TC

arc tang j; -+- arc lang — = di — ,

OÙ il faut prendre le signe H- ou le signe — suivant que x est positif ou négatif.

Les fonctions arc sinj:, arc cos J7, arc tangj;, quand on se donne x^ se calculent aisément au moyen des tables trlgonométrlques. Pour arc SI n^, par exemple, on cherche le logarithme de|x|, puis Tare corresoondant, dans la table, que l'on trouvera exprimé en grades et en fractions décimales de grade; le résultat devra être multiplié (')

par — j et affecté du signe -4- ou — suivant que x est positif ou

négatif.

On aura à utiliser ultérieurement une correspondance entre x et v qui définit aussi bien j* comme fonction de j: ou o: comme fonction de^, et que l'on peut caractériser comme il suit :

Deux valeurs correspondantes de x et de v doivent vérifier Téqui-

tion

tang^ = n tangj<,

où n est un nombre positif donné; lorsque x est un multiple entier

(*) La plupart des tables de logarithmes contiennent des tables de muliipleàde -» qui rendent la multiplication facile.

FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE

de-> y lui esl égal. Les extrémités des arcs x et y^ dont l'origine est en A, tombent toujours dans le même quadrant; la différence entre les arcs y ei x est toujours moindre en valeur absolue que •;-•

Il est très aisé de suivre sur la figure la variation de y avec celle de X. Si l'extrémité de l'arc x est en M, la perspective du point M sur

Fig. 5o.

l'axe des tangentes est en T; l'équivalent algébrique du vecteur AT est tang x ; du pointT, on déduit le point T' tel que l'on ait Al''= n AT ; n étant positif, les points T et T' sont du même côté de A. On mène le diamètre qui passe par T'; on choisit l'extrémité M' de ce diamètre qui se trouve dans le même quadrant que le point M et l'on choisit, pour l'arc y, celui des arcs ayant M' pour extrémité qui diffère de x d'une quantité moindre que -•

Lorsque x est égal à o, les points M, T, T\ M' sont en A.^y = o; quand x croît, les points M et M' se séparent; il est clair que y croît avec X, et croît de o à - quand x croît de o à ~; quand M est en B, il en est de même de M'; les points T, T' sont à Tinlini; quand x est un peu plus grand que-, M est un peu au delà de B. Les points T,T' sont très loin, en bas, sur l'axe des tangentes, le point M' est voisin de B et de M^y est un peu plus grand que-; quand .rcrpît de -à7î,

y croît aussi de - à tï; pour ;r := tt, les points M, M' sont confondus en A', les points Tj T' en A; le lecteur continuera de lui-même cette

88 CHAPITRK XII.

description; il Tétendra sans peine aux valeurs négatives de x et reconnaîtra que, lorsque x croît de — oc à -+- oc, la fonction j de j ainsi définie est continue et croissante, elle croît aussi de — oc à -h x. Il pourra aussi construire, en coordonnées rectangulaires, la courbe qui la figure.

Je représenterai cette fonction par Arc tang(/i tangx); c'est cerlainement un des arcs dont la tangente est n tangx, mais ce n^est pas

celui ( compris entre et -h - 1 que Ton a défini comme étant

arc tang(/i tang.r), c'est pourquoi j'ai employé un autre symbole. La fonction Arc tang(n tangx) est impaire. L'une des deux égalités

y = Arc tang(/i tang^r), x = Arc tang ( — tang^ j

entraîne l'autre.

Si X et a^ sont deux arcs qui difl'èrent d'un multiple de tî, en sorte que leurs tangentes soient égales, les deux quantités Arc tang(/i tang.ri ■et Arctang(/i tangj;') ne pourront diflerer que d'un multiple de-, puisque leurs tangentes, à savoir tang(n langx) et tang (/i tang J' sont égales. On a, quel que soit le nombre entier A*,

Arc tang[n tang(X"'it-i-a7)] = kiz -h Arc tang(/i tang;r) :

en effet la différence Arc tang[/i tang(/r7î -f- x)\ — Arc tang(/i tangj) est une fonction continue de .r; cette différence, d'autre part, est un multiple de tt, qui ne peut varier que brusquement d'un multiple de t:; «elle est donc constante : or, pour x égal à o, elle est égale à kr^.

