I -h Iti

l-hU,

l -1- tl.l

I — Ui I — Uo I — /^i

sont convergentes ou divergentes en même temps.

176. Dans les mêmes conditions, il en est de m}nie des deux séries

Ml -h M* -h ..

Si Si

où Sn désigne la somme des n premier»; termes de Iji prc ni 'r* série.

On voit aisément que la seconde série est convorj^cnre (juand la première e<t convergenie; pour achever la démonstration, il suffit de pr »uvcr que la seconde série est divergente quand la prefnière est divergente. On observera que lu soni-ne

i^n +-) ihi 4-2 fhi -H/;

ji~ — r* • • . ~T~

C'it |)lu«^ grande que

^n-hp

et que, si la première série est divergente, on j)eut toujours, en se donnani n arbitrairement, prendre/? assez grand pour que le second membre soit aussi

\ raisin de i qu'on voudra, pour qu'il dépasse -t par exemple; on peut done,

dans la seconde série, trouver après le /i''""^ terme as;iez de termes priur que

leur somme dépasse - et, cela, quel que soit /^, etc.

Appliquer la proposition précédente au cas où l'on a M,i=i,qnel que soit n.

177. En désignant par a, b deux nombres positifs donnés, déterminer un nombre A tel que la série dont le n'*^"" terme est

an -h b n soit convergente.

f(x) i78. Une fonction rationnelle—^^ — { étant donnée, dans laquelle le dénomi-

nateur ne s'annule pour aucune valeur entière et positive de a?, on peut lou-

jours en retrancher un polynoinejP(a:) et une fraction de la forme —, où A

est une constante, tels que la série dont le terme général est

soit convergente.