ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

342. On appelle 6fgrz/ûf^Y0/i différentielle (ordinaire) une équation entre une variable indépendante x, une fonction inconnue y et ses Ai-

ri\ées^, y", j^", L'ordre d'une équation diflTérentielle est l'ordre

de la plus haute dérivée qui y figure. Intégrer une pareille équation, c'est trouver la fonction de x la plus générale telle que, en remplaçant dans l'équation j^, .kS J'S • • • par cette fonction et ses dérivées, cette équation soit \érifiée identiquement en x. Cette fonction s'appelle V intégrale générale de l'équation.

On dit que la résolution de l'équation est ramenée aux quadratures, quand elle est ramenée à la recherche de fonctions primili\e>.

On trouve des équations différentielles du premier ordre en cherchant à déterminer une courbe plane par quelque propriété de la tangente.

Soit M un point d'uae courbe plane (C) rapportée à des axes rectangulaires OX, OY. Soit P la projection de M sur OX; soient MT, AIN la tangente et la normale en M, limitées au même axe. Soient/ r«)rdonnée du point M et^^' la pente de la tangente en ce point.

On donne aux vecteurs

les noms de sous-langente et de sous-normale ; toute relation entre les coordonnées du point M, la sous-tangente ou la sous-normale, ou encore quelqu'une des lignes OT, ON, MT, MN, . . . dont on a donné les expressions {Ex. 342, Ch. XVII), est une équation différentielle du premier ordre.

Par exemple, les courbes dont la sous-normale est constante et égale à a sont définies par l'équation différentielle yy =^ a; le premier membre est la dérivée de — > le second la dérivée de ax\ la dif-

férence entre — et ax doit donc être une constante; toutes les a

courbes satisfaisant à la condition imposée ont une équation de la forme

OÙ C est une constante arbitraire; inversement, toute courbe ayant une équation de cette forme satisfait à la condition énoncée, comme on le voit en prenant les dérivées des deux membres.

De même, les courbes telles que leur sous-tangente soit constante et égale à a sont définies par l'équation différentielle

y ^ ^ Igr ^ 1.

y dx a*

on en- conclut que leur équation est de la forme

en désignant par C la constante e^. Réciproquement, toutes les courbes définies par une telle équation ont leur sous-tangente constante et égale à a.

Dans ces deux exemples, l'intégration a introduit une constante arbitraire C; on n'a pas trouvé une courbe, mais une famille (ou un faisceau) de courbes dont cbaque Individu s'obtient en donnant à la constante C une valeur numérique particulière.

58() CHAPITRE XVIIl.

343. Considérons, inversement, une famille de courbes, définie par l'équation /(ar,y, C) = o où C est une constante arbitraire; il eM aisé de voir que toutes les fonctions y de x définies (implicitement i par l'équation y (j?, j^, C) = o vérifient une même équation différentielle : la dérivée r' d'une telle fonction s'obtient, en effet, au moyen de l'équation

en éliminant C entre cette équation et l'équation /(a:, y^ G) = o, on trouve une équation f(^, y, ^) = o qui doit être vérifiée pour chaque système de valeurs de a:, y y y auxquelles on peut associer un nombre C tel qu'on ait à la fois

f(x, r. C ) = o, /; -4-yyy = o.

Imaginons qu'on résolve la première équation par rapport ky^ on en tirera y en fonction de x et de C, ^ = <i(a:, C); la dérivée y = ^x(^^ ^) ^^ cette fonction par rapport à x est identique à la \aleur qu'on tirerait de l'équation /x'-^j'/r = o? après y avoir remplacé y par ^(^, C); quels que soient les nombres x et C, l'équation '^(•^'ï y^y) = ^ ^st vérifiée quand on y remplace y par ^(j", d, y par <j;^(j.", C) ; en d'autres termes, l'équation ©(^r, r, y) = o e>l vérifiée identiquement (en x et C) quand on y remplace y et y' par la fonction <{/(x, C) et par sa dérivée. Toutes les fonctions obtenues en donnant à C des valeurs numériques quelconques sont des solutions ou intégrales particulières de l'équation différentielle du premier ordre f (x^ y^ y) = o ( * ).

