x^ ilA x^ 2.4>6...-2/< x

On rcronnait de suite que ces deux séries sont convergentes à l'intérieur de rintervalle ( — i, i). Kn vertu même du calcul que l'on a fait, toute série entière en x qui vérifie l'équation proposée peut se mettre sous la forme f{x)-^a^g{x).

L'intégrale générale de cette équation, en supposant | j* | •< i, est

'xn-\-i

,Ain —

elle se réduit à G pour .r = o; l'intégrale f{x) -4- a^g{x) se réduit à a*. i>n en conclut^ puisqu'il n'y a qu'une seule solution de l'équation (i) qui prenne une valeur donnée pour une valeur donnée de la variable, que les deux fonctions

f{x)-^Cg{x)

v/i — x^ v^i — a?* sont identiques; ceci devant avoir lieu quel que soit G, on a certainement

., ^ arcsin^ , ^ i

la seconde formule nous était déjà connue; la première nous fournit un déve-

arc sin x loppement simple de -===: en série entière, développement que Ton savait

d'avance exister, puisqu'on peut l'obtenir en multipliant les deux hêries qui

représentent arc sinx et » séries que l'on sait être convergente> à

l'intérieur de l'intervalle ( — i, i).

Le résultat que l'on vient d'obtenir a été présenté comme une conséquence

de rintégrdtion de l'équation (i). Si l'on s'était proposé, aprioriy de chercher

la forme du déveloj)pement de la fonction

arc sin j"

il aurait été naturel de chercher quelque relation simple entre la variable, cette fonction et sa dérivée (ou ses dérivées). Cette relation s'obtient de suite en prenant les dérivées des deux membres de l'égalité précédente, écrite sous la forme

y ^\ — a?' = arc sinrr,

et l'on retombe immédiatement sur l'équation (i). Il est d'ailleurs inutile ici, pour la suite, d'intégrer l'équation (i). On sait que le développement est possible; on reconnaît aisément qu'il ne doit contenir que des termes du degré impair et qu'il est, par conséquent, de la forme

Les coefficients «i, «3, ..., «sn-t-ii . • • se déterminent comme on l'a expliqué.

On est tombé ici sur une équation linéaire, avec second membre, du premier ordre, particulièrement simple. Je signale une autre application du même procédé qui va nous servir à déterminer, au moyen d'une équation différentielle, les coefficients, non plus d'une série, mais bien d'un polynôme; la question est de la même nature; un polynôme en x peut être regardé comme une série entière en x^ dont tous les coefficients sont nuls, à partir d'un certain rang.

On a vu au n** 109 que la fonction j^ = cos(/i arc cosar), qui s'obtient en remplaçant cosa par a? dans l'expression de cos/ta, était un polynôme en ar du degré n, dans lequel le coefficient de x^ était 2'»-* et dont tous les termes sont de même parité.

On a, par un calcul facile,

dy n . . .

-7- = ■ sin(w arc cosa?)

ax ^, __ ^t

et

— zdy\ n^ . . n^y

■ x^ -,- ) = — cos ( n arc cosa?) = .

dxj /TTarî y/i — x^

On voit que la fonction y vérifie Téquation différentielle ou encore

nous tombons ici sur une équation linéaire homogène du second ordre. On sait qu'il existe un polynôme de la forme

XqX" -h A| a:«- * H- ... -h A/,a?«-*/' -h . . . T. - II. h

6lO CHAPITRE XVIII.

qui vériHe celte équation ; on substituera le polynôme dans Téquation (i) et Ton écrira que les coefficients des différentes puissances de x sont nuls : on obtient ainsi une relation entre deux coefficients consécutifs du polynôme,

d'où l'on déduit sans peine

A ^ ( .^(n — 'ip-hi){n — -ip-h:i)(n — -2p-i-3)...n '' ^ ^PXi.'à...px(n'-p)(n—p-hi),.,{n — i)^'

ou, en supposant p>i et en remplaçant A© par a»-*,

On peut donc écrire

-cos(narccosar)= — (aar)" — (2a?)«-*H (aar)"-* — . . .

n ti 2

Il convient de remarquer que les deux premiers termes n'obéissent pas à la loi du terme général : dans ce terme, p doit prendre les valeurs a, 3, ..., ~

si n est pair, les valeurs 2, 3, . . ., si n est impair. Le dernier terme est

( — i)* ~> dans le premier cas et ( — i) * 2 or dans le second (>).

3S2. Une équation différentielle linéaire (homogène) du second ordre peut s'écrire

f'n désignant par p et q des fonctions données de x.

