I IL
quand x croît de o à + oo, / =: <?^ croît de i à + oo, /* -|- i croît de >. , à -1-00, th^ croît de o à i, valeur limite qu'il n'atteint pas; quand r ! croîl d# — 00 à o, xkix croîl de — i à o. I
Les renseignements qui précèdent suffisent à se rendre compte Av la forme des courbes qui figurent les trois fonctioas shx, chx, thr.
FONCTIONS D UNE VARIABLE HKRI.LE
courbes dont les équations sont ^ = sh.r, y = chx, y = ûïx, La seconde de ces courbes porte le nom de chaîne tle (' ); elle est symé-
Fig. 54.
[•ig. 55.
Iriqiie par rapport à l'axe OY. La première et la troisième sont symétriques par rapport à l'origine. La dernière est comprise entre les (Jeux parallèles à l'axe des x situées à une distance égale à 1 de cet axe: elle est asymptote à ces deux parallèles.
Ces courbes, ou plutôt, celles qu'on obtient en échangeant les axes, ou en faisant tourner les figures autour de la bissectrice de l'angle des coordonnées positives, et qui auraient pour équations
X = shj', X = eh y^
thj^,
définissent les fonctions inverses des fonctions sh.r, dix, thj7, fonctions inverses que quelquesauteursdésignent par les notations argslij?, artj' chx, argthx ; on reconnaît de suite que Téquation (en y) x = shy définit^ en fonction de x sans ambiguïté, quel que soit J7; que l'équation (en y) a; = ch^ a deux solutions symétriques si x est plus grand que i, elles se réduisent à o pour x = i ; de ces deux solutions on choisira la positive; enfin l'équation a: -= thy définit^ en fonction de X sans ambiguïté, pour x compris entre — i et i . Dans les inter- >alles où ces fonctions sont définies, elles varient toutes dans le même sens que x. Elles sont d'ailleurs les logarithmes de fonctions simples
(' ) La tangente au point d'abscisse nulle a une penie égale à i pour la première et U iroiaiéine courbe; elle est liorizonlalc pour la seconde; ces résullals, qui n'intervieuneot pas immédiate aient, deviendront évidents dans le Chapitre suivant.
lOO CHAPITRE XII.
de vT, à savoir
arg slij* = lg(x-4- V I -^ -» *)i
argtha: = Igl/'
où les radicaux ont la signification arithmétique. C'est ce que le lecteur reconnaîtra sans peine en se reportant aux équations (2), d'où il est aisé de tirer / = e-^ en l'onction, soit de sliJ?, soit de chjr, soii dethx; à chaque fois, le choix de la racine qu'on doit adopter e^l aisé ; x s'exprime ainsi comme le logarithme naturel d'une fonction de sha:, de chjr, ou de thj?. Les formules auxquelles on parvient aiD>i équivalent, sauf le nom des variables, à celles qu'on vient d'écrire. L'introduction des écritures argshx, etc. n'a rien d'indispensable.
Si l'on pose sin^ = thj^, cette équation, considérée comme une
équation en y y admet toujours une solution comprise entre — - vl
-t- -, puisque thj7 est compris entre — 1 et -f-i; c'est, pour
employer les notations antérieures, arc sin(th x); on aura aloii.
cosj' = y/'i — th-a7=-j — ; le radical doit être pris avec le sens
arithmétique, puisque cos^ est essentiellement positif; on a alors
tangr rirr -î— s^ =: sh^T. Lcs trois équations
(10) sin)'=lh.r, cos^ = -^r— , iang^=shj-,
quand on assujettit j^ à être compris entre et H — t sont équivalentes; elles définissent une même fonction j^ de j", que le lecteur pourra s'exercer à représenter pur une courbe. Quelques auteurs désignent cette fonction par la notation Amha? (amplitude hyperbolique de x). Quoi qu'il en soit, les formules (10) permettent de réunir en une seule des tables donnant à la fois les valeurs (naturelles) de sin v. cos^, tangj" et celles de shjr, chx, thx(').
(') Voir J. HoÛEL, Becueil de formules et de labiés numériques.
PONCTIONS d'L'XK VARIABLK RÉELLE. fOI
205. Fonctions de fonction. — Parmi les moyens de combiner les fonctions connues, l'un des plus importants consiste à composer des fonctions de fonction.
Supposons que/(x) soit une fonction de x définie dans l'intervalle {a, b) et que les valeurs qu'elle prend, quand x varie de a à è, restent comprises entre les deux nombres A, B-, soit maintenant cp (y) une fonction de^ qui est définie pour les valeurs àc y appartenant à l'intervalle (A, B) ou à un intervalle qui comprenne celui-là. Si l'on regarde ^ comme égal à/(x), y (y) ou f [A^)J sera une fonction (de fonction) de x\ elle sera évidemment définie pour les valeurs de x a;)partenant à l'intervalle (ûf, A), puisque, à chaque valeur de x^ correspond une valeur de^', puis une valeur de o{y). On peut d'ailleurs continuer : si les valeurs de o( v) restent comprises dans un intervalle où la fon'!lion (de z) '}(::) est difinis, on peut regarder i({z) comme une fonction de fonction de )', comme une fonction de fonction de fonction de x^ etc.