Puisque y est la pente de la courbe dont l'équation est y = 4 (j-, Cu

(*) On démontre que la fonclion 4'(<27) C) esl la solution la plus générale de cette* équation, c^cst-à-dire que toute solution peut s'obtenir en donnant à C une râleur convenable. Toutefois, d'une part, cet énoncé aurait besoin d'explications et de restrictions : il n'est pas toujours exact si, comme je le ferai le plus souvent dans cr paragrdpbe, on «e limite au cas des variables et des constantes réelles. D'autre pari. même en restant dans le réel, il comporte une exception si la courbe dont IVquatioa est ^ = ^{x^ C) admet une enveloppe : cette enveloppe définit y comme une fonction de X qui vérifie l'équation diflTérentielle sans rentrer dans le type «{/(or, C); cette solution est dite solution ou intégrale singulière. L'équation ^'-4-^''*=i, par exemple, a pour intégrale générale^ = sin(^-H C) (n"* .347) et pour intégrale fi osa- Hère les deux droites j' =rhi. Je n*insisterai pas sur ce sujet.

on voit que réqualion ©(ar, j", j^) = o exprime une propriété de la tangente commune à toutes les courbes de la famille.

On dit que cette équation différentielle a été obtenue par l'élimination de la constante C.

L'élimination de la constante se fait immédiatement quand l'équation de la famille de courbe est résolue par rapport à C, quand elle est sous la forme F(:r, j^) =r C; l'équation différentielle est ici F^-f-^Fl,= o. Réciproquement, une équation différentielle de cette forme exprime que si, dans l'expression F(a:,y), on regarde^ comme une fonction de jr, la dérivée de Y{x^y) est nulle; il en résulte que ¥{x^y) est une constante : l'intégrale générale de l'équation différentielle ¥'j^-\-y¥'y.= o est ¥{x^y) = constante.

La recherche de l'intégrale générale d'une équation différentielle donnée ?(^, ^, ^)=o, la recherche des courbes qui représentent une fonction de x qui vérifie cette équation, sont deux problèmes identiques : on a pris l'habitude de parler d'une courbe qui vérifie une équation différentielle, d'une courbe intégrale d'une équation différentielle, pour parler d'une courbe qui représente une fonction vérifiant l'équation différentielle, d'une courbe telle que les coordonnées x^ y d'un quelconque de ses points et la pente y de la tangente en ce point vérifient l'équation différentielle.

Si une courbe (S), définie par des équations telles que x=/(l), y = g(t)^ est une courbe intégrale de l'équation ?(^î J^j^)? cette dernière équation doit être vérifiée identiquement en /, quand on v

remplace x^y^y respectivement par/(/), g{t)^ ^/^> puisque celte

dernière quantité est la pente de la tangente au point t. Réciproquement, si l'on a, identiquement.

,[/(O.^(0,fij^]=o.

la courbe définie par les équations x=f{t)^ y=g(t) est une courbe intégrale.

344. La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre <f(x^y^y) = o contient une constante arbitraire; c'est ce qu'ont montré les exemples donnés aux numéros précédents, c'est ce que montre encore l'exemple des équations différentielles de la

forme y =f(^x) donl la solution la plus générale est évidemmenl V =: F(j:) -h C, en désignant par F(x) une fonction primitive de f{x) et par C une constante arbitraire; c'est ce que montre, enfin, l'exemple des équations difTérentielles du premier ordre oblcnues par l'élimination d'uae constante arbitraire. 11 est d'ailleurs facile de s'en rendre compte d'une façon générale, par un raisonnement que je présenterai d'ailleurs sans chercher à y mettre aucune rigueur.

Si l'on se donne un point Ao, de coordonnées x^^ y^^ l'équation ?(^oi^Oî J^) = ^ détermine une ou plusieurs valeurs de j^; choisissons-en une y'^ et construisons la droite passant par A» et dont la pente estj^^; sur cette droite prenons un point A| de coordonnées -Ci,^!, très voisin de A©; l'équation ^{x%^y\^ y) =o détermine une ou plusieurs valeurs dey'; j'admets que, en raison de la continuité, il y en ail une v, (jui soit voisine de y^ ; je construis une seconde droite passant par A, et de pente y\ ; elle fera un angle très aigu avec la première droite; sur cette seconde droite je prends un point A, très voisin (le A,, de manière que l'angle A© A, A2 soit très voisin de deux droits: Téquation 0(^2? >'2>J'') = Oî où x^^ y^ désignent les coordonnées du point A,, détermine de même une valeur v!, de v' très voisine de y\\ on regardera r^ comme la pente d'une droite passant par A2, droite sur laquelle on prendra un point A, très voisin de A2, de manière que l'angle A, A^ A.s soit très voisin de deux droits. En continuant de la même façon, de proche en proche, on

