CL

deinmeut en défaut dans les figures 4o et 4i? et l'on en voit bien la raison : il y a des points où le trait de courbe vient affleurer l'arc des x sans le traverser. Pour conserver à la proposition énoncée sa généralité, on ne comptera pas ces points-là, ou bien on les comptera connue équivalents à un nombre pair de points qui seraient confondus, T. - II. 5

CHAPITRB \1I.

tandis qu'on comptera pour un nombre impair de points ceux où le trait de courbe traverse l'arc des x, soit de bas en haut, soit de haur en bas. Il sera alors permis de dire que Téquation /(x) = o a un

Fig. 4i.

nombre impair de racines entre a et a', pourvu, toutefois, qu'elle en admette un nombre fini. Si la fonction /(x) s'annulait une infinité de fois entre a et a', la proposition n'aurait plus de sens; d'ailleurs, la représentation graphique ne serait plus possible.

Le lecteur verra sans peine que, lorsque f{x) est un polynôme en j;, les explications qu'on vient de donner concordent bien a\ec la définition de l'ordre de multiplicité d'une racine. Le théorème énoncé est vrai en comptant chaque racine distincte comme équivalant à autant de racines qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. Celte notion de l'ordre de multiplicité sera étendue plus tard à d'autres fonctions analogues aux polynômes, mais il n'y a pas lieu d'en donner une définition générale.

Je lui laisse le soin de traduire en langage cinématique ce que l'on vient d'expliquer sur une figure et de reconnaître de la même façon la vérité de la proposition que voici, qui doit être entendue comme la précédente :

Si la fonction f{x) est continue dans l'intenaUe («, a'), si tes nombres ol^ a' appartiennent à cet inten^a/le, et si les valeurs correspondantes /(a), /(a') de la fonction ont le même signe y V équation f{x) = o /l'a pas de racines comprises entre a et a', ou bien en a un nombre pair.

Lorsqu'une fonction de x n'est pas continue pour une valeur .r© de X, elle est dite discoalinue pour cette valeur : Les fractions ra-

FONCTIONS D*tNB VARIABLE RÉKLLE. G7

tionnelles nous ont fourni des exemples de discontinuités : celles-ci se présentaient pour des valeurs spéciales de la variable; il en sera de même pour toutes les fonctions que nous étudierons ici; les discontinuités seront toujours exceptionnelles. Toutefois, il importe de remarquer que les discontinuités que nous avons alors rencontrées étaient d'une nature particulière. Il convient, en raison de leur importance, de s'arrêter sur ces discontinuités spéciales, sur ces valeurs de la variable pour lesquelles on dit qu'une fonction dc\ient infinie, qu'elle passe de — oo à -f-oo, etc.

La fonction 7 ; -» par exemple, est définie pour toutes

les valeurs de x^ sauf pour x=^i etpoura: = 2; on a expliqué ce qu'il fallait entendre quand on dit qu'elle devient infinie pour x = i, «jirelle passe de — oo à -H oo, lorsque x passe par cette valeur, quelle tend \ers -H oo quand x tend vers 2 soit par des valeurs plus petites, soit par des valeurs plus grandes que 2. Ces explications peu\ent évidemment être transportées à d'autres fonctions.

Soiiy"(j:) une fonction définie dans l'intervalle (a, a') sauf pour la \aleur a:©; supposons, en outre, qu'elle soit continue pour toutes les \aleurs de x appartenant à cet intervalle, sauf pour x = Xq.

On dira que la fonction /(j?) est ou devient infinie pour x = 0:0, si, quel que soit le nombre positif P, la valeur absolue de /"(j?) dépasse P pour toutes les valeurs dex appartenant à l'intervalle (a, a') qui sont suffisamment voisines de a:©; en d'autres termes, à chaque nombre positif P doit correspondre un nombre positif e tel que l'on ait \f{x) I > P, pourvu que x appartienne à l'intervalle considéré et que

Ton ait \x — Xo\<^z. Dans ces conditions, le rapport -t} — \ est aussi \oisin de o qu'on le veut, pourvu que x soit suffisamment voisin de Xq ; c'est ce qu'on exprime en disant que ce rapport, qui n'est pas défini pour x©, a pour limite o quand x tend vers o ( * ).