Considérons le cas où ces fonctions se réduisent à des constantes rtW^lles et cherchons si Téquation admet des solutions de la forme e^', en dôsignanl )>ar r une constante. Le premier membre de Téquation^ quand on v remplace r par ^', de\îent ^'(r* -h/?r + y) ; il sera idenliquemcnl nul ^c*^' sera une solution) si r est une racine de Téquation

X ^ Cf\ Kx. .^^ <^t S7

NOTIONS DK CALCUL INTBGR.VL. 6l I

du second degré

supposons que cette équation ait deux racines réelles et distinctes ;*! et r2l on trouve ainsi deux solutions e'*!^, e'*t^ dont le rapport n'est pas constant; il en résulte que

y = Ci«''.*-i- Cj«''.*

•est une solution de l'équation proposée, si C| et C^ désignent des constantes : si l'on admettait la proposition générale énoncée au n° 348, on «erait assuré que c'est là la solution générale ; c'est ce que l'on établira d'ailleurs dans un instant.

Si les deux racines sont distinctes, mais imaginaires, le calcul précédent conserve une signification. On sait ce que signifie l'expression e'*^ quand r est imaginaire et x réel, ce que sont ses dérivées j'^rjp^ p2^rx ; qh est encore certain que e''»^, e''»^, où /'i et 1*2 sont des nombres imaginaires conjugués a + ^c') ^ — ^h ^^^^ ^^^ solutions de l'équation différentielle. Les fonctions

e*'t^= tf«*(cosPa7 -h e sinp:p), e**** = e**( cos pa? — * sin p j?)

sont imaginaires conjuguées. La fonction Cie^'-h C2e'*«^ est toujours une solution de l'équation proposée; elle sera réelle si l'on

pose

Cl = a -f- bt\ Cj = a — 6«,

^ el 6 étant des nombres réels ; on a alors

CiC''.-'-hCj«'-^= (a ■+■ ùi) (cos^x -¥- i s\nfkT)ef^

-4- (a — bi) (cos^a: — t sinpa:)e*^ = (aa cospa: — u^ sin ^a* )«*■';

il suit de là que les fonctions réelles

e*^cosPa7, e^'sln^x

satisfont à l'équation différentielle. C'est ce que le lecteur n'aura aucune peine à vérifier. L'intégrale générale, en admettant toujours la

él2 CHAPITEE XVIII.

même proposition, est

ke<^ cos pa? -4- Be»* sin ^x

en désignant par A et B des constantes réelles quelconques. On peut l'écrire

en désignant par R et A* de nouvelles constantes arbitraires liées aux premières par les relations

A = — Rsin^A-, B = Kcos?A%

On peut supposer R > o.

On observera les différences de nature entre les fonctions que Ton

trouve comme solutions de l'équation différentielle. Une fonction de la

forme Cie''«^-f- Cje''*-^ où C|, C2, /'i, /'a sont des quantités réelles ne

s'annule pour aucune valeur de x si les constantes C|, Cj sont de

même signe, elle s'annule et change de signe pour une valeur de x,

et une seule, si C| et Cj sont de signes contraires. L'influence du signe

de /'i, r2 se fait sentir sur la façon dont se comporte la fonction pour

:r = dz 00, pour j: = -h 00 par exemple : en supposant rj > r^ on peut

écrire

y = e'-,j:[Cic^'-»-'-.^'+ Ct];

quand x devient très grand, la quantité entre crochets tend vers Gai si 7-2 est positif, jr deviendra infini en valeur absolue et du signe de Ca; si /'a est négatif, j^ tendra vers zéro; il s'approchera deCj si r^ est nul.

Les fonctions de la forme y = Re«^sin{î(a: — Xr) se comportent tout autrement, elles s'annulent et changent de signe pour toutes le> valeurs de x de la forme x = k -i- niZy n étant un entier quelconque. La courbe sinueuse qui les représente rencontre l'axe des x en une infinité de points équidistants; si a est positif, e^^ tend vers -|- oc en même temps que x {et beaucoup plus rapidement). Il est clair que pour

a- = X:-f-(2/i-hi)- (n entier)

y a des valeurs très grandes en valeur absolue, positives ou négaliv

es

NOTIONS DE r.ALCtL INTÉGRAL. 6l3

suivant que n est pair ou impair, de plus en plus grandes à mesure rjue ji devient plus grand. Les précédentes valeurs de x ne sont pas d'ailleurs celles qui correspondent aux maxima et aux minima de y\ celles-ci sont données par Téquation

langP(a7 — X:) =— ^.

Au contraire, quand a est négatif et que x tend vers -h oo, la courbe se rapproche rapidement de Taxe des x.