formera une ligne brisée Ao A| A^ . . . A„ dont les côtés seront très

petits, et qui ressemblera fort à une courbe partant du point arbitrairement choisi Ao. Les cotés de celte ligne brisée pourront être regardés, approximativement, comme des tangentes à une courbe: d'ailleurs les coordonnées de chaque sommet et la pente de la droite, de la tangente si l'on veut, qui le joint au sommet suivant, vérifient l'équation ^{,x^ y^ y), La ligne brisée ainsi obtenue peut donc être regardée à peu près comme une courbe intégrale de cette équation. On démontre d'ailleurs rigoureusement, sous certaines condition^, que, lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment et que la longueur de ces côtés diminue indéfiniment, on s'approche Indéfiniment par ce procédé d'une véritable courbe intégrale. Si Ton admet qu'il en est ainsi, on voit qu'il existe (au moins) une courbe intégrale de l'équation différentielle qui passe par un point donné A»;

il n'en existera qu'une si l'équation différentielle est du premier degré en^.

On arrive à la même conclusion analytiquement. L'équation o(j7, ^, ^') = o étanl supposée résolue par rapport à j/, on en tire j)/ = »i(x, y); puis, en prenant les dérivées,

En continuant de la même façon, on voit que les dérivées successives^, y, y, ... de la fonction y s'expriment au moyen de a?, r : les valeurs numériques y^^ y\^ ^'J, ... de ces dérivées pour x = .r» sont donc déterminées, si l'on se donne la valeur ^o que doit prendre la fonction V de x pour j? = a?o* Admettons que la série

soit convergente dans un certain intervalle, comprenant ^o^ elle définira, pour les valeurs de x voisines de x^^ une certaine fonction y =/(a7), et il est clair que cette fonction est la seule qui puisse être représentée par une série entière en j? — x^ et se réduise à y^ pour x = Xq^ à pouvoir vérifier l'équation difl'érentielle y= ^(^ty)' L'étude des conditions dans laquelle la série est convergente, la démonstration, d'ailleurs facile, de ce fait que la somme de cette série vérifie eflectivement l'équation différentielle sont en dehors du cadre du présent Livre.

Au lieu de procéder comme je viens de l'expliquer, il revient au même de partir d'une série entière en x — Xq

«ïQ -+- «i (a? — a:o)-i-aj(a? — a?o)* -h...

à coefficients indéterminés, de remplacer dans l'équation donnée <©(jr*, yj y) =o, y par cette série, y par la série

ai-h 2at(ar — OTo) -+■ 3aj(a7 — aro)« -*-.. .,

€t d'écrire que l'équation ainsi obtenue est identique en or, ou plutôt en X — Xo; on parvient ainsi à des relations entre les coefficients a©, «j, aj, . . . qui permettent (sauf exception) de déterminer ces coeffi-

cients en fonction du premier. On a donné, au Chapitre XIV, des applications de celte méthode à des équations diflerentielles particulièrement simples.

Ces aperçus suffiront au lecteur pour se rendre compte (|ue, si Ton se donne une équation différentielle du premier ordre ©(-r, y, >'') = o. du premier degré en j^, il y a, en général, une courbe, et une seule, qui vérifie Téquation différentielle et qui passe par un point donné A,. H y aurait, en général, deux pareilles courbes si l'équation différentielle était du second degré en j^, etc. Or c'est là précisément le caraclèn* des courbes d'une famille dont l'équation ^(^, ^, C) = o contient une constante arbitraire C; les courbes de cette famille qui passent par le point A© sont déterminées : on les obtient en donnant à C la valeur (ou les valeurs) que l'on tire de l'équation '^(Xq,^©, C) = o. Inversement, on a vu que toutes les courbes d'une même famille \érifiaient une équation différentielle. Il est donc à prévoir que l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre conduit à une famille de courbes, dont Téquation contient une constante arbitraire. C'est ce qu'on vérifiera dans les divers exemples qui seront traités un peu plus loin.