Les deux expressions Arc tang n tang ( x j et

r /^ M / '^ \ . "^ /langxX

arc taniî n taiiff [ x \ \ = arc tan<î( 1= =i= arc tangf ^—

''l *'\'A /J "\laMg.r/ -2 ^\ n j

ne peuvent différer que d'un multiple de ir; il en résulte que la fonction continue

Arc lang nlangf - — x\ -+- Arc tang ( ^ \

est un multiple impair de -; elle est donc constante et égale à la

FONCTIONS D*UNE VARIABLE RÉELLE. 89

valeur - qu'elle prend pour x= o. On conclut de là, en changeant x en — X, l'égalité

Arc lang n tang ( — -h a?) — Arc tang ( — ) =

201. Fonction exponentielle. Logarithmes. — Rappelons brièvement la définition de a^ où a est un nombre positif, que je supposerai plus grand que i.

Lorsque x est un nombre naturel, a^ est le produit de x facteurs égaux à a; en étendant un peu le sens du mol fonction (*), on peut dire que a-' est une fonction dex définie dans l'ensemble des nombres naturels.

Les formules

où /> et q désignent deux nombres naturels, et a un nombre rationnel quelconque, fournissent ensuite la signification de a^ quand x est un nombre rationnel quelconque; à ce moment, il est permis de dire que a^ est une fonction définie dans l'ensemble des nombres rationnels.

Enfin quand x est un nombre irrationnel, a^ est défini au moyen d'une coupure (n"* 25, 26). Dès lors a* est une fonction de x définie dans tout intervalle; c'est la fonction exponentielle.

Cette fonction, positive pour toute valeur de x^ est continue dans tout intervalle; on a en eff^et montré à la fin du n** 25 que la diff*érence a» — a"^' est plus petite en valeur absolue que le nombre positif e, pourvu que a, a' soient plus petits en valeur absolue qu'un nombre positif fixe r et que la différence a — a' soit moindre, en valeur absolue, qu'un nombre positif e' qu'on a appris à calculer, au moyen de e, et Ton a fait observer, à la fin du n° 26, que ce résultat subsistait quand même a, a' étaient irrationnels; on a observé aussi que l'inégalité a'> a entraînait a*'> a"; cela revient à dire que la fonction a^ est croissante.

Si a= T était un nombre positif plus petit que i, on aurait a-^= r^» :-) /ntr,, n- 148.

b étant plus grand que i ; j- est une fonction continue de x, puisque ^'^

est une fonction continue, toujours posilive ; a^ serait encore une fonction continue; on voit de suite qu'elle est décroissante. Après cette remarque, je continue de supposer a > i. La fonction a^ jouit de la propriété fondamentale qu'exprime l'égalité

On a encore

Cette égalité, il est vrai, n'a été établie que pour les valeurs rationnelles de x^ x' ; mais, une fois la notion de la continuité acquise, son extension est immédiate. Posons, en effet, a^=: u, et regardons pour un instant x' comme un nombre rationnel fixe ; le premier membre de l'égalité à démontrer est a^. C'est, comme on a vu (n" 199), une fonction continue de m, pourvu que cette variable soit positive; or cette variable est essentiellement positive, puisqu'elle représente a^. A une petite variation de u correspond une petite variation de u^ : or, en vertu de la continuité de a^, à une petite variation de x correspond une petite variation de m, donc de u^] d'un autre côté, à une petite variation de x correspond une petite variation du produit jrx', de l'exposant de a^-^, et par conséquent de a^^'; si donc x' est un nombre rationnel fixe, les deux membres de l'égalité à démontrer sont des fonctions continues de x. Or ils sont égaux pour toutes Its valeurs rationnelles de x^ ils sont donc toujours égaux, puisque, pour une valeur irrationnelle de x, ils diffèrent, l'un et l'autre, aussi peu qu'on le veut de nombres que l'on sait être égaux. On a donc u^'z=ia^^ pour n'importe quelle valeur rationnelle de x'. Si maintenant on laisse fixe le nombre x et par conséquent aussi le nombre positif u, on voit de suite que les deux fonctions (de x') «*', et a^^' sont desfonclion> continues de x'; elles sont égales pour toutes les valeurs rationnelles dea;\ elles sont toujours égales.