Lorsque les deux racines de l'équation r^ -^ pr -h q = o sont égales, la marche précédente ne fournit qu'une solution de l'équation différentielle; il faut en chercher une seconde; on y parvient par une méthode qui va nous fournir en même temps la démonstration de ce que, <lans les autres cas, on a bien, en effet, obtenu la solution générale <le IVquation.

Si, dans l'expression y -\- py' -^-qy^ on remplace y par le produit u\^ de deux fonctions quelconques de x, cette expression, en ordonnant par rapport à i^ et à ses dérivées, devient

uv' -^ {iu' -^pu)v'-h v{u''-h pu'-h qu) (•).

Supposons maintenant que u soit de la forme e''-^, r étant une constante, et que p el q soient des constantes, l'expression précédente deviendra

e'-jr[(;»H-(2r-h/;)p'-h (/•*-!-/>/• -H q)v]>

11 est clair que, si l'on se donne r, la solution la plus générale de l'équation proposée s'obtiendra en multipliant par e''^ la solution la plus générale de l'équation

v" -^ {ir ^ p)v' ->t- {r^ -^ pr -^ q)v = o,

dans laquelle on observera que le coefficient 'ir -\- p de v' est la dérivée par rapport à r du coefficient r'-\-pr-\-q de v. En prenant

(^) Ce calcul s'applique lors môme que p et q sont des fonctions de x; le lecteur en conclura sans peine que, lorsque l'on connaît une solution d'une équation diiïérentielle linéaire homogène du second ordre, sa résolution complète se ramène à une quadrature et à Tintégralion d'une équation linéaire du premier ordre.

6l4 CHAPITRE XVIII.

pour r une racine /'i de r^-\-pr-\-q^ l'équation précédente devient

p'-h (îîri H-/>)p'= o.

C'est là, si Ton regarde v' comme la fonction inconnue, une équation linéaire homogène du premier ordre, à coefficients constants. On en tire

et, par suite,

en désignant par C, C|, C2 des constantes; on en conclut que la solution la plus générale de l'équation proposée est

y = pe'-i ^ = Gt e''^ -«^ 4- C, e-<''t^-/>J* = C, e''t ' 4- C, e*"- ',

en désignant par r^ la seconde racine de l'équation r^ -\- pr -^ q = o z ces résultats sont valables lors même que les racines ri, r^ sont imaginaires conjuguées ; mais il faut prendre alors, pour les constantes C, et C2, des nombres imaginaires conjugués, si l'on veut avoir pour r une fonction réelle. On retrouve donc ainsi, complètement démontrés, les résultats annoncés plus haut.

Il reste à examiner le cas où les racines du trinôme r^+pr-\-q sont égales; l'équation en r se réduit alors à t>"= o, d'où l'on déduit v'= C, r = Cas -f- G en désignant par G et C des constantes; l'intégrale générale de l'équation proposée est alors

y = (Cx-^C')e * .

Dans tous les cas, les constantes sont déterminées si l'on se donne pour une valeur de x, la valeur de y et de sa dérivée, un point de la courbe intégrale et la tangente en ce point.

333. Considérons maintenant une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

y-hpy-¥-qy = K,

où je suppose encore que p et q soient des constantes. La métliode précédente fournit un moyen de ramener l'intégration de cette équa-

NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. 6l5

tion aux quadratures quelle que soit la fonction donnée de x qui figure dans le second membre; en efiel, en substituant dans celte équation e''^s^ à la place àe y et en supposant que r soit une racine de Téquation r^ -|- /?/•-[- y = o, on trouve, après avoir divisé par e''*,

v'-^{ir-^p)ç'= A «-'•*;

c'est une équation linéaire du premier ordre, si l'qn regarde v' comme la fonction inconnue ; on en déduit t^', puis p, par des quadratures ; cette méthode s'applique en particulier quand r est une racine double.

Dans le cas où A est un polynôme en 2?, ou une somme d'exponentielles, il vaut mieux, le plus souvent, chercher une solution particulière de l'équation

y-^py'-^qy = A,

puis ajouter à cette solution particulière la solution générale de l'équation sans second membre.

Si A est une constante, — sera une solution.

Si

A = Aoa?«+ Ata?'»-*-h...-f- Aa x"-» + ...-+- A „ est un poljnome de degré n, on cherchera une solution de la forme

en substituant et en égalant dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de ;r, on formera n 4- 1 équations du premier

degré

qa^ = Ao,

^a|H-/>/iao= Al,

yaa-h(n — a-hi)/>aa-i + (/i — a -h 2)(n — a -h i)aa j= Aa,

qui permettront de déterminer sans ambiguïté les coefficients a^, «1 , . . . , aa, . . . , a„, lorsque q n'est pas nul.