Auparavant, je veux encore signaler un autre point de vue duquel on peut envisager une équation différentielle ^(^, y^ y) = o, que je supposerai, pour éviter les difficultés relatives aux diverses déterminations, du premier degré en v'. On peut regarder cette équation comme faisant correspondre à chaque point A, de coordonnées jr, /♦ une droite passant par ce point, à savoir la droite dont la pente v' est déterminée par Téquation '^{x^ y^ y)z=.o. Cette droite n'est autre chose que la Jiangente à la courbe de la famille, définie par l'équation différentielle, qui passe par le point A. Inversement, à chaque droite du plan définie par l'équation v = ax-hA, on peut faire correspondre un ou plusieurs points situés sur cette droite, et dont on obtient les coortlonnées x, y en résolvant les deux équations

l'ne courbe intégrale quelconque (S) peut être regardée comme un lieu de points tels que les droites correspondantes soient précisémeni les tangvnles à celle courbe en ces points, ou comme Tenveloppe de droites dont chacune correspond au point où elle touche son en\eloppe.

Notons en passant que l'équation o{x,y, a) = o entre les variables X, y représente le lieu des points de contact des tangentes aux courbes de la famille définie par Téquation différentielle qui sont parallèles à une droite de pente a.

Après ces généralités, je vais passer en revue quelques équations (liirérentielles du premier ordre pour lesquelles la recherche de la solution généi-ale se ramène à la recherche de fonctions primitives : toutes les fois qu'il en est ainsi, on dit que l'équation se ramène aux quadratures (* ).

34o. Si l'équation différentielle est du premier degré en j^ ou, ce qui revient à peu près au même, si cette équation est résolue par rapport à r', son premier membre peut se mettre sous la forme

ou, en employant la notation différentielle,

^{3r,y) dx -+- ^{,x,y) dy = o.

Il peut arriver que <p(^j^) et ^{^x^y^ soient les dérivées partielles d'une même fonction Yi^x^y) (^), et qu'on s'en aperçoive immédiatement, en regardant l'équation. La solution la plus générale de cette rquation est alors F(a?, j^) = C, en désignant par C une constante arbitraire, ainsi qu'on l'a déjà dit un peu plus haut. Dans ce cas, le premier membre de l'équation différentielle

est la différentielle de Y\x^y^\ on dit habituellement qu'il est une différentielle exacte.

( *) Effectuer une quadrature ou trouver une /onction primitive sont des exprèsusions qu'oD preod dans le même sens; l'origine de la première façon de parler esl évidenie : déterminer une aire (ou trouver le carré équivalent à celte aire) revient, romme on Ta vu, à la recherche d'une fonction primitive.

(^) Une condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi est que l'on ait identiquement en JT, y

dy '^ dx*

ftiilc condition est d'ailleurs suffisante, je ne m'arrêterai ni à l'établir, ni ù montrer comment, lorsqu'elle est vérifiée, on peut déterminer la fonction F{x,y),

La courbe intégrale qui passe par le point Xo, yo a évidemment pour équation F(xjy) — F{xo',yo) = o. Cette équation peut aussi bien être regardée comme l'intégrale générale de l'équation proposée, et Ton peut y regarder l'une des quantités .r©, yo comme la constante arbitraire, en attribuant à l'autre une valeur numérique quelconque (* )•

Par exemple l'équation

xy'-^y^o^ ou xdy-hydx^o,

a pour intégrale générale xy = C. La famille de courbes qui vérifient l'équation différentielle est formée d'un faisceau d'hyperboles équilatères admettant pour asymptotes les axes coordonnés.

Le premier membre de l'équation j: rf^ — y dxr=o n'est pas, comme il est aisé de le voir, une différentielle exacte^; il devient la différentielle de — quand on l'a divisé par a?*; l'intégrale générale de l'équation xdy — y dx =z o esi, donnée par l'équation y = Car, qui représente les diverses droites passant par l'origine.

