I . , , du

cosa = -T — , sina = thM, da = —, —

ch u ch u

6oO CHAPITRE XVIII.

et de substituer aux équations (3) les équations

X = — aA- I ch-*-^ u du, y — a ch-* w :

pour A: = — I, on obtient une chaînette; pour A: = — i une parabole, eir. Lorsque k est un nombre entier impair et positif, ou un entier pair et négaiif. la courbe est algébrique.

348. Équations difTérentielles linéaires. — On appelle équation différentielle linéaire homogène du /i**"* ordre, ou encore équation différentielle linéaire sans second membre^ une équation du type

dans laquelle le second membre est o et dans laquelle le premier membre est une forme linéaire (*) par rapport à y et à ses dérivées, jusqu'à Tordre /î, j^, y, . . ., y^''""*\ .v^"^ les coefficients A«, A|, . . ., An de cette forme étant des fonctions données de x. Je nie bornerai dans ce qui suit à Fétude des équations du premier et du second ordres, c'est-à-dire des équations appartenant à l'un ou Taulre des types

Aoy H- A,j^ = o, Aoy-+- Aiy-f- \ty = o;

mais, avant de m'y arrêter, je veux faire les observations suivantes, qui sont évidentes sur la forme générale.

Soit u une fonction de x qui vérifie l'équation (i), c'est-à-dire une fonction de x telle qu'en remplaçant dans le premier membre de cette équation y et ses dérivées par u et les dérivées de m, le premier membre devienne identiquement nul, la fonction Cw, où C est une constante arbitraire, sera, comme u^ une solution de l'équation (i).

Si u et V sont des fonctions de x qui vérifient l'équation (i), u-t< sera aussi une solution de cette équation; il en sera par conséquent de même àeCu-\- CV, en désignant par C et C des constantes arbi-

(>) C'est-à-dire, conformément aux conventions expliquées au n* 129, un polynôme homogène et du premier degré. J'ai conservé le mot homogène dans le texte, |M»ar éviter toute confusion.

NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. 6oi

(raires. Les deux solutions u et v ne sont pas regardées comme distinctes si leur rapport est constant.

Supposons que i/|, U2, • • ., iin soient des fonctions de x qui vérifient Féquation (1), la fonction

Giai-t-CtWj-f-...-H C,i«,„

où C|, C29 ..., C/i sont des constantes arbitraires, sera aussi une solution de cette équation. On démontre que c'est la solution la plus générale de Féquation (i) lorsque les fonctions Ui^ U2j ••., u„ sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de nombres constants C|, c^, • . ., €„ tels que l'on ait identiquement en x .

Cl Ml -f- Cj Mj -+-... -+- C„ Un = O.

On appelle équation différentielle linéaire avec second membre toute équation du type

<2) Aoy«>-+- A,y«-»)-h. . .-+- A„,y-h Kny = B,

où B est comme A©, A.|, . . ., A„ une fonction donnée de x.

Il est à peine utile de faire observer au lecteur que le fait qu'on a fait figurer B dans le second membre n'a aucune importance.

Supposons que l'on connaisse une solution u de l'équation différentielle linéaire (2). Si, dans cette équation (2), on remplace y par 1/ -h 2, en prenante pour fonction inconnue, il est clair, en tenant compte de l'hypothèse, que cette équation sera remplacée par l'équation sans second membre

Ao-**"^-*- A|3^«-»'H-...-f- A,i i-«'h- A„5 =0,

qui est maintenant linéaire et homogène en z, z\ z", . . ., z^"^] d'où la conclusion suivante :

La solution générale d'une équation différentielle linéaire avec second membre s'obtient en ajoutant à n'importe quelle solution particulière de cette équation la solution générale de l'équation obtenue en remplaçant le second membre par o.

La recherche d'une solution particulière de l'équation avec second membre peut être simplifiée par la remarque suivante, qui est évidente.

6o!» CHAPITRR XVIII.

Si le second membre est la somme de deux quantités B| 4- B^, od obtiendra une solution de l'équation proposée en ajoutant une solution de Téquation où le second membre serait B, et une solution de l'équation où le second membre serait B^. Dans toutes les équations, bien entendu, le premier membre est le même.