( ' ) On voit que le mot limite est pris ici dans un sens analogue mais non idenlique à celui qu'on lui donnait dans le Chapitre précédent : on considérait alors une suiie a,, Un> .... w„, .... ou plutôt le /i'*"* terme de cette suite, que l'on peut ref;arder comme une fonction de la variable n définie pour toutes les valeurs naturelles (!e cette variable; c'est quand n grandissait indéfiniment, en ne prenant que de lelleâ valeurs, que u^ s^approchait de sa limite. Ici x peut prendre toutes les valeurs

fiossibles, et c'est lorsque x s'approche de o, par valeurs quelconques, que -r- — v s'ap-

J \^) l>roche de la limite o.

68 CIIAI>ITRR \ll.

Si Ton adopte la définition précédente, il est clair que la fonction y(x), que Ton suppose infînie pour x = J7o> finit, lorsque x est très voisin de Xo, par garder le même signe, pourvu que x reste soitplu> petit que Xo? soit plus grand que x^] en effet, si, en considérant deux valeurs a, a' très voisines de Xq et toutes deux, par exemple, plu> petites que jcq, la fonction f{x) était né;»;ative pour x = a et posiliNe pour x = ol\ elle s'annulerait (à cause de la continuité), pour une valeur de x comprise entre a et a', elle ne serait pas plus grande que P en valeur absolue; cela ne peut plus arriver dès qu'on a dépa^sé la valeur Xq — sa partir de laquelle on a \/{x) \ > P.

Ceci posé, il peut se faire que la fonction /(j?) soit négative pour X <-^(M positive pour x> x^^; elle passe alors de — oo à + x; elle peut être positive avant que x n'atteigne Xq, négative après : elle passe de -h xà — oo. Elle peut être positive avant et après, négali\e avant et après ; elle devient égale à -f- ao dans le premier cas, à — x dans le second: les fonctions - » — > — > — -y discontinues pour

X = o, offrent des exemples de ces différents cas. Les figures 20, >.!. 22, 23 montrent suffisamment comment se comporte le trait Je courbe qui figure la fonction quand x est voisiu de o.

Il peut se faire que la valeur exceptionnelle de x pour laquelle une fonction devient infinie soit précisément une des bornes de FinlcTvalle dans lequel on considère cette fonction; par exemple, la fonction -—= est définie dans l'intervalle ( — i, +1), sauf pour les borne<:

elle est infinie pour ces bornes.

Considérons une fonction /{x) qui soit définie et continue daii*^ l'intervalle (a^ a') quelque grand que soit a'. Il peut se faire que, s !;randissjnl indéfiniment, /(^) s'approche d'une valeur limite, ou .grandisse indéfiniment, ou se comporte tout autrement; la définition (!e la liuiite est pareille à celle qu'on a donnée au n" 171, si ce n'esl (lie, alors, on ne considérait que des valeurs naturelles de la valiable //, et que l'on considère maintenant toutes les valeurs de j*. On dira que/(x) a une limite A pour x = -\- co, lorsque la différenre (Mire y (.r) et A sera moindre en valeur absolue que tel nombre i i le l'on \oudra, pourvu que x dépasse un nombre positif P cou- Ncnablement choisi, d'après la valeur de e. On définira de même la li.jiite pour ^ = — 00; par exemple, - a pour limite o quand x teud \ ; rs ih oc ou vers — oc.

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 69

On dira que la fonction /(j?) devient égale à H- oo pour x = -4- », si la valeur de la fonction f{x) dépasse tel nombre positif P que Ton voudra, pourvu que x dépasse un nombre positif (^ convenablement choisi (d'après P). On définira de même ce qu'il faut entendre quand on dit que f{x) devient égal à — oo pour x = + oo, à -f- oo ou à — oc pour j: = — oo.

F^es polynômes ont fourni des exemples de ces diverses circonstances, et le lecteur se rappelle les graphiques correspondants.

F^es seules discontinuités dont nous ayons jusqu'à présent des exemples correspondent à des valeurs de x pour lesquelles une fonction devienne infinie. Mais une fonction, tout en étant continue en général, peut oflVir d'autres sortes de discontinuités; nous en rencontrerons ainsi qui sont inévitables ; un graphique suffira aisément à en l'aire comprendre la nature.

Fig. ',o.

Considérons une fonction f{x) définie dans l'intervalle (a, a') par 1 arr de courbe AP lorsque x appartient à l'intervalle (a, />), par l'arc de courbe P'A' quand x appartient à l'intervalle (/?, a'). Désignons par q et q' les ordonnées des points P et P'.

