L'équation différentielle

admet comme solution un polynôme Pn(^) {Ex, 38) (*); montrer qu'une seconde solution de l'équation est

/dx

x^)Py

montrer que, si Ton décompose en fractions simples Texpression -^»

les résidus (n* 110) relatifs aux racines de Féquation P;, = o sont tous nuls; en

P X -^ î conclure que la seconde solution est de la forme ~ Ig h Q„, Q» étant un

polynôme. On pourra se servir, pour déterminer les coefficients de ce polynôme, de l'équation obtenue en remplaçant, dans l'équation proposée, y par Texpression précédente.

401. Soit Pn le polynôme du degré n formé par les n + 1 premiers termes

du développement en série entière de ; montrer qu'il existe un poly-

nome Q^ de degré n tel que Ton ait identiquement, en :r,

(i-ar)PiH-ar«^iQ„=i,

qu'il existe une constante a» telle qu'on ait identiquement, en x^

P„— -^Ci — ar)P;=3i„J?«, (nH-i)Q«-harQ;. = a,|P«.

Déterminer cette constante et les coefficients du polynôme Q,,. Les équations 1*^= o, Qn= o n'ont pas de racine réelle quand n est pair; elles en ont une seule quand n est impair. Intégrer les deux équations

J^ — 2(1 — ar)y= OLnX",

(n-^i)z-^xz'= a,|P«.

(') La relation entre trois polynômes F. doit élre rétablie ainsi : n P,(x) - (2« -i)x P,.,(:r) 4- (n - I) P,.,(^) = o, elle permet de calculer successivement les polynômes P., en prenant

FLN DU TOxME SECOND.