Si q était nul, on serait ramené à une équation du premier ordre en prenant^ pour inconnue; au reste, la même méthode s'appliquerait, en prenant un poljnome du (n-hi)*^"® degré pour ^ au lieu de prendre un polynôme du /i'^™*.

6l6 CHAPITRE XVIII.

Dans le cas où A est une exponentielle de la forme ae" étant des constantes, on cherchera une solution de la forme ^=Xe'* on satisfera à l'ëquation en prenant

/it*-h/?/n-h q

si m^ -f- pm -4- q n'est pas nul ; si m* -h pm -h q est nul on cherchera une solution de la même forme mais où X soit du premier ou du second degré suivant que 2m -h/? n'est pas nul ou est nul; on trouvera sans peine, suivant les cas, que

sont des solutions.

Lorsque A est de Ja forme Be"^j où B est un polynôme en jc. on posera dans Féquation proposée y = çe"^^ on la ramènera à une équation linéaire où le second membre est un polynôme, équation que l'on traitera comme il a été expliqué.

Une remarque que l'on a faite pour une équation linéaire d'ordre quelconque montre que l'on saura, en ajoutant des solutions obtenue^ par les méthodes précédentes, trouver, dans le cas où A est la somme de polynômes et de termes exponentiels de la forme Be"*-^, une solulion particulière de l'équation avec second membre. Le cas où Ton aurait, en oulre, des termes de la forme Bsinmx, Bcosmx, Bsin(///j'-f-n) rentre dans celui que l'on vient d'examiner, puisque le sinus et le cosinus peuvent être remplacés par des combinaisons d'exponentielles imaginaires; la méthode précédente permettra, en ajoutant des solutions qui soient des imaginaires conjuguées, de parvenir à une solution réelle, que l'on peut d'ailleurs trouver directement par des procédés analogues à ceux que l'on vient de décrire.

L'équation

où a est une constante réelle, admet pour intégrale générale

y = Acosaar-H hsinax = R sina(ar — Xo);

où A, B, R, Xq sont des constantes arbitraires; on peut déterminer ces con-

NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. 6l-

stantes par la condition que, pour une valeur donnée de x, y et y prennent des valeurs données (*).

Si l'on veut, par exemple, que, pour x = x^^ y soit nul et y égal à i, on prendra ^= -sina(a? — .tq). L'équation

y^ a*j^ = o a pour solution générale

y = Ac«*-f- Bc-««= A' ch«:r -f- B' shaa:,

on désignant par A, B, A', B' des constantes arbitraires. Suivant que A, B sont, ou non, de même signe, y peut se mettre sous l'une des formes

Rcha(jr — a7o), Rsha(a7 — aro)

où R et x^ sont des constantes : ces expressions vérifient l'équation différentielle, quelles que soient R et x^.

Considérons l'équation

y —y = Se^'-hx^e^—s'inx.

L'intégrale générale s'obtiendra en ajoutant à Ae*-hBtf-«, où A et B sont des constantes arbitraires, les solutions particulières des équations dont les seconds membres sont 3 c'*, x^e^y — sina:. Pour la première, on trouve e^': pour la seconde, on commence par poser ^ = çe^ et l'on forme l'équation en v v^-t- ap'= X* qui admet pour solution

on pourra écrire la troisième sous la forme

•^ -^ Il 2 1

et déterminer des solutions particulières des équations

on trouvera les deux solutions conjuguées -t"-^*'» — T"-^~*'t dont la somme

CO Cette observation s'applique à toutes les équations du second ordre : cela est évident quand il s'agit d'équations linéaires à coefficients constants, avec ou sans second membre. En d'autres termes, la courbe que définit l'équation est déterminée quand on se donne un point de cette courbe et la tangente en ce point.

6l8 CHAPITRE XVIII.

est-sin»r; on arrive au même résultat en cherchant directement uae solution

de l'équation ^ — j^ =3 — sinT, qui soit de la forme a^'iax, a étant une constante.

On aura finalement pour Tintégrale générale de Téquation proposée

y = Xe^-h Be-^-^ e** H e^-h - sinx.