Cette fonction f{x) n'est vraiment définie par la figure que pour les \aleurs de x autres que p] pour x =/>, on ne sait pas si la valeur de la fonction est définie par l'arc AP (elle serait alors égale à ç), ou par Tare P'A' (elle serait alors égale à q'). Mais, afin d'avoir une fonction qui soit complètement définie, on peut choisir arbitrairement Tune de ces valeurs ou même une autre. Convenons, par exemple, d'attribuer à la fonction /(j:), pour x=p^ la valeur q\ alors, pour

des valeurs de x^ un peu plus petites que /?, la fonction est voisine de <7, aussi voisine de q qu'on le veut, pourvu que x soit assez voisin de p\ pour les valeurs de x un peu plus grandes que/?, elle est voisine de q\ aussi voisine de q' qu'on le veut pourvu que x soit suffisamment voisin de p. La discontinuité est manifeste; on dit quelquefois que la fonction passe brusquement, pour x=zp^ de la valeur q à la valeur q' , Toutefois, cette façon de parler, qui répond bien à l'aspect de la figure, n'est pas tout à fait correcte ou plutôt n'est pas conforme à la définition précédente, puisque, pour x =/?, la fonction f{x) n'atteint pas la valeur q' .

On peut dire que, lorsque x tend vers p par des valeurs inférieures ou égales à p^f{x) tend vers la limite q^ et que, lorsque a: tend vers p par des valeurs supérieures à /?, f{x) tend vers la limite q'\ mais, celte fois, il faut exclure les valeurs égales à /? (').

Bien entendu, il peut se présenter des discontinuités beaucoup plus compliquées; celles que nous avons considérées nous suffiront.

Enfin, il convient encore de rappeler une circonstance qui s'est présentée dans l'étude des fonctions rationnelles. Il peut très bien arriver qu'une fonction qui est, en général, définie et continue dans l'intervalle (a, a') ne soit pas définie pourune valeur exceptionnelle -r© de cet intervalle, mais qu'on puisse la définir pour cette valeur sans qu'il y ait discontinuité. C'est ce qui arrive, par exemple, pour la fonction — ^* qui n'a pas de sens pour j? = o, mais qui, pour toutes les autres valeurs de x, est égale à la fonction continue 2jp, en sorte que, si on lui attribue, pour x = o, la même valeur qu'à cette fonction 2 x, elle sera toujours continue. D'une façon générale, si la fonction ./{x) est définie et continue dans tout l'intervalle, sauf pour X =z Xq^ et s'il existe un nombre A donty(j7) s'approche indéfiniment (*) quand x tend vers Xq soit par des valeurs plus petites, soit

(*) Le lecteur voit que le mot limite est employé dans des sens diiïérenls, saivant les cas. Il est nécessaire, toutes les fois qu'on emploie le mot, de se rendre compte de son sens précis dans le cis où Ton a affaire.

(2) D'une façon précise, il faut entendre par là que la différence /(x)— A est moindre en valeur absolue que tel nombre positif e que Ton veut, pourvu que la différence x ^ x^y sans être nulle, soit moindre en valeur absolue qu'un nombre positif e' convenablement choisi (d'après e). On dit alors aussi que/(r) a pour limite A, quand x tend vers^, : la même expression, d'ailleurs, s'emploie aussi bien« et dans le même sens, quand la fonction f{x) est continue pour x= x^ et a pour valeur A; mais oo n'a pas alors à exclure la valeur x = x^.

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 7I

par des valeurs plus grandes que a?©? ^^ P^*^*^ définir /(.a?) comme étant égale à A pour .r = x^ ; elle devient alors une fonction continue dans tout l'intervalle, et Ton dit que A est la vraie valeur de /(^) pour x = Xq.

L'expression de vraie valeur s'emploie aussi, par extension, quand il s'agit de la limite d'une fonction pour x infini.

Puisqu'une somme, un produit, un rapport varient très peu quand les termes de la somme, les facteurs du produit, le numérateur et le dénominateur du rapport varient très peu (note du n" 138), il est clair que, si les fonctions y(^), o (a?) sont définies dans un intervalle (a, a'), et que, si elles sont continues pour une valeur j:© appartenant à cet intervalle, il en sera de même des fonctions

on doit toutefois, pour la dernière, supposer que o{x) ne s'annule pas pour X ^ Xo ; si les fonctions /*( a:), 'f(.>F) sont continues dans tout l'intervalle (a, a'), il en sera de mêm3des fonctions /(j?) -+- îp(^),

f{^)^{x) et du rapport — — , si ç(^) ne s'annule pas dans l'intervalle (a, «'),

De même, si l'on sait que, lorsque x s'approche de j^o? ^^ lorsque x grandit indéfiniment, les fonctions /(x), o{x) ont pour limites respectives des nombres A, B, il est clair que les fonctions /(^) -h 'f (^),

/(x)o(ar), ^^y^ auront pour limites les nombres A -h B, AB, g* H faut toutefois supposer, dans le dernier cas, que B ne soit pas nul.

