x et de y relative à un point x^y intérieur à l'aire partielle ou situé sur son petit contour; puis, qu'on fasse la somme de tous les produits ainsi obtenus pour toutes les aires partielles dans lesquelles on a décomposé «A». On démontre que celle somme, évidemment variable avec les divers modes de dé<-omposition, avec la façon dont on choisit les points x, y intérieurs au\ aires partielles, s'approche indéfiniment d'une limite fixe quand, le nombre des aires partielles croissant indéfiniment, leurs dimensions décroissent indéfiniment. Cette limite est ce qu'on appelle une iniég raie double.

Je n'expliquerai pas ici comment on effectue, en général, le calcul d'une pareille limite; je me bornerai à des cas particuliers, en admettant l'exislence de la limite.

Supposons d'abord que la fonction f{x^y) ne dépende pas de y et désignons-la par/(x). Adoptons, comme mode de décomposition de l'aire rAo, une division en petits carrés par des parallèles aux a\e>, et considérons la file de petits carrés, intérieurs à (C), compris enlre deux parallèles consécutives à l'axe des y^ qui correspondent aux abscisses x' ^ ^'; cette file de petits carrés constitue une bande, au sens du n" 336 ; ou va former la partie de la somme de produits par-

lîels qui correspondent à ces petits carrés. Donnons la même abscisse $ à chacun de ces points intérieurs aux petits carrés pour lesquels on a à prendre la valeur de la fonction /(x), par laquelle on multipliera Faire du petit carré; /(S) se mettra en facteur dans tous les produits partiels, l'autre facteur sera la somme des aires de tous les petits carrés, c'est-à-dire Taire de la bande, à savoir, (x" — x')ff(x'), en désignant comme au n" 336 par <f{x') la longueur de la bande, la portion de la parallèle à Taxe des ^' comprise à l'intérieur du contour (C); la partie de la somme qu'on veut évaluer, relative aux petits carrés dont l'ensemble constitue la bande, est ainsi, approximativement.

et la limite cherchée est

[x)dx.

en désignant par a et b les abscisses des parallèles extrêmes à l'axe des y, en dehors desquelles on ne rencontre plus le contour. On est ramené à un résultat déjà obtenu. Il est clair qu'on pourrait procéder d'une façon analogue si la fonction /(a:, r) ne dépendait que de )'.

Supposons maintenant que la fonction /(j?, y) représente le carré de la distance du point x^ y k l'origine. La limite de la somme obtenue en multi{)liant chaque aire partielle par x^ -{- y'^ est ce qu'on appelle le moment d'inertie, par rapport à l'origine, de l'aire cV, pour une <lensité partout égale à i. Il est clair que, au lieu de multiplier cha(|ue aire partielle par x^-\-y^ et de faire la somme, on peut multiplier chaque aire partielle par x^ et faire la somme des produits, puis chaque aire partielle par j^- et faire la somme des produits, puis enfin ajouter les résultats : le premier résultat est ce qu'on a appelé, au n* 336, le moment d'inertie par rapport à l'axe des y; le second est le moment d'inertie par rapport à l'axe des x; on sait évaluer chacun de ces moments d'inertie, leur somme est le moment d'inertie par rapport à l'origine. On sait ramener le calcul de chacun d'eux à l'évaluation d'une intégrale définie.

Si la densité, au lieu d'être i, était égale à A*, on devrait multiplier les résultats par A*, en supposant toujours la matière homogène.

Supposons par exemple, en prenant la densité égale à i, qu'on

.58ï CHAPITRE XVIII.

veuille évaluer le moment d'înerlie, par rapport à un de ses sommets, d'une plaque rectangulaire dont les côtés sont égaux à a, ^. Il suffira de faire la somme des moments d'inertie de la plaque par rapport à deux côtés non parallèles ; on trouve ainsi