Considérons encore Téquation

y—'iy-hy = 4 sin'ar;

l'intégrale de l'équation sans second membre est e'(Aa?-HB\ en désignant par A et B des constantes : on remplacera le second membre par

3 sina? — sinîa?

pour le ramener à Tun des types précédents et Ton cherchera des solutions particulières des équations dont les seconds membres sont Ssinor, — sin'ix; pour la seconde, par exemple, on cherchera une solution de la forme

[a sin3a7 + 6cos3a7;

le premier membre, en y remplaçant y par cette expression, deviendra

sin3ar( — 8a -H 66) -4- cos3a?(— 8 6 — 6a),

et Ton déterminera les constantes a et 6 par les équations

d*où Ton tire

On obtiendra finalement pour l'intégrale générale

y = e*(Aa:-4-B)-hi,5 cosa?-ho,o8sin3a? — o,o6cos3ar. ]

354. Je terminerai en donnant un exemple de la recherche d'une série dont la somme vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre, à savoir Téquation

(0 C^' — ar)y-hf(a-»-p-hi)a? — Yiy-»-«Pr = o,

^^ *? P? Y sont des nombres quelconques dont le dernier toutefois n'est pas un entier nul ou négatif.

Cherchons à vérifier cette équation par une série entière en x^ à coefficients indéterminés ao, ai, . . ., a;,, ... ; on remplacera respectivement dans le premier membre j^, j^', y^ par

a© -H aiJ?-4-...-4- ««ar*» H-...,

ai -H 2ajir-h...-4- /iarta7'»-* + . . .,

2at-l- 2.3aj.r-+-...-f- (/i — i)»^,!^?'*-*-}-. . . ;

on ordonnera par rapport à j: et Ton écrira que le résultat est identiquement nul; on trouvera ainsi, en égalant à o le coefficient de x'*^ la

relation

«-« = ««(„^,nn^Y)

d'où Ton déduit

aCa -h I ) . . . (a -+- /i) ? ( P -+- 1 ) . . . ( p -H /i ) 1 .2 . . .( /i -h I ) Y < Y -»- «>• • -^ Y -»- 'i )

En appliquant la règle relative au rapport dlun terme au précédent on reconnaît sans peine que la série

i.v i.uY(Y-f-i)

est convergente à Tintérieurde rintervalle( — i, i), divergente à Texlérieur; je laisse de côté ce qui concerne les valeurs di i. On désigne cette série sous le nom de série hyper géométrique et sa somme, qui est une fonction continue de x pour toute valeur de x intérieure à Fintervalle ( — i, i), par la notation F(a, ^, y, ^). L'équation (i) admet donc comme solution la fonction aoF(a, p, y, x)^ en désignant par ao une constante arbitraire ; elle n'admet pas d'autre solution qui soit développable en série procédant suivant les puissances entières et positives de x.

Le calcul de a;, revient au calcul de la valeur, pour :i: = o, de la dérivée /!**"• de ^. En égalant à o la dérivée /i**"' du premier membre de Téquation (i), on trouve de suite la relation

670 CHAPITRB XVIII.

entre trois dérivées consécutives j^f''J,^^"+'J,^f"+*^; en faisant x = o dans cette relation, la dérivée (/i + a)**"* disparaît et l'on trouve, entre les valeurs y J,""^*^ et^*(" des dérivées pour x = o, la relation

( Y -*- n)^!»"-^»^ = (a -H /i)(p ^- n)yi'^

qui équivaut à la relation trouvée plus haut entre a„^i et a^-

On est ici dans un cas très particulier; pour a? = o, toutes les dérivées d'une fonction y qui vérifie l'équation (i) sont déterminées par les valeurs que cette fonction prend pour j; = o ; il en serait de même pour ^ = I , tandis que, pourt oute autre valeur :r = a, toutes les dérivées s'exprimeraient au moyen des valeurs que prennent, pour o-^flr. les fonctions j^ et j/^, en sorte que le développement (en supposant (]u il soit légitime) suivant les puissances de or — a dépendrait des deux valeurs pour x =a dey et de j^, qui joueraient le rôle de consranrt-i arbitraires.

Il ne faut pas conclure du calcul précédent qu'il n'y a pas d'autre^ fonctions à vérifier l'équation (i) que la fonction aoF(a, p, y, x». mais seulement qu'il n'y a pas d'autre fonction que celle-là qui satisfasse à l'équation et qui soit développable en série entière en x.

La fonction F(a, p, y, x) jouit d'un très grand nombre de pmpriétés, parmi lesquelles je me contente d'indiquer les suivantes :

Elle se réduit à un polynôme quand a ou ^ est un nombre entier négatif.

On a

±^(^jMlf} = «(« -^ 1)-. (« -H /l-0P(P^0...O 4-/1-0 p..^ , ^ *3 ^ „ ., ^ , r\

(i-^a;)'« = F(— /i, I, 1, —-37), lg(i -r-x) = xF(i, I, 2, - X),

Ig ='2a?F(-, i,-,.r«),

cos fia = F ( n, — /i, - > sin* - ) j

dx

EXERCICES