197. La notion de fonction et celle de continuité, s'étendent aisément au cas de plusieurs variables indépendrmtes; les polynômes à plusieurs variables nous ont déjà fourni des exemples.

Soient J7, y deux lettres que l'on regarde comm? susceptibles de prendre toutes les valeurs possibles; si, à chaque couple de valeurs numériques attribuées à ces variables, on fait correspondre une valeur de ^, on dira que z est une fonction de x^ y] c'est le cas d'un polynôme en Xj y. Une fonction àex^y peut, d'ailleurs, ne pas être définie pour tous les couples de valeurs de x^y] les mêmes raisons qui nous ont conduit à considérer, pour les fonctions d'une seule

variable, des intervalles où doit rester cette variable, nous amènent à limiter le champ de variation des valeurs de x^ j\ On pourra se borner aux couples de ces valeurs qui, lorsque l'on considère x, j^ comme les coordonnées d'un point, sont figurés par des points situés à l'intérieur d'un certain contour et sur ce contour, par exemple à l'intérieur et sur la circonférence d'un cercle, à l'intérieur et sur le contour d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Ces conditions s'expriment analytiqucment d'une façon trrs simple : si ^Oî J'o sont les coordonnées du centre du cercle, et R son ravon, on ne considérera que les couples de valeurs de x^y qui vérifient l'inégalité

(I) (a?-aro)«-H(7-7«)»lR»;

si Xo^ yo sont les coordonnées du centre du rectangle et 2a, ih les nombres positifs qui mesurent les longueurs de ses côtés, on ne considérera que les couples de valeurs de x^y qui vérifient les inégalités

Si la correspondance est établie entre chaque couple de valeurs T, )' qui vérifient ces inégalités et la valeur numérique de 3, :; sera une fonction de x, y définie dans le cercle ou le rectangle. On comprend, dès lors, ce qu'il faut entendre quand on dit que la fonction est définie pour le point Xq^ y^ et aux environs de ce point; cela signifie qu'on peut regarder le point de coordonnées ^r©, l'o comme le centre d'un cercle ou d'un rectangle qui peut, d'ailleurs, être aussi petit que l'on veut, et dans lequel la fonction est définie.

Si une fonction y(j7,j^) est définie pour le point Xq^ y^ et aux environs de ce point, on dira qu'elle est continue en ce point pour dire, en gros, que sa valeur change peu quand on remplace x^y par des valeurs respectivement voisines de .ro, J^o et, d'une façon précise, que la di(rérenre/(j:, y) — /(-^«î^I 0) est moindre en valeur al)Solue que tel nombre positifs que Ton voudra, pourvu que les diflérenccN x — ^n^ y — Vo soient moindres en valeur absolue qu'un nombre positif e' convenablement choisi ; à chaque nombre positif s doit correspondre un nombre positif s'.

Si une fonction /(j7, y) est définie dans tout un cercle (et sur la

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. jS

circonférence), dans tout un rectangle (et sur le contour), on dira qu'elle est continue dans ce cercle ou ce rectangle si, quelque petit que soit le nombre positifs, on peut lui faire correspondre un nombre positif s' tel que l'on ait

t3) 1/(^1, ri)— /(^o,ro)l<Ê

pourvu que les points de coordonnées X| , yt et JC©, yo appartiennent au cercle ou à sa circonférence, au rectangle ou à son contour, et que Ton ait

'i) 1^1 — aroI<£', 1^1— rol<e'-

En adoptant ces définitions, on a des propositions analogues à celles qu'on a énoncées pour les fonctions d'une variable :

Si une fonction est définie, au sens qu'on vient de dire, dans un cercle ou un rectangle, et si elle est continue en chaque point du cercle et de sa circonférence, du rectangle et de son contour, elle est continue dans tout le cercle, on tout le rectangle, avec la signification qu'on vient de donner à ces mots. Les valeurs qu'elle peut prendre sont alors comprises entre certaines bornes; elle atteint sa valeur maximum et sa valeur minimum. Voici, pour le maximum, le sens précis de ce théorème : si, par exemple, la fonction est définie et continue dans un cercle, y compris sa circonférence, il existe à l'intérieur du cercle, ou sur sa circonférence, un point de coordonnées x\ y tel que Ton ait

pour tous les couples de nombres .r, r figurés par des points situés à rinlérieurou sur la circonférence du cercle. Je rappelle que cette proposition a été admise dans la démonstration du théorème fondamental de r Algèbre (n" 112).