La fonction a^, toujours positive, continue dans tout intervalle, croît de 1 à -+- oc quand x croît de o à -h oo. Sa variation, pour x négatif, résulte de la formule

a-=-!-; la fonction a^ tend vers o quand x tend vers — oo; on peut dire qu'elle

FONCTIONS D UNK VARIABLE REELLE

croît de o à I quand x croît de — oc à o ; la fonction y = n^ est ainsi représentée par la courbe de la figure 5i ; cette courbe est asymptote

à Taxe des x du côté des x négatifs, coupe l'axe des y au point dont l'ordonnée est i, et monte continuellement vers la droite.

â02. La courbe ainsi tracée, ou l'équation y = a^, définit aussi bien x comme fonction de j^, pourvu que j' soit positif, que y comme fonction de x\ la fonction de y ainsi définie, la fonction inverse de rt', s'appelle le logarithme de y dans la base a, et se désigne par loj;^^. D'après cela, log^^ n'est défini que pour les valeurs positives de I'; la fonction (dey) log^j' est continue et croissante dans tout intervalle dont les bornes sont positives; elle est négative quand j^ est plu"^ petit que i, nulle pour y = i , positive pour y > i ; elle croît de — oc à o quand y croît de o à i , de o à -h oc quand j^ croît de i à -h oc.

Le lecteur n'a qu'à échanger les lettres y ei x pour avoir la définition et les propriétés de la fonction loga.r, définie comme étant l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever le nombre positif a pour avoir x^ ou, si l'on veut, par l'équation identique

l^ot^X —

CHAPITBE XII.

La courbe définie par Téquation^ = loga^ ou par réquation équivalente x=.aJ n'est autre que la courbe qui serait définie par Téquation y = a', si l'on remplaçait Taie des x par l'axe des ^ et l'axe des v par l'axe des x^ ou, si l'on veut conser>'er les axes dans la position habituelle, que la courbe symétrique de la courbe définie par Téquationj^ = a^, par rapport à la bissectrice de l'angle des coordonnées positives; la courbe qui représente la fonction log^j: a été figurée à part {Jig. Sa). Elle coupe l'axe des r au point d'abscisse i; en

d'autres termes, quel que soit a, le logarithme de i est toujours o. A la propriété fondamentale de la fonction exponentielle

correspond la propriété des logarithmes, qu'indique l'égalité

loga(^ar') = loga.r-h logaa?',

OÙ x^ x' sont des nombres positifs quelconques : si en effet j^ ety sont respectivement les logarithmes des nombres x^ x' on a

X = ar, x' = ay\ XX = ay,ay' = ay-^y\

et la dernière égalité indique bien que le logarithme de xx' e?l la somme j' -^y' des logarithmes de x et de x' . De là, ou de l'égalilé

ay

--- = ay-y' ay

FONCTIONS D*UNB VARIABLE RÉELLE. gS

résulte l'égalité

!<>&« V =Ioga^ — logaa/.

Eafin on a, quel que soit le nombre positif 6, et quel que soit le

nombre x^

loga6-' = a7loga6;

en effet, si l'on désigne par x* le logarithme du nombre positif 6, en sorte que l'on ait

a*' = 6, on aura

et celte égalité montre que x' x ou ;r log^èest le logarithme de b^,

î203. A chaque nombre positif a correspond un système de logarithmes dont a s'appelle la base] c'est le nombre qui, dans ce système, a pour logarithme l'unité.

Deux cas sont particulièrement à considérer : celui où a est égal à lo, celui où a est égal au nombre e défini au n" 192. Dans le premier cas, les logarithmes sont dits vulgaires; dans le second cas, ils sont dits naturels^ hyperboliques ou népériens.

Le logarithme vulgaire d'un nombre positif x est ainsi défini comme un nombre j^ tel que l'on ait io>'= :r.

Le lecteur est familier avec l'usage de ces logarithmes vulgaires; il connaît les avantages pratiques du choix de la base lo. Si x est un nombre de la forme lo", n étant un nombre entier, positif ou négatif, son logarithme sera n; si x est compris entre lo" et lo""*"*, son logarithme sera compris entre /i et /i -+- 1 ; la partie entière de ce logarithme sera /i, la mantisse ou partie décimale du logarithme étant toujours supposée positive. Si x est un nombre plus grand que i , compris entre lo" et lo"**"', c'est que la partie entière de x a n -t- I chiffres; la partie entière (ou caractéristique) du logarithme \ulgaire d'un nombre x plus grand que i, est le nombre de chiffres, diminué d'une unité, de la partie entière de x. Si x est un nombre positif plus petit que i, compris entre lo"'^ et lo"*""*"', et si on l'écrit bOus la forme décimale, on voit que le premier chiffre significatif