346. Séparation des variables. — On dit que, dans une équation différentielle du premier ordre, les variables sont séparées lorsqu'on peut mettre cette équation sous la forme

^{x)'^y^{y) = o, ou

©(a?) dx -+- ^{y) dy = o,

o(:f) et if {y) désignant respectivement des fonctions de x seul fi de^ seul :

Si l'on désigne respectivement par ^{x) et par ^{y) des fonctions primitives de <f{x) et de ^(^), c'est-à-dire des fonctions dont les dérivées, prises par rapport à a? et y, soient respectivement ç(x) et if{y)^ on sera évidemment dans le cas qu'on a examiné dans le

(*) Il semble que dans réquation F( x,^') — F( ar,,^,) = o, dont on vient de dirr qu'elle était l'iiilégrale générale de Téquation différentielle, il y %it deux coosUDie« arbitraires, x« et y^^ et non pas seulement une. Mais on voit bien ici que ces deux constantes, qui n'entrent que dans la combinaison K(x„ ^,), n'en forment qu'une, à savoir cette combinaison elle-même. Une observation analogue peut se faire dans le cas général.

NOTIONS DE CALCUL INTEGRAL. SqS

numéro précédent et l'intégrale générale de Téquation proposée sera

*(:r)-hV(7) = C;

la diUerentielle du premier membre est, en effet, f (r) dx -j- ^{y) dy. On écrit souvent cette intégrale sous la forme

/ ^{x)dx-¥- I ^(y)dv = C;

dans le premier membre, les intégrales ne désignent pas autre chose que des fonctions primitives des fonctions 'f (^)> A(^). Cette équation peut s'écrire

(I) I o(x)dr-h I *l(y)dj^ = C^

où Xoy yo désignent des nombres choisis arbitrairement (pourvu que

les intégrales définies aient un sens), puisque, aussi bien, / ?(^) ^'-^

est une fonction de x dont la dérivée est ^{x). Le changement des valeurs attribuées à x,,, y^ revient à changer la valeur de C, ainsi qu'on le voit immédiatement.

Si l'on cherche à déterminer la constante C de manière que la courbe définie par l'équation (i) passe par le point donné ^o»^o> on trouve de suite C = o; la courbe cherchée a pour équation

/ f^{x)dx-^ J ^{jr)djr = 0.

Cette dernière équation peut, ainsi que l'équation (i), être regardée comme l'intégrale générale de l'équalion différentielle. C'est l'une des quantités Xq^ yg qui joue le rôle de constante arbitraire.

Si par exemple on' veut chercher les courbes telles que toutes les normales passent par un même point, par l'origine par exemple, on trouve de suite l'équation différentielle x '-hyy= o ; les variables sont séparées; la solution générale est x'^-{-y^= C, c'est-à-dire les cercles ayant leur centre au point donné.

Une équation différentielle étant donnée, on cherchera toujours d'abord à séparer les variables, soit directement, soit en faisant quelque T. — II. 38

5<j4 CHARITRK Wlll.

heureux changement de variable. Il n'est pas d'ailleurs toujours possible d'y parvenir.

347. La séparation des variables est immédiate lorsque Tune de ces variables x eXy manque dans l'équation difTérentielIe.

Supposons d'abord que la variable y manque; Téquation est de la forme ^{x^y') = o ; en la résolvant par rapport à ^, on la met sous la formey' = ^(:r); on est immédiatement ramené aux quadratures: la solution générale est

Remarquons que toutes les courbes qui appartiennent à la famille défmie par celte équation se déduisent de l'une quelconque d'entre elles par une translation parallèle à l'axe des j^- C'est ce qu'on pouAait prévoir sur l'équation (p(x,j'') = o, qui montre que toutes les tangentes à ces courbes en des points situés sur une même parallèle à Taxe des y sont parallèles. Réciproquement les courbes qui peuvent se déduire d'une courbe donnée /(Xy y) = o par une translation parallèle à Taxe des y ont évidemmsnt une équation de la forme y(wr, V -+- C) = o; en éliminant C entre cette équation et Téquation

on élimine à la fois v et C, il reste une équation qui ne contient plus que X e^y.

Supposons maintenant que la variable x manque ( ■ ) ; l'équation différentielle est de la forme o()',j|-')= o; en la résolvant encore par rapport ky elle prend la {orme y' =zij{y)y ou

djr • -^'^ ^Ky) Dans la dernière forme, la séparation des variables est effectuée el

( ^) Au fond, les deu\ cas ne sont pas disUoets, comme il apparaU immédialemeiit qu^nd ott emploie !a n^uiion différentielle et qu'on ne spécifie pas la rariable iode- |>eud«nte II n'iinpv>ne pa> que celle vahable s'appelle x ou y.