Le lecteur aperçoit, sans que j'insiste, comment on pourra définir une fonction d'un nombre quelconque de variables, et la continuité d'une telle fonction.

Sans doute les interprétations géométriques feront défaut; on ne pourra plus parler d'un cercle, d'un rectangle, etc., mais les inégalités (r), (2), (3), (4) peuvent évidemment être remplacées par des inégalités analogues, avec autant de variables qu'on voudra.

Je reviens aux fonctions d'une seule variable.

198. Fonctions croissantes, décroissantes. — Soity=/(x) une fonction continue dans Tintervalle (a, a') où je suppose a < a', on dit qu'elle est croissante dans cet intervalle si, des deux valeurs de f{x) qui correspondent à deux valeurs distinctes quelconques j:», x, appartenant à cet intervalle, la plus grande correspond toujours à la plus grande valeur de a:, si en d'autres termes la différence/(:r4) — f{^%) est toujours de même signe que X| — x^^ en sorte que le rapport /(•^i "~'-^v^o/est toujours positif, quand les nombres différents Xe, x^ appartiennent à l'intervalle (a, «/). S'il en est ainsi, le trait AA' qui figure la courbe va en montant vers la droite; le point ^' de

Fig. 43.

l'axe OY qui correspond au point x de l'axe OX va en montant quand le point X décrit le segment (a, a')\ la plus petite valeur de la fonction est atteinte pour x = a, la plus grande pour x =^ a'\ lorsque x croît de a à rt', la fonction /(.r) croît de b =f(^a) à b'=/{a') en passant par chaque valeur p comprise entre b et b', et en passant seulement une fois par celte valeur; quand x n'a pas atteint a, la valeur de /\^x) est inférieure à ^; quand x a dépassé a, la valeur de /(.r) est supérieure

La fonction /{x), définie et continue dans l'intervalle (a, a'), est décroissante lorsque, quels que soient les nombres distincts Xo, Ji

appartenant à cet intervalle, le rapport - — — — - est toujours néga-

tif; le trait qui figure la fonction va en s'abaissant vers la droite, etc., le point j^ de l'axe OY descend quand x croît de a à a'; le maximum est atteint pour jc = a, le minimum pour x = a' ] la fonction passe une fois par chaque valeur comprise entre b=/{a)^ b'=f{a')'

PONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE

Lorsqu'on s'est occupj des polynômes ou des fractions rationnelles, on ne s'est pas occupé de la croissance ou de la décroissance de ces fondions dans un intervalle, mais seulement pour une valeur spéciale de la variable.

Fig. 4'4

La fonction /(j:) est croissante pour x^ si le rapport-^ ^'^ ^-^ ^"^

est positif pour les valeurs de x, suffisamment voisines de Xq et différentes de Xq ; elle est décroissante pour Xq si le rapport est négatif dans les mêmes conditions.

Il est clair que, si une fonction est croissante dans un intervalle au hons que Ton a dit, elle est croissante pour chaque valeur de 2: appartenant à cet intervalle; réciproquement, si elle est croissante pour cliaque valeur de x appartenant à l'intervalle, elle est croissante dans tout Fintervalle. Cette réciproque, au point de vue logique, aurait besoin d'être Remontrée (* ); le lecteur n'éprouve sans doute aucune diffîculté à l'admettre.

il serait bien naturel d'admettre aussi que, si une fonction continue dans Fintervalle (a, a') n'est pas constamment croissante, décroissante ou constante dans cet intervalle, on peut décomposer (a, a') en un nombre fini d'intervalles partiels (a, ai), («<, «2)5 • • 5 (^p^ <^) tels que, dans chacun d'eux, la fonction soit ou croissante, ou décroissante, on constante. En fait, il n'en est pas ainsi : cette possibilité n'est pas logiquement impliquée parla définition de la continuité, et le lecteur

( ' ) Intr., D» 167.

7<» CIIAPITRK XII.

doit en être averti; rn a donné des exemples de fonctions qui salis font à la définition de la couliuinlé et qui cependant ne sont, pour aucune valeur de la variable, ni croissantes, ni décroissantes, qui ne sont pas non plus constantes dans un intervalle fini (*).