Il y a là une notion générale, très importante, dont le lecteur s'est déjà servi maintes et m:iintes fois. La fonction sin^a? n'est autre chose q le la fonction ^=* o\\y est remplacé par sina^, la fonction \J \ -f-sin^j? est la fonction yfz^ où l'on a remplacé z par i +.X-, et y par sinj:. «'f-^ peut être regardé comme la fonction (de j^) ey où l'on a remplacé y par logx; é^ n'est d'ailleurs autre chose que x (supposé positif).
En me bornant à une fonction de fonction, je veux faire quelques remarques simples ; si la fonction /(x) est continue dans l'inlervalle (^, b) et si la fonction o{y) est continue dans l'intervalle (A, B) auquel on suppose que toutes les valeurs Ae f{x) appartiennent, il est clair que ^(j^')= f [/(^)], regardé comme une fonction de x^ est une fonction continue dans l'intervalle (a, 6); car une petite variation de X n'entraîne qu'une petite variation de^:=/(^), laquelle n'entraîne qu'une petite variation de cp(x). On a déjà employé ce raisonnement au n'» 201.
Si les deux fonctions /(.r) et 'f (y), regardées comme des fonctions de X etdej^, sont toutes deux croissantes, l'une dans l'intervalle (a, 6), l'autre dans l'intervalle (A, B), la fonction 'f (y) ='f [/(^)]» regardée comme une fonction de x, sera manifestement croissante dans l'intervalle («, 6). Le lecteur reconnaîtra qu'elle sera encore croissante, si les deux fonctions .f{x) et ^{y) sont décroissantes, l'une dans l'intervalle (a, 6), l'autre dans l'intervalle (A, B). Elle sera dé-
fO-2 CIIXPITRK XII.
croissanle si les deux fonctions /(.r), o(j') varient en sens contraire quand x el y augmentent respectivement dans les intervalles {a. (n et (A, B).
D'après cela, si l'on connaît le mode de variation des fonctions/(:r>. <f{y) quand.?: et l'augmentent, on connaît, par cela même, le sens île la variation de la fonction de fonction »[/(^)]. On sait par exemple comment varient les fonctions
on peut en déduire la façon dont varie le polynôme
A(aa7"-4-6iF-Hc)*-h H(ax^-hbx-hc)-i-C.
En supposant a positif, on sait (\ue y = ax'^ -^ bx -^ c diminue de -f-oo à — ~ » puis augmente de cette quantité à -h» quand t augmente de — oo à > puis de à +00; il reste à voir
comment Xy'^-+- Ry -f- C varie quand j^ varie de -t-oo à — 1 ce
qui est aisé. Je ne m'y arrêterai pas.
On sait comment - varie avec x^ comment e^ varie avec j^; on sali donc comment varie e'; les deux fonctions -1 e^ sont, la première
toujours décroissante, la seconde toujours croissante; la fonction e' est décroissante dans tout intervalle où elle est continue; elle n'est
d'ailleurs discontinue que pour la valeur ^ := o, qu'il faudra examiner
de près. Pour x = — oo, - est nul, e'" est égal à i : plus exactement.
quand x tend vers — 00, e' tend vers la limite i, qu'il n'atteint pas;
quand x croît, en restant négatif, e^ décroît et prend ainsi des valeurs plus petites que 1 ; quand x tend vers o par valeurs négatives,
- tend vers — 00, e' tend vers la limite o; dès que x dépasse la va-
leuro, -est positif et très grand, e*' est très grand; on dit que ér''
passe brusquement de o à -+-00; puis il décroît constamment en s'ap-
FONCTIONS D*UNB VAHIABLE RÉELLE. Io3
prochant de la limite i , quand x tend vers -h^o; la courbe qui représente la fonction a donc la forme ci-dessous
La branche de gauche est tangente à l'axe des x^ à l'origine des coordonnées, ainsi que le lecteur l'établira sans peine à Taide de théories qui seront développées ultérieurement. Il observera que, à proprement parler, la courbe n'atteint pas cette origine des coordonnées; elle s'en rapproche indéfiniment; mais il est naturel de regarder ce point comme lui appartenant et, en tous cas, la distinction n'est pas possible à faire sur la figure.
On peut multiplier les exemples à l'infini, et construire, au moyen des fonctions connues, des fonctions plus compliquées dont la variation sera aisée à suivre; mais si, dans quelques cas, on aperçoit, sur la fonction donnée, le moyen de profiter des remarques que l'on vient de faire, elles ne constituent pas une méthode générale qui permette de reconnaître le sens de la variