Les deux séries

tfl -h Mï -f- ...-+-«*,; -h Up^i -h Up^i -H . . . ,

Up^i -f- Up+i -+- Uf^z -*-...,

dont la seconde s'obtient en prenant les termes de la première à partir de Up^^, sont convergentes ou divergentes en même temps.

Si Ton désigne, en effet, respectivement par Sn et par S,i la somme des n premiers termes dans l'une et dans l'autre série, il est clair que Ton a Sp^n=^n'i-Sp; si la première série est convergente, Sp^n^ lorsque n et, par suite, p -\- n^ augmente indéfiniment, tend vers une limite A; Sn=^Sp^u — Sp tend donc vers la limite A — Sp\ si la seconde série est convergente, et si sa somme est B, S„ tend vers la limite B quand n augmente indéfiniment, Spj^nt dans les mêmes conditions, tend vers la limite B -\- Sp. Si l'une des deux séries est divergente, l'autre ne peut être convergente, puisque, alors, la première serait aussi convergente.

£^n supposant les deux séries convergentes^ on désigne la somme de la seconde série comme le reste de la première série limitée au ternie Up. La somme de la première série est égale à la somme de ses p premiers termes, augmentée du reste correspondant. Autrement dit, le reste d'une série, limitée au yD*«"« terme, est Verreur que l'on commet en substituant à la somme de la série la somme des p premiers termes. Désignons ce reste par R^:, et par A la somme de la première série, on a

A = *;, -H Rpy R,, = A. — s

il est clair que R^:, tend vers la limite o quand p augmente indéfiniment.

Si Ton considère, par exemple, la série

i-^a-{- a'-f-. ..-ha'*-*-.

et que l'on suppose |a| < i, le reste R» de cette série, limitée au terme a" ^ est

Le reste de la série

limitée au terme » est -•

On verra par la suite que, dans un grand nombre de cas, on n a pas, pour évaluer un nombre, d'autre moyen que de considérer une série dont il est la somme. La somme des^t? premiers termes est alors une valeur approchée du nombre cherché. La série sera d'autant plus avantageuse que Terreur commise, ou le reste, sera plus petite. S'il arrive que le reste R^ décroisse très rapidement quand p augmente, la série, dont on dit alors qu'elle est rapidement convergente, sera particulièrement commode.

Bien que l'on sache, par exemple, calculer directement la

somme de la série i H-a4- «*-h. . ., cette série n'en est pa^

moins avantageuse pour le calcul de —— — quand a est très petit ; la somme de ses deux premiers termes fournit une valeur de sa somme qui souvent est très suffisamment approchée; l'erreur est alors

177. Les propositions suivantes sont des conséquences évidentes de la défînition de la somme d'une série et des propositions relati\es aux limites que l'on a signalées au n" 171 : a, b désignent des nombres fixes, indépendants de n.

Si les deux séries

(tt) ai-f- at-K. . .H- «n-H. . .,

sont convergentes et ont pour sommes respectives U et V, les séries

(Ux'^Vi)-+- (Wj-H t^j) -f-. ..^-(Mrt-f- P„) -4-. ..,

(aui-r- bvi) ■+■ (aui-h bv^) -h. . ,-h{,aUn-h bvn) -^-. . .

SÉRIES. l3

sont convergentes et ont pour sommes respectives aU, U-+-V, aU-f-6V;

il est à peine utile de dire que la dernière proposition résulte des deux premières. Des propositions analogues s'appliqueraient à trois, quatre, . . . séries convergentes.

Si une série est convergente, elle reste convergente quand on modifie quelques-uns de ses termes, en nombre fini; la somme de la seconde série est égale à la somme de la première, plus la somme des difl'érences entre les termes modifiés et les termes primitifs.

En supposant toujours les deux séries (u)^ (v) convergentes, si Ton a, quel que soit /i, «//^^«, l'on aura U£V, et l'on aura certainement U < V, si la condition Uf,Sv,t étant toujours vérifiée, il y a quelque valeur de n pour laquelle on a a„<; Vn- La difierence V — U est, en eiTet, la somme de la série

(t'i — Wi) -H (Pi— Mî) -4-. . .-H (P«— M„) -f.. . .,

dont tous les termes sont positifs ou nuls; dans cette série, la somme des n premiers termes est positive ou nulle, elle ne peut avoir une limite négative, quand n augmente indéfiniment : si l'on a, par exemple, Vn> «s? la somme des n premiers termes, quand n est plus ^rand que 3, est au moins égale à P3 — Uz ; elle ne peut, pour n infini, avoir une limite inférieure à v^ — ^3. V — U est certainement positif.

178. 11 est très important de savoir reconnaître si une série donnée

(u) ttlH- MjH-. ..-+-M„H-...

est convergente, ou non : c'est le même problème que celui qui consiste à savoir si la sommet/, des n premiers termes tend, ou non, vers une limite, quand n augmente indéfiniment. On obtient de suite des conditions nécessaires pour la convergence, en supposant que Sn tende vers une limite U quand n augmente indéfiniment.

La formule u,i= s,t — s,l^^ dans laquelle s,t et 5„| finissent, pourvu que n soit assez grand, par être aussi voisins de U que l'on voudra, montre que, dans toute série convergente, le /^'«™« terme a pour limite o quand n augmente indéfiniment.

l4 CHAPITRE XI.

Si celle condilion n'esl pas réalisée, la série esl sûrement divergenle : telle esl, par exemple, la série i-f-2-4-3 + 44-....

Toutefois, celte condition n'est pas suffisante : on verra bienlôl que la série

esl divergente.

On a, plus généralement,

et Ton voit de même que, si la série est convergente, le second membre doit être aussi petit qu'on le veut, pourvu que n soit assez grand.

Si cette condilion n'est pas vérifiée, la série n'est pas convergente. Si, d'ailleurs, on constate, pour une valeur déterminée de /?, que la somme des p termes qui suivent le ai'^*™® tend vers o, on ne peut pas affirmer la convergence de la série.

On a, toutefois, la proposition suivante, qui ne dilTère pas d'une proposition que j'ai signalée, sans la démontrer, pour ce qui concerne les limites.

Si à chaque nombre £ on peut faire correspondre un nombre naturel -j tel que l'on ait |5„j./,— 5«| < e, pour toutes les valeurs naturelles de n supérieures ou égales à u et pour toutes les valeurs naturelles de p^ la série e^t convergente.

Je ne m'appuierai pas sur ce théorème, que le lecteur doit toutefois connaître en raison de son importance.

11 importe encore de remarquer que, lorsqu'il ne s'agit que de la convergence ou de la divergence, on peut, en vertu de la proposition établie au n" 176, faire commencer la série où l'on veut, négliger les premiers termes de la série. Celle remarque est commode quand il v a quelque irrégularité dans ces premiers termes.

Enfin, il est clair qu'on peut sans changer la convergence ou la divergence d'une série, sans même en changer la somme, quknd celle série esl convergente, ajouter ou supprimer autant de termes nuls que l'on veut.

Ces remarques préliminaires faites, je vais m'arréter sur un. cas particulier qui, comme on le verra plus tard, esl d'autant plus important que beaucoup d'autres cas s'y ramènent, le cas où tous les terme>

SÉRIES. l5

de la série sont positifs. La remarque précédente permet de faire rentrer dans ce cas les séries dont les termes sont positifs ou nuls. En écartant les termes nuls, on simplifie un peu le langage.