Dans l'équation différentielle homogène

on fait le changement de variable x-=^{t)\ on obtient ainsi une nouvelle équation différentielle linéaire du second ordre entremet t. Déterminer la fonction ^{t) de façon que, dans la nouvelle équation, le

coefficient de •—- soit nul. Intégrer l'équation à laquelle on parvient et l'équation proposée.

400. Si les fonctions u^ v vérifient l'équation différentielle d^y , dy

63!2 CHAPITftR XVI 11.

OÙ A et B sont des fonctions de x, on a

Soit (x, ^) un intenralle dans lequel on suppose que les fonctions A, u. r. u\ s/ sont continues. Dans cet intervalle aucune des fonctions u, p ne peut avoir de racine commune à sa dérivée. Entre deux racines consécutives de Tune des fonctions u, p il y a une racine de l'autre, et une seule.

•401. Montrer diaprés la proposition précédente que, lorsque Ton connaitone solution d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre, l'intégration de cette équation se ramène à Fintégration d*une équation linéaire du premier ordre. L'intégrale générale est de la forme Cu -f- CV en désignant par u, p deux solutions dont le rapport n^st pas constant et par G, C de» constantes arbitraires.

Intégrer Féqualion

sachant qu'elle admet la solution y = 20:* — 1. Intégrer l'équation

^.d^Y dy ^

sachant qu'elle admet la solution ^ = 3x> — i.

402. Si A, B, G sont des fonctions de x telles que l'on ait identiquement

en désignant par A', A', ... les dérivées de A, . . ., il existe trois constanies ). {1, V, non toutes nulles, telles que Ton ait identiquement

XA4-[jiB-rvG = o.