Le moment d'inertie de la même plaque par rapport à son centre serait évidemment égal à quatre fois le moment d'inertie, par rapport à l'un de ses sommets, d'une plaque rectangulaire dont les dimensions

sont -. ^: il serait donc -^ — ^ — s— ^•

Considérons, en prenant toujours la densité égale à i, le moment d'inertie, par rapport à son centre, d'un cercle de rayon r; décomposons la surface de ce cercle en couronnes circulaires très étroites par des cercles concentriques; décomposons ces couronnes en petits ira pèzes curvilignes par des rayons très rapprochés issus du centre; considérons en particulier la petite couronne limitée par les cercles de rayons très peu différents r', z-^; multiplions la surface de chacun des petits trapèzes qui la composent par le carré / '^ de la distance d'un point de ces trapèzes au centre et ajoutons les résultats; t^^ se met en facteur dans la somme, l'autre facteur est l'aire de la couronne, c'est-à-dire Tz(r^* — /•'«) =:iT(r'-f- /"^) (/«^ — /') ou, à peu prts, 2nr'{r" — r'); la partie de l'intégrale qui correspond à la ^îou renne circulaire est donc, à peu près,

Le moment d'inertie de la plaque circulaire sera par conséquent

Le moment d'inertie, par rapport à son centre, d'une couronne circulaire limitée par deux cercles concentriques de rayons Ti et r^ serait

NOTIONS UK CAKCt'L INTKGnAL. îi^'S

3il. Moment d'inertie d'un volume. — Considérons un volume V; imaginons qu'on le décompose en petits volumes partiels de dimensions très petites et qu'on multiplie chaque volume partiel par le carré •<le la distance d'un de ses points (qu'on peut prendre arbitrairement il une droite fîxe OZ; puis qu'on fasse la somme de tous les produits ^insi obtenus. On démontre que cette somme, qui varie évidemment ^vec les modes de décomposition, avec les points de chaque volume partiel dont on prend la distance à OZ, s'approche indéfiniment •d'une limite fixe quand, le nombre des volumes partiels augmentant indéfiniment, les dimensions de chacun d'eux diminuent indéfiniment. Cette limite est ce qu'on appelle le moment d^ inertie par rapport à la droite OZ du volume V supposé renipli par une matière de densité égale à i . Si la densité était k et la matière homogène, le résultat calculé, comme on vient de l'expliquer, devrait être multiplié par k.

Supposons d'abord que le \olume V soit un cylindre droit, de hauteur A, dont les génératrices soient parallèles à OZ et dont la base, limitée par un contour (C), soit située dans le plan (H), perpendiculaire en O à OZ, et divisons cette base \U) en un très grand nombre d'aires partielles de dimensions très petites ; considérons l'une ^ de ces aires partielles et soit /• la distance d'un de ses points au point O; regardons ^ comme la base d'un petit cylindre droit, très fin, de hauteur A; on reconnaît de suite que son moment d'inertie est, à très peu près, ^A/-^; si l'on fait la somme de toutes les quantités analogues, afin d'avoir une expression a|)prochée du momeni d'inertie du cylindre proposé, A se mettra en facteur et le second facteur, somme de toutes les quantités telles que pr^, différera très peu du moment d'inertie de la base \^\^ par rapport au point O; si l'on désigne ce moment d'inertie par B, le moment d'inertie du cylindre sera BA.

Considérons maintenant un volume V quelconque, compris, en reprenant les notations du n" 337, entre deux plans perpendiculaires à OZ, de cotes n et 6; supposons qu'on sache évaluer le moment d'inertie 'i( j) de la section faite dans le volume V par un plan perpendiculaire à OZ, de cote ^, par rapport au point où ce plan rencontre OZ. En décomposant V, par des plans parallèles, en plaques minces, en remplaçant chacune de ces plaques par un cylindro droit de même épaisseur, et dont la base soit l'une des bases de la

plaque, on reconnaît sans peine que le moment d^inerlie de V, par rapport à OZ, est donné par Tintégrale

j'ai supposé la matière homogène et de densité égale à i ; si la densité était égale à Ar, la matière étant toujours homogène, on devrait multiplier les résultats par A*.

En continuant de prendre la densité égale à i , on voit que le moment d'inertie d'un parallélépipède droit de dimensions a, p, y, par ra|)port à l'une de ses arêtes, ayant pour dimension y, est -^' (a* -h ^*). IjC moment d'inertie par rapport à la parallèle à ce côté menée par le centre est -^ (a-*-!- ^'^),

Le moment d'inertie d'une sphère par rapport à un diamètre est

•2 f !:(r«-^t)«rfi = ^r5.