Construire les courbes

^ = e~*sina7, ^ = c-*'sina?

pour les valeurs positives de a?. Pour a? > i , la seconde courbe est constamment située entre Taxe des œ et la première.

Chacune forme au-dessus et au-dessous de l'axe des a: une infinité d^arches. Numérotons ces arches r, 2, 3, ..., en commençant parcelle qui part de l'origine. Soient, en valeur absolue, U/, et Un les aires respectives des arches de rang n. Les séries

U,-hU,-h... + U„-h...,

M| -h Mj -h .. . -h l/n -H. .

sont convergentes.

L'intégrale / e"^*smx dx tend vers une limite quand x augmente indéliniment.

380. La courbe définie par l'équation j^ = sin^?' forme aussi des arches audessus et au-dessous de Taxe des x; Taire An de la /i'^* arche est, en valeur absolue,

sinx^dx= I sin[/«-i-a^ v^(/i — i)T.]dt:

montrer que Ton a A^ < ^Jîïz — \/(/i — i)tz^ que la série Ai — A« -h A3— ... est convergente, que Tintégrale / sinx^dx tend vers une limite quand jaugmente indéfiniment.

J/» ' sin^ f dx tend vers une limite quand x augmente indé- 0 ^ finiment.

^82. Évaluer avec deux chiffres significatifs exacts les intégrales

/ i > I ^sinxdx.

383. Déterminer les constantes numériques A, B, G, X de manière que le? dérivées de la fonction

f /(x)dx^x[X/(a)-h B/(a-f- 'kx)-hC/{a-

soient nulles pour â? =0, jusqu'au quatrième ordre inclusivement. Kn déduire une justification de la méthode d'approximation exposée dans la note du n"33l.

384. Déterminer les constantes numériques 'A, B, G, D, X, |jl demaaièreque les dérivées de la fonction

f{x)dx — x[k.f{'a)-^ B/(a +- Xx) -f- G/(aH-fXwc) 4- D/(a-+- J*t]

soient nulles jusqu'au sixième ordre inclusivement, pour or = o.

Les constantes étant ainsi déterminées, montrer que l'expression précédente est nulle identiquement quand /(â?) est un polynôme du cinquième degré, au plus.

383. Déterminer ( * ) le centre de gravité d'un arc de cycloïde, ou de chaînette,, dont on donne les extrémités.

386. Déterminer le centre de gravité d'un secteur circulaire, de la surface limitée par une cycloïde et sa base, de la surface limitée par une demi-ellipse et l'un des axes.

387. Volume et surface engendrés par une cycloïde tournant autour de sa base; par une chaînette limitée à une perpendiculaire à Taxe et tournant au» tour de l'axe; centre de gravité de ce dernier volume et de celte dernière surface.

388. En reprenant les notations de l'exercice 342, on demande de déterminer les courbes telles que l'une des lignes TN, MT, MN soit constante.

389. En reprenant les notations de l'exercice 343, on demande de déterminer les courbes (en coordonnées polaires) telles que l'une des lignes MT, MN, TN soit constante.

Evaluer pour cette dernière courbe l'arc qui va du pôle au point de rebroussement, l'aire comprise entre cet arc et la corde.

390. En conservant les mômes notations, trouver la courbe telle que la surface du triangle MTN soit constante. Forme de la courbe.

On considère l'arc de courbe qui part de l'origine et qui aboutit au premier point d'inlersection avec l'axe des x. Évaluer la longueur de cet arc, l'aire comprise entre cet arc et l'axe des x,