De telles fonctions échappent à la représentation graphique ou cinématique que Ton a définies plus haut; nous ne pouvons imaginer ni une courbe dont l'ordonnée n'aille pas en croissant ou en décroissant, ni un mouvement rectiligne dans lequel on ne puisse pas dire, à aucun moment, que le mobile a\ance ou recule. Elles n'inlerviendrcml d'ailleurs pas dans la suite de ce livre.

Malgré leur évidence, il n'est pas inutile de résumer les remarque^ suivantes :

Si A est une constante positive, les fonctions /(x) et A/(x) varient dans le même sens : si la première est croissante ou décroissante dans un intervalle, il en est de même de la seconde. Au contraire, si \ est une constante négative, les fonctions /(.r) et Ay(.r) varient en sens contraire; si l'une est croissante dans un intervalle, l'autre est décroissante. Si /{'^) et c3(jc) sont toutes les deux croissantes, ou toutes les deux décroissantes, dans un même intervalle, la fonction/! j:*) -i- ^< x ) est croissante, ou décroissante, dans cet intervalle : il en est de même du produil/(j ) 'f (.^), si dans cet intervalle les deux fonctions /< .r ) et <p(j;) restent positives; quand elles sont toutes deux négatives, le produity'(^) 'f{x) est au contraire décroissant si les deux fonctions y<jr k ç)(x) sont croissantes, croissant si les deux fonctions sont décroissantes. On reconnaît de même comment varie la différence /(jt) — z-iX', quand les deux fonctions /'(^r) elo(x) varient en sens contraire. Si la fonction /(.r) est croissante dans un intervalle et ne s'annule pa-^

dans cet intervalle, la fonction ---, — - est décroissante dans cet inler-

valle; si la fonction /(^) est décroissinte et ne s'annule pas, la

fonction -7^ — r est croissante, etc.

Pour donner une application de ces remarques si simples, considérons la fonction

(') Intl., n' 237.

FONCTIONS D*UNK VARIABLK RÉELLK. 77

OÙ je suppose que les nombres a^ b, c, , . .^ l soient distincts, et les ujinbres A, B, C, . . ., L positifs. Chacun des termes dont la fonction est la sommii est une fonction décroissante de x dans tout intervalle où elle est continue; )' est donc une fonction décroissante de:r, dans tout intervalle auquel n'appartient aucun des nombres <'/, />, c, ..., /.D'autre p irl, quand x traverse en croissant l'une des valeurs a y 6, . . ., /, pour lesquelles la fonction est discontinue, il est clair que la fonction passe de — 3C à -|-«, comme la fraction qui devient infinie; les autres fractions n'influent pas. Enfin, pour x très grand en valeur absolue, chacune des fractions est très voisine de o, négative si x est négatif, positive si X est positif. Si donc on suppose a < 6 < . . . <C ') on voit que, X croissant de — oo à a, y décroit de o à — oc; pour x = a^ y passe de — oo à -h«; quand x croît de « à6, j^ décroit de -f-oo à — oc; pour X ^= by y passe de — oo à 4-<x>; quand x croît Ae b k c^ y décroît de -h oc à — oc, etc.; quand x croît de / à -H oc, jk décroit de -h oo à o; la forme de la courbe qui représente la fonction est évidente; cette courbe est asymptote à l'axe des x, au-dessous pour la partie négative^ au-dessus pour la partie positive; elle est asymptote aussi à chacune des parallèles à Taxe des y menées par les points a, A, . . ., /de l'axe des X : le schéma ci-dessous indique suffisamment cette forme.

Si l'oa se donne une valeur quelconque P, autre que o, la fonction considérée atteindra cette valeur une fois dans chaque intervalle (a, 6), (6, c), . . ., (A*, l) et une fois seulement; elle atteindra de plus cette valeur pour une valeur de x plus petite que a, si P est négatif, pour une valeur de x plus gran le que / si P est positif; en d'autres termes^

s'il y a r nombres rz, />, . . ., /, Téqualion

X — a JL- — b

aura /• rarines réelles; on reconnaît de suite, en chassant les dénominateurs, que cette équation est de degré r; elle a donc toutes ses racines réelles et distinctes, distribuées comme on Fa expliqué plus haut.

