DÉFINITION DE DIVERSES FONCTIONS

200. Fonctions circulaires inversos. — Le lecteur n'aura aucune peine à construire les courbes qui représentent les fonctions sinJ, cos.r, tang.r, et à retrouver sur ces courbes les définitions des fonctions inverses, que je préfère déduire de 4a définition même de sinJ", cos^, tangx.

rON'CTlONS DUNE VARIABLE HÉELLE. 83

Figurons le cercle trigonomé trique de centre O, de rayon i; soit A

roriglnedesarcs, Ble point dont l'abscisse circulaire estH — » en sorte

que le sens positif, sur la circonférence, est le sens de A vers B; OA et OB sont les directions positives sur les axes des cosinus et des sinus

Lfig' 49)-

Si l'on pose x = sina, on sait que, lorsqu'on se donne le nombre Jc tipparlenant à l'intervalle ( — i, i),ilja une infinité de valeurs aqui vérifient celle équation, à savoir tous les arcs ayant leur origine en A et dont on obtient l'extrémité par la construction suivante : sur l'axe des ^jnus, on marque le point Q tel que l'équivalent algébrique du vecteur OQ soit j; et, par le point Q, on mène à l'axe OA une parallèle qui rencontre le cercle trigonométrique en deux points M, M' : ils sont les extrémités cherchées ; si l'on veut définir a en fonction de a:, au moyen de l'équation x = sina, il est nécessaire de choisir un arc ayant son origine en A et son extrémité en M ou en M' : on lui attribuera d'abord pour extrémité le point M dont l'abscisse est positive, et l'on choisira parmi les arcs qui ont leur origine en A et leur extrémité en M celui qui est le plus petit en valeur absolue : tout ceci revient à dire qu'on choisira pour acelle des solutions de l'équation (en a) x := sina qui appartient à l'intervalle

on la représente par arc sin j? (arc sinus j; ou, plus explicitement, arc Jont le sinus est x). Toutes les solutions de l'équation sont comprises

dans l'une ou l'autre des formules

aArir-i-arc sinar, (2X: -4-1)7: — arcsin^r,

OÙ k est un nombre entier.

La correspondance ainsi définie entre a et a? reliés par l'équation

X = sina

et appartenant, a à l'intervalle ( — -» r ) et j? à rîntervalle ( — i, 1),

apparaît nettement au lecteur, qui doit voir le point M décrire le demi-cercle B' AB, en montant de B' vers B, en même temps que le point Q décrit en montant le diamètre B'B; que arc sinj? soit une fonction continue et croissante de x quand x croît de — i à -h i , c'est ce que ce mouvement rend visible.

Au reste, on n'a fait qu'appliquer la méthode du n" 198 : quand a

croît de — ;^ à -h - » la fonction continue sina croît de — i à -h 1 , en

prenant ainsi toutes les valeurs possibles de — i à + i ; donc, inversement, l'équation x = sina, quand on assujettit a à appartenir à Tin-

tervalle ( * r ) ' définit a comme une fonction continue et croissante de x^ dans l'intervalle ( — 1, i) : c'est cette fonction qu'où représente par le symbole arc sina?.

On a arc sin (sin:c) = tc, pour x compris entre et -, puis

arc sino = o, arc sin - = - > arc sin — = - ,

arc sin — = t* arc sin i = - .

La fonction arc sina: est impaire y c'est-à-dire qu'elle change de signe sans changer de valeur absolue quand on y remplace x par — z.

Lorsque a croît de o à tc, cosa décroît de i à — i et prend toutes les valeurs possibles de i à — i; pour définir a comme fonction de x dans rintervalle ( — i, i), on choisira la valeur a, comprise entre 0 et Tz qui satisfait à l'équation (en a) x = cosa; cette racine se représente par arc cosar (arccosinusx ou arc dont le cosinus est x), La fonction arccosar est définie et continue pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle ( — 1,1); elle décroît de tt à o, quand x croît

FONCTIONS D'UNB VARIABLE RÉELLE. 85

de — I à i; on a arccos(cos^) = j:, pour a: compris entre o et tz. Je laisse au lecteur le soin d'établir les égalités

arc cosa: ■+■ arc cos (— a?) = it,

arc SI n a* -H arc cos J? —7"

Le lecteur doit avoir sous les yeux la construction géométrique de

arccos:r, comme celle de arcsin^. Il me paraît inutile d'y insister.

Toutes les solutions de l'équation (en a) j7=cosa sont comprises

dans la formule

ikit^ arc cosa",

où k est un nombre entier.

Lorsque l'extrémité M de l'arc a, compris entre et-> décrit

en montant le demi-cercle B'AB, on voit le point T extrémité du vecteur AT, dont l'équivalent algébrique est tang a;, décrire l'axe des tangentes de — 00 à +00; la correspondance entre les valeurs de x et de a liées par la relation x = tanga, apparaît nettement quand

on assujettit x à être compris entre et -; la valeur de a qui correspond ainsi à j? se représente par le symbole arc tang x( arc tangente X ou arc dont la tangente est x) : la fonction arc tangue est définie et continue pour toutes les valeurs de x; elle croît de à H —

quand x croît de — 00 à -i- 00. Toutes les solutions de l'équation (en a) ^ = tanga sont données par la formule kTz-\- arc tangJ7. La fonction arc tang x est impaire ; on a

arc tango = 0, arc tang --= = - » arciangi=-, arctang/3 = '*

Le choix que l'on a fait pour définir les fonctions arc sinx, arc cos j?, arc tangâ? est, dans une certaine mesure, arbitraire. On pourrait par exemple ajouter tt à arc tang^ ; on aurait encore une fonction continue. On s'est laissé guider par des raisons de simplicité évidentes, et l'on a voulu en particulier que les fonctions continues arc sin j?, arc tangx s'annulassent pour â7 = o. Cette condition et la condition de continuité fixent les définitions, comme il est aisé de le voir.

Il paraîtrait peut-être naturel au lecteur de définir la fonction arc tang^r comme devant être comprise entre o et u; il reconnaîtra

sans peine que cette définition est inacceptable : pour x un peu plu* petit que o, la fonction ainsi définie serait un peu plus petite que t:; pour X un peu plus grand que o, elle serait un peu plus grande que o ; la discontinuité est évidente; pour ^ = o, enfin, il y aurait deux valeurs possibles, o ou tc, la fonction ne serait même pas définie. Le lecteur pourra consti^ire la courbe qui représenterait la fonction dont on vient de parler, et se rendre compte, sur sa forme, de la discontinuité et de l'ambiguïté pour :r = o. La discontinuité pour ^ = o de

la fonction arctang-, assujettie, bien entendu, à être comprise

entre et -> est aisée à reconnaître ; pour x négatif voisin de o, la

fonction est voisine de ; pour x positif voisin de o, elle est voisine de H — ; pour jc = o, elle n'a pas de sens. Je laisse au lecteur le

soin d'établir la relation