Ton voit que la solution g^énérale est donnée par la formule

loutes les courbes de cette famille se déduisent de Tune d'elles par une translation parallèle à l'axe des x] inversement, une famille de courbes qui jouissent de cette propriété donne lieu à une équation différentielle où x manque.

J'ai fait observer que les deux cas n'étaient réellement pas distincts ; je vais raisonner sur le second cas, le lecteur verra sans peine comment, dans le premier cas, les remarques qui suivent doivent être modifiées.

Il se peut que la résolution par rapport à y de l'équation o{y^y) = o présente des difficultés, ou conduise à des formules dont la complication cache le moyen d'effectuer les quadratures, et qu'il soit au contraire aisé de remplacer l'équation cp(y,^)= o par des équations de la forme

ielles que l'ensemble des valeurs dey^ y que l'on obtient en faisant varier / coïncide avec l'ensemble des valeurs dejKj^qui satisfont à l'équation ç(j^,y') = o. C'est ce qui arrive en particulier lorsque, regardant pour un instant^ et y' comme les coordonnées d'un point, la courbe définie par cette dernière équation est unicursale.

Il est alors tout naturel de prendre t pour variable indépendante et de chercher une fonction h(t) telle que les deux équations x = /i(t)j jy=z/(i) définissent une courbe intégrale; il suffit pour cela que la

pente jrrrr delà tangente à cette courbe soit précisément ^(/); c'està-dire que la fonction inconnue /i{t) est déterminée par l'équation différentielle

on en tire

Ja courbe intégrale est définie par les deux équations

:>96 CUAPITRE XVIII.

on observe que, sous cette forme, la propriété qu'ont les courbes de ]a famille, de se déduire l'une de Pautre par une translation parallèle à Taxe des or, apparaît tout aussi clairement.

Exemples. — On considère la famille de courbes (G) définies par Téquation

où la constante p reste la même pour toutes Jes courbes, où le paramétre G, constant pour une courbe, varie d'une courbe à Fautre : toutes ces courbe> sont égales et se déduisent Tune de l'autre par des translations parallèles à Taxe des^; chacune d'elles est une branche de parabole, située au-dessus de son axe de symétrie; toutes ces paraboles ont leur sommet sur Taxe des k- l*ar chaque point du plan, dont Tabscisse est positive, passe une courbe (G) et une seule.

On demande de trouver une courbe qui soit rencontrée à angle droit, en chacun de ses points, par celle des courbes (G) qui passe par ce point : une telle courbe est ce qu'on appelle une trajectoire orthogonale des courbes {C\.

Soienl x, y les coordonnées d'un point de cette trajectoire ; par ce point pa«5e

une courbe de la famille, dont la pente est 1/ 7^; la pente de la trajectoire

orthogonale, en ce même point, sera — I / — ; cette trajectoire oriho«;onale sera donc une intégrale de l'équation

dont l'intégrale générale est

en désignant par G' une constante arbitraire. Gette dernière équation définit une famille de courbes que j'appellerai les courbes (G'); chacune d'elles e^i une trajectoire orthogonale des courbes (G) : toutes les courbes (G) quelir rencontre, elle les rencontre à angle droit.

Par chaque point du plan, dont l'abscisse est positive, passe une courbe (C : les diverses courbes (G') qui passent par les différents points d*une courbe iC» la rencontrent à angle droit; chaque courbe (G) est une trajectoire orthogonale des courbes (G').

Si l'on considérait les paraboles (Gi) définies par l'équation J

el les courbes (G', ) définies par l'équation

et si J'on désignait sous le nom de branche supérieure pour J'une quelconque de ces courbes la partie qui est située au-dessus de son axe de symétrie, on reconnaîtrait sans peine que les branches supérieures des courbes (C^ ) sont les trajectoires orthogonales des branches inférieures des paraboles (G|). Si, en général, Téquation différentielle d'une famille de courbes est

J «quation différentielle d*une trajectoire orthogonale de ces courbes est

Inversement, la première équation est l'équation différentielle des trajiîcloires orthogonales des courbes définies par la seconde équation.