199. Fonctions inverses. — Une fonction/( j:), continue dans l'intervalle (V/, «') et croissante, ou décroissante, dans tout cet intervalle, offre ceci de précieux que l'équation j^ = y(j7) permet de définir aussi bien J7 comme fonction de j^que j^ comme fonction de x. Je raisonnerai dans le cas où la fonction est croissante et où l'on a ^/ <; a^

On a vu qu'à chaque valeur ^ appartenant à l'intervalle (A, //) duni les bornes sont les nombres b^f{a)y b'=/(a'), correspond tin nombre a, et un seul, appartenant à l'intervalle (^, «') tel que Ton ail

Fig. 46.

P =:/(a). Regardons comme se correspondant deux nombres y et x appartenant l'un à rintervalle (6, 6'), l'autre à l'intervalle (>/, a ) ol tels que l'on ait v=/(a7); le trait de courbe A-V rend la correspuu- <lance très claire : si l'on se donne x = a, la valeur correspondaiiUdey s'obtient en menant jusqu'à la courbe une parallèle à OV par le point a de l'axe des x^ et en projetant le point d'intersection sur i'axe des j^; si l'on se donne y:=z^^ on trouve la valeur correspon-

PONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 79

dante de x en menant jusqu'à la courbe une parallèle à OX par le point 3 de l'axe des j^ et en projetant le point d'intersection sur l'axe des X. Quand x croît de « à a', le nombre correspondant j^ croit de b à y\ quand j' croît de é à è', x croît de a à a'.

Celle correspondance définit aussi bien, ainsi qu'on l'a annoncé, y comme fonction de x^ dans l'intervalle {a^ a') et x comme fonction de V, dans Tintervalle (6, b')\ je désignerai par ¥{y) cette dernière fonction. Chaque couple de valeurs correspondantes x^ y >crifie les deux équations y=zf[x)^ x =z¥{y), qu'on peut regarder comme équivalentes, étant entendu que, dans la première, «c doit appartenir à l'inlervalle («, a'), que, dans la seconde, y doit appartenir à l'intervalle (6, U). Si, dans/(a:), on remplace x par F(jv'), le résultat est toujours y^ si, dans F(^v), on remplace y par f{x)^ le résultat est toujours X.

Des deux fonctions /(j:-), F(y), chacune est dite inverse de l'autre.

On a déjà fait observer que la fonction F(j^), dans l'intervalle 16, b') où elle est définie, est croissante; on voit bien sur la figure qu'elle est continue. 11 est d'ailleurs aisé de constater qu'elle satisfait, pour une valeur quelconque p dej', à la définition de la continuité.

Je supposerai p compris entre b et b' ; la modification qu'ily aurait lieu de faire à la démonstration si l'on avait p = b ou '^ = b' est insijçnifiante. Afin d'établir la continuité de la fonction F (y) poury = p, il faut prouver que, quelque petit que soit le nombre e, on a |F| y) — F( ^) I <;s, pourvu que la diflérence j^ — p soit moindre en valeur absolue qu'un nombre positif s' convenablement choisi. Si x est la \aleur correspondant à y^ F (y) — F([î) est la même chose que X — a; cette dernière différence sera moindre en valeur absolue que e, si le point x, de l'axe OX, est entre les deux points a^, a, de cet axe, situés à une distance £ de a; soient ^o» pi les points correspondants sur OY ; si y est représenté par un point de l'axe OY situé entre jî© et p,, le point correspondant x de l'axe OX sera sûrement compris entre les deux points ao, a^ ; il suffira donc de prendre pour e' la plus petite des distances du point ^ aux points ^o? p\i et d'assujettir y — p à être moindre que e' en valeur absolue ; on sera sûr quejr — a, ou F (y) — F(P), est moindre en valeur absolue que e.

De la façon dont varient ensemble les variables x et r, il résulte que, si X ou F(^) tend vers oLj y ox\f{x) tend vers p; que, si^ ou f{x) tend vers p, x ou F{y) tend vers a.

c:ilAPITHR Ml.

De même, si la foaclioa f{.r ) esl coulinue et décroissanle dans l'inlervalle ( a, a'), l'équation^ z=.f{x) définil, sans ambiguïté, -r coniuif une fonclion de y pour les valeurs de y comprises entre fi a i et /(a ». Cette fonction F(j^), in\erse de la fonclion/i j- 1, est continue el décroisdante ; ses valeurs appartiennent toutes à Tinlervalle (a, a i.