sera précédé de m zéros, en comptant le zéro qui précède la vJrçule : le logarithme vulgaire d'un nombre positif A, plus petit que i , écrit sous forme décimale, a une partie entière (ou caractéristique) négati\e; la valeur absolue de celte partie entière est égale au nombre de zéros (y compris celui qui précède la virgule) qui, dans la représentation décimale de A, précèdent le premier chiffre significatif- Les caractéristiques, toujours aisées à trou>er, ne sont pas inscrites dans les Tables; les mantisses seules sont inscrites pour les nombres de 1 à looo, loooo, looooo, etc. (') suivant l'étendue des Tables : elles comportent les quatre, cinq, six ou sept premières déciiiialcN du logarithme de ces nombres, la dernière décimale étanl forcée s'il y a lieu. La mantisse du logarithme d'un nombre A convient à tous les nombres de la forme A lo", n étant un entier positif ou négatif.

On obtient des résultats plus approchés avec des Tables plus élendues et comportant plus de décimales, mais aussi les calculs sonl beaucoup plus longs.

Le nombre lo* dont le logarithme vulgaire esta: s'appelle quelquefois VanUlo^arithine du nombre x; l'usage des tables d'antilogarithmes, pour revenir aux nombres, est fort commode. Toutefois les tables d'anlilogaritlimos un peu étendues sont peu répandues; le lecteur s'est sans doute servi de Tables à quatre décimales.

Il y en a dans les excellents petits Traités d^ Algèbre de M. E. Borel (*'*), dans le Recueil de Formules et de Tables numériques de J. Houël, dans les Tables à cinq décimales du même auteur, dans les Nouvelles Tables de logarithmes à cinq et à quatrtf de^cîmaies du Service Géographique de l'armée ('). Elles fournissent la

partie entière des nombres de la forme lo *"^, /* allant de o à looo. Si les logarithmes vulgaires ont une utilité pratique considérable, les logarithmes naturels^ à base e, se présentent en quelque sorte d'eux-mêmes dans la théorie, ainsi qu'on le verra plus tard : le logarithme naturel de x^ le nombre y tel que l'on ait «/= jc, sera repré-

(') Pour des raisons pratiques diverses, en particulier à cause de rincertituile dt^> résultats de Tinterpolation au commencement de la Table, celle-ci est souvent prt» ionsée jusqu'à 2000, 12000, laoooo.

(-) Paris, A. Colin.

(«) Paris, Gauthier-Villars.

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 96

sente, afin d'éviler toute confusion ('), par le symbole (Ig^ et non log^.r).

On passe d'un système de logarithmes à un autre en multipliant tous les logarithmes par un même nombre.

Si, en effet, on désigne par j^ le logarithme de x dans la base <7, on aura, par définition,

ay= a?,

et, en prenant les logarithmes naturels des deux membres,

si donc on a le logarithme naturel de or, on obtiendra le logarithme de X dans la base a, en multipliant le logarithme naturel par le

nombre M = .-^^. auquel on donne quelquefois le nom de module.

Ce nombre M est d'ailleurs aussi égal à log^e, comme on le voit en faisant x ^= e dans l'égalité précédente. Inversement, on passe du logarithme d'un nombre, dans la base a, au logarithme naturel en le

multipliant^par g- Pour les logarithmes vulgaires (a= lo), on a

log nat = -jTi X log vulg, log vulg = M log nat.

Pour passer d'un système à l'autre, il est commode de se servir de tables de multiples de M et de t. •

204. Fonctions hyperboliques. — Nous sommes maintenant en possession des fonctions élémentaires les plus simples. Ces fonctions, on peut les combiner d'une infinité de façons; parmi les combinaisons les plus simples, il convient de s'arrêter un instant sur les fonctions hyperboliques shx, ch^c, thj; (sinus hyperbolique.

( ^ ) La confusion n'est guère à craindre, puisque, dans les raisonnemenls théoriques, cVsi toujours de logarithmes naturels quUl est question. Aussi, dans beaucoup d'ouvrages théoriques, on emploie la notaiion \o%x pour désigner les logarithmes naturels; quelques auteurs emploient la notniion L(j7). Bien entendu, quand on en \ ient à effectuer les calculs, il Taut éviter la confusion.