En reprenant les notations de l'exercice 342, Chap. XVII, on demande de trouver une courbe telle que si, par le point N, on mène une parallèle à l'axe des ^jusqu'à la tangente en M, la longueur de cette droite soit constante et égale à 7*a,

On trouve de suite l'équation différentielle

d'où

puis, en posant ^ = (2a — ^)/*,

Y = > dy ^ — ats dx = d= — a/,

la substitution f = tang/z est tout indiquée par le dénominateur 1 + /^; on trouve alors

, , 4^tang*a , ... L^ , . - ,

dx =z±: 2- — (i 4 tanvr'ie) du =±1 ^a sin*M du\

(H-tang«w)'^ " ^

ar = Cdt'2a / (i — cos ^u) du = C db 7. a ( u -^— j •

Kn exprimant j^ au moyen de la même variable i£, on a

'À a tans^u

y= 2__- == 'lasin'a = a(i — cosia).

•^ I -h tang» u '

En remplaçant 2 u par ç on obtient, pour les équations des courbes cherchées

ar = C r*- #7(p — sinp), ^ = a(i — cosi^).

ÔfjS CIIAPimB XVlll.

Il est inulile de conserver le double signe dans l'expression de r. comme le montre immédiatement le changement de v en — v. La courbe définie par les équations

X — a(\' — sin p ), y = a(\ — cos v )

est une cyùloïde ( n" 300); toutes les courbe» cherchées se déduisent de celle-là par une translation parallèle à Taxe des x.

En conser\ant toujours les mêmes notations, on demande de déterminer le> courbes telles que l'on ait TN = a.

On trouve de suite Téquation diiïérentielle

en p-enant y' =^ t pour variable indépendante, on reconnaît que la courbe cherrhée est déHnie par les deux équations

nt dx __ a{\ -- /*)

dont la dernière s'intègre aisément en posant /*= a; on trouve finalemeot

Soient M un point d'une courbe, G le centre de courbure correspondant. N le point où la normale rencontre l'axe des x\ on demande de déterminer la

MG

courbe par la conditition que le rapport ^rr^ soit constant et égal à k.

En mettant brutalement le problème en équation on parvient à une équation difTérentieile du second ordre; un choix convenable des variables va permettre de n'introduire que des équations différentielles du premier ordre, appartcnaoi aux types où manque une variable.

Reprenons les notations du n" 299; à chaque point M de la courbe correspondent son abscisse curviligne s (les arcs étant supposés comptés à partir d'un point fixe), l'angle a dont il faut faire tourner Taxe des x pour l'amener parallèlement à la tangente, etc. En prenant pour direction positive «ur la

normale la direction définie par l'angle (x.-\ — > les équivalents algébriques desvecteurs MG, MN seront

iMG= î^, M\ = ^'

ai cos a

On devra donc avoir

. , ds 008 a ,

on a, d'ailleurs,

(i) dx = ds cosa, dy = ds sina ;

en éliminant ds entre la dernière des équations (2) et l'équation (1), on parvient à l'équation difTérenlielle

dy ^ A^sina^^.

y cosa

les variables sont séparées; on trouve pour l'intégrale générale

y = a cos*a,

en désignant par a la constante d'intégration; en remplaçant, dans l'équation i\), y par sa valeur on obtient

ds =ka co5*-*«

et, en remplaçant dans la première équation (2),

dx ^ — ka cos^a rfa,

d'où ar = G — ka 1 cos^ac^a; on donnera à l'intégrale définie la limite supérieure a, et une limite inférieure arbitraire, o, par exemple; la modification de cette limite inférieure revient à changer la valeur de la constante G; toutes les courbes cherchées se déduisent de l'une d'elles par des translations, ou par un déplacement de Torigine; en sorte qu'on peut dire que les courbes cherchées sont définies par les équations

<3) x=—kaj cos^'aflfa, ^' = acos^*a,

sans m'arrèter à la distinction, suivant les valeurs de /:, des formes de ces diverses courbes, je me contente d'observer que, pour A' = 1, on a un cercle, pour A: = 2, une cycloïde, ....

Lorsque k est négatif, il est avantageux de faire le changement de variables (n" 204) défini par les équations