349. L'équation linéaire homogène du premier ordre peut s'écrire, après qu'on a divisé par le coefficient de j^, sous la forme

y-f-ar = 0, en désignant par a une fonction donnée de x: en l'écrivant

les variables sont séparées, on trouve de suite, pour l'intégrale générale,

en désignant par C et G' des constantes arbitraires dont la seconde est liée a la première par la relation C'=e~^. Cette forme de l'intégrale générale met bien en évidence ce que l'on a annoncé plus haut. La solution la plus générale de l'équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre s'obtient en multipliant par une constante arbitraire une solution particulière, à savoir ici e'^"^^', on

pourrait remplacer / arfx par / ae/.r, en désignant par x^ uq

nombre fixe quelconque, qui peut d'ailleurs jouer le rôle de constante arbitraire.

Par exemple, l'intégrale générale de l'équation y x -^ y =z o est

ou yx=^C L'intégrale générale de l'équation ^+x''^s= o, lorsque « n'est pas égal à — i , est

NOTIONS DB f:ALCUL INTÉGRAL. Bo^i

Observons que le premier membre: de Inéquation y-\-ay = o^ quand on le multiplie par e^^^^^ devient, quelle que soit la fonction^, la dérivée de ye^'^^-^^ puisque la dérivée de e^'^^ est aeJ'^^^ : de là résulte une nouvelle démonstration du résultat auquel on vient de parvenir; l'équation proposée équivaut à Téquation

(^ygj'adx) == o,

d'où Ton déduit, en désignant par C une constante arbitraire,

Considérons maintenant une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre ( ' ),

où a^ b sont des fonctions données de .r.

Un des procédés, pour parvenir à la solution de cette équation, consiste à y remplacer la fonction j^ par le produit de deux fonctions w, i", l'équation devient alors, en ordonnant par rapport à ^' et à sa dérivée,

( w' -f- aa ) p -f- uv' = b ;

on détermine u par la condition que le coefficient de r soit nul, c'està-dire par l'équation tt'+rtw = o, celte dernière équation, sauf le nom de la fonction inconnue, n'est autre que l'équation homogène obtenue en supprimant le second membre de l'équation (i); on en tire u = Atf"/*"'-^, en désignant par A une constante.

Si l'on adopte cette valeur de w, il est clair que le produit uv vérifiera l'équation (i) si l'on a uv=. b et ne la vérifiera que dans ce cas : on obtiendra donc v par la formule

rix 4- C,

(') On dit liabîlucllemcnl : une équation différentielle linéaire du premier ordre, sans rien ajouter; il importe de remarquer que le mot linéaire n'est plus alors pris avec la signification qu'on lui a donnée an n® 1?9; il remplace les mots du premier degré.

6o4 CHAPITRE WIII.

et la solution la plus générale de Téquation (i) sera

C désigne une constante arbitraire.

Il semble qu'il y ait dans l'expression de y deux constantes arbitraires, C et X; mais il est clair que \ disparait du produit u j — f/x:

les deux constantes n'entrent que par leur combinaison aC; au reste, il résulte clairement du raisonnement même par lequel on est parvenu à la solution générale qu'on peut prendre pour u n'importe quelle solution de l'équation a'-Ha« = o, c'est-à-dire attribuer à A telle valeur numérique que l'on veut. Il suffit de faire figurer dans le résultat la constante C.

En résumé, pour avoir la solution la plus générale de l'équation (i), on détermine d'abord une solution u de l'équation sans second membre

et l'on multiplie cette solution par une fonction primitive de — ^ augmentée d'une constante arbitraire.

On peut écrire j sous la forme

jr = e-^"^^ ( f be^'^^^dx -4- C ) .

Cette dernière forme revient à dire que la dérivée de ye^^^ doit être èeJ*^^-^. C'est là, d'ailleurs, une conséquence immédiate de l'équation différentielle et de ce que le produit par eJ***^ de y* -\- ay est, comme on Ta fait observer, la dérivée de ye^*^^^.

On a vu que l'intégrale générale de l'équation (i) peut s'écrire sous la forme y = CP -f- Q, en désignant par C la constante arbitraire et en posant

p = «-/««'jc. Q = c-J"* ''^ / 6gJ^«<'-^ dx ;

inversement toutes les fonctions de la forme CP -+- Q, satisfont, quel que soit C, à l'équation différentielle linéaire du premier ordre

py--P>=PQ'P'Q; l'identification de cette équation avec l'équation y-\-ay = b, four-

NOTIONS DK CALCUL INTÉGRAL. 6o5

nira au lecteur un moyen de retrouver l'expression de .rintégrale générale.