Au contraire, si la fonction /(-rj, que je suppose toujours continue dans rinter\alle (a, a')j est tantôt croissante, tantôt décroissante dans cet intervalle, si le trait de courbe qui la ligure va lantùl en montant, tantôt en descendant, en sorte que les parallèles à Taxe OX puissent le rencontrer en plusieurs points qui se projettent sur Tare OX entre les points a et a' de cet axe, ni ce trait de courbe, ni l'équation j'=/(.t), jointe à la condition que -r soit compris, entre a el a\ ne suffir.>nl ù définir sans ambiguïté, pour les \alei;r-.

de y appartenant à rintervalle borné par la plus petite et la plus grande des valeurs que prend /(a:), une fonction continue F(j'), qui puisse être regardée comina la fonction inverse dey(a:), en ce sen* que f{x ), quand on y remplace x par ¥{y)^ se réduise -a y.

Considérons, par exemple, la fonction /(j?) figurée par le trait de courbe ci-dessus {fig» 47 )î quand x croit de a à u^^ y croît de // à t| ; quand x croît de cix à (i\ y décroît de bx k b' \ quand x cny\i de a à a\ y passe deux fois par une valeur telle que p, représentée, sur OY, par un point situé entre 6' et 6»; il y a deux valeurs a, a! de x comprises, Tune entre a el ai, Taulre enlre a^ et a\ qui font acquérir à f{x) la valeur fi; si l'on veut qu'il ne corresponde

PONCTIONS 0 UNB VARIABLE RBKLLE.

qu'une seule valeur de j: à chaque valeur de y appartenant à Fintervalle (A| 6'), et que la correspondance soit continue, il est nécessaire de choisir toujours comme valeur de x correspondant à y compris entre b et //, la valeur comprise entre a et ai, on aura ainsi défini, pour les valeurs de y appartenant à Tintervalle (è, é|), une fonction continue et croissante F (y) qui satisfera à la condition imposée. Toutefois, si Ton veut dire encore que les équations

sont équivalentes, il ne faut plus considérer les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (cr, <?'), mais seulement celles qui appartiennent à l'intervalle (<7, «i), auxquelles correspondent les valeurs àe y qui appartiennent à l'intervalle (6, 6|).

Il est d'ailleurs aisé d'imaginer des traits de courbe tels qu'il soit impossible de définir, dans tout l'intervalle (6, b')^ une fonction continue F(r), inverse de la fonction/(.r) définie dans l'intervalle (a, a ) : tel serait le cas de la figure 48, sur laquelle je crois inutile

Fig. 18.

li a

d'entrer dans plus d'explications. Mais, en fractionnant l'intervalle î a, a') en trois intervalles partiels (a, ai), (ai, a^), (aa, a'), auxquels on fera correspondre les intervalles (6, è|), (b^^ b^)-, (èa, 6'), on pourra définir trois fonctions continues, inverses de /(a:).

Enfin, il importe de se rappeler que le nom de la variable n'importe pas; on dira que F(a?) est la fonction inverse de la fonction /(j;), T. - II. 6

pour dire que si, dans cette dernière fonction, on remplace i par F(;r), le résultat obtenu n'est autre chose que x.

On donnera plus loin divers exemples de fonctions inverses : un premier exemple simple est fourni par la définition de la fonction j* pour m rationnel.

Tout d'abord, lorsque m est un nombre naturel, il est clair que la fonction x^ est continue et croissante dans l'intervalle (o, A), quel que soit le nombre positif A; elle croît d'ailleurs de o à -h oo quand jt croît de o à + 00. L'équation j^ = x"\ où x et y sont seulement assujettis à être positifs, définit aussi bien x comme fonction de^ que > comme fonction de x : elle équivaut à l'équation x = \fy\ la ^'^^'^lion \/y est la fonction inverse de la fonction x"* : elle est définie, continue et croissante dans tout l'intervalle (o, B) où B est un nombre positif; elle est égale à -f- oo pour y = -t-oc.

Comme le produit de deux ou de plusieurs fonctions continues esl une fonction continue, il est clair que, si /? et y sont des nombres

naturels, la fonction {\Jx)p^=- x'f^ qui est le produit de p fonctions égales à ^x^ sera continue dans tout intervalle (o. A) où A est un nombre positif. La fonction

sera une fonction continue dans tout intervalle (^, o!) dont les bo^ne^ sont des nombres positifs; elle est infinie pour x =zo, La continuité de la fonction x"^s pour ni rationnel, est ainsi établie, dans toul intervalle à bornes positives. On verra plus tard que cette continuité subsiste quand m est irrationnel.