96 ciiAPiTnB XII.

cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique) définies par les formules

(i) shx = 9 cha7= ; » thar =

ch J7 e'-^ e-'

ou, en posant e^= t

(2) shir= -— , char = — -— , tha? = -;

Les fonctions e* et e~^= — étant toujours continues et ne s'annu-

lant jamais, il est clair que les trois fonctions sho;, cho:, thx sont continues pour toutes les valeurs de x.

En changeant x en — x dans les formules (1) on voit de suite que shj? et thx sont des fonctions impaires, que char est une fonctioa paire; en d'autres termes, on a, quel que soit a?,

(3) sh(— x) = — sha:, chxi — a:)= char, lh( — a?)= — thx;

t =ze^ est toujours positif; il en est de même de ch j? ; sh x et thx sont du même signe que i^ — i ou que t — i , puisque t -\- i est positif; or t — i = e^ — I s'annule pour .r = o, est positif pour x positif, négatif pour x négatif; sh:r et th j; sont du même signe que x.

Des deux premières formules (i), on tire, par addition et soustraction,

(4) e-^= cha- -H shar, c~*=cha7 — sha*,

d'où, en multipliant membre à membre,

(5) ch*ar — shar = 1,

en résolvant cette équation et Féquation thjc == -r— par rapport à ch^, shx, on trouve

ch'ar =

I — th'a:

Il résulte de cette formule que thx est toujours plus petit que i en valeur absolue, ce qui, du reste, résulte aussi de la troisième for-

FONCTION^ D*UNE VARIABLE RÉELLE. 97

mule (2) : chx étant toujours positif, on a

en adoptant la signification arithmétique du radical; on a ensuite, à cause de sh:c = cho: thx,

(6} sha? =

/i— th'ar

Des formules (4) on tire en remplaçant x par a -+- 6

ga+A-, ch(a + 6)-t-sh(a-t-6), e-a-*== ch(a-4- 6) — sh(a-h 6);

on a d'ailleurs

et, par suite, toujours à cause des formules (4),

««+6= (<:h« -h sha)(ch6 -h shô), g-a-6 =(cha — sha)(chô — shô);

d'où, en égalant les deux expressions trouvées pour e'*'^^ et les deux expressions trouvées pour e^**"*,

ch(a-4- 6)-H sh(a-t-6) = (cha-H sha)(cha-H sh6), ch(a-\- b)—sh(a-^ b) = {cha — sha)(ch6 — shb);

et finalement, en ajoutant ou en retranchant et divisant par 2, ch(a -h b)=. chachb -+- shasli^,

^ sh{a -h b)= shachb -^ shbcha; on a d'ailleurs

sh(a-H6) sha chô -H sh6 cha iha-hlhb

<S) th(a-hb) =

ch(a-i-6) chach6 -r- sha sh6 i-+-thath6

Je me dispense d'écrire les formules qui se déduisent de celles-là en changeant 6 en — 6.

Le lecteur ne peut pas ne pas être frappé de l'analogie qu'il y a entre toutes ces formules et celles de la trigonométrie relatives aux fonctions cosx, sinx, tang^ : je laisse de côté les conséquences qu'on pourrait en déduire, les expressions de ch2«, sh2a, th2aenfonc- T. - II. 7

g8 CHAPITRK XII.

tion de cha, sha, iha, le calcul au moyen de ces mêmes quanlités de

ch-> sh- >th-, etc., pour m'arrêter un instant sur la façon dont

varient shj7, ch^, tha:, fonctions dont on connaît déjà le signe: à cause des formules (3), il suffit évidemment de considérer les valeurî^ positives de x. Quand x croît de o à -f-oc, e-** croît de i à -|-x.

— e~-^= ^ croît de — i à o; shj7, somme de deux fonction>

croissantes, croît de o à -|-oc ; quand x croît de — oc à o : sh^ croîl de — 00 à o, la fonction ûix est toujours croissante.

Quand x croît de o à -h oo, ûiX et sh^o; croissent de o à -|-x. ch jr = sjx -r sM^ croît de i à -h oo; quand x croît de — oo à o, chj décroît de -h oo à i; chj: est toujours plus grand que i, sauf pour :r = o.

On a enfin