Si a et 6 sont des constantes, l'intégrale générale est

y r= c-«' ( / be'^^ //a- -h C) = - -H C«-«-«^;

observons que la solution — est évidente; conformément à une observation antérieure, on obtient la solution générale en ajoutant à cetl<* solution particulière l'intégrale générale de l'équation sans second membre y -^ ay = o.

350. Dans tout ce qui précède, on a supposé implicitement que la variable, les fonctions données ou inconnues étaient réelles; mais, en supposant toujours essentiellement que la variable x soit réelle, il convient, pour ce qui suit, d*observer que le résultat qu'on vient d'obtenir, relatif à l'intégrale générale de l'équation y'-\- ay = 6, subsiste lorsque a et 6 sont des constantes imaginaires; la fonction j' la plus générale de la forme P -h Q«, où P, Q sont des fonctions réelles de la variable réelle x^ qui satisfasse à cette équation est toujours donnée par la formule

où G 'est maintenant une constante réelle ou imaginaire, et où Texponentielle «-«* a la signification qui a été précisée au n°239; cela résulte de ce que* quelle que soit la fonction y^ la dérivée par rapport à ^ de ye*^^ est

eaxi^y^ayY

si Ton veut que la fonction j^'+ ay soit égale à 6, il faut donc que \\\\\ ait

ex, que, par conséquent, la différence entre ye^-^ et —e^^ soit une constante^

qui peut d'ailleurs être imaginaire; c'est le résultat annoncé.

Par exemple, on voit, dans le cas où b est nul et où Ton suppose a = a -;- ^i\ que la solution la plus générale de Téquation ^''-i-(a-t- '^i)y est donnco par la formule

y = (A -H Bt) (cospar — t sinpr)e-*-^.

6o6 CHAPITRE XVIII.

Cela revient à dire que les fonctions réelles

P = (Acospa7-+-BsinPir)e-«', Q = { B cos pa? — A sin p a?) «-**,

où A, B désignent des constantes, constituent la solution la plus générale de« équations diflerentielles simultanées

P'-î-aP~pQ=o, Q'-h pP-+ aQ=o, où tout est supposé réel.

351. Exemples. — Cherchons les courbes telles que la tangente renconLn> l'axe des y en un point fixe d'ordonnée égale à a. On trouve de suite lequation différentielle y — y* x = a, ou

On aperçoit de suite la solution particulière y z=z a\ la solution générale de Téquation sans second membre est ^ = C ar ; Tintégrale générale est y = Cx -i- a.

Soit à intégrer Téquation <i) y\\-' x^) — xy = i;

l'intégrale de Téquation Mos second membre est

/.r##jr 1

... r^^xe-ï""— ',

elle est susceptible de deux formes distinctes, dont l'une -== convient

pour I a: I < I , dont l'autre -r== convient pou r a? > i ( * ).

Elles vont conduire à deux formes de la solution générale, dont Taae conviendra dans le premier cas, l'autre dans le second. Quant à la constante X, on peut dans l'un ou l'autre cas lui donner la valeur i.

Dans le premier cas, que je considérerai spécialement, la solution générale <era donnée par la formule

(^) On passerait de l'une à l'autre par le changement de X eo A; voir la note du n« 343.

elle serait donnée, dans le second cas, par la formule

/ar*— i \.J I — a?» J v'.r» — I /^«— I

Cherchons à déterminer les coefficients ao, ai, . . ., a^ ... de la série

«0 -h ai ar H- . . . -h a«a:« H- . . .

«upposée convergente, de manière que la somme de celte série vérifie l'équation proposée.

On écrira que le terme constant est égal à 1 et que les coefficients des diiïérenies puissances de x dans Texpression

<i — dr*)(a|-H 'xaix ->r. . .-h /iartJr«-'-h. . .) — x^a^-i- «1 / -h. . ,-\-anX'*-\-. . .) sont nuls; on trouve ainsi

ai = i, lat — ao=o, 3ai — •>.a| = o, et, en général,

/la^— (n — i)a,,-,= o (/i = 2, i, ...).

Les équations

«1 = 1, 3aj= 2ai, 5a, = 4 a,,

(2/1 -h i)aj„+, = A/i a,„,

déterminent successivement les coefficients à indice impair; on trouve, en multipliant membre à membre,

Les équations

•la^ = ao,

4ak=3a,,

2/ia,n = (2/i — i;a,„-,

6o8 CHAPITRE XVIII.

On en conclut que Téquation proposée est vérifiée par Texpression

en désignant par a^ une constante arbitraire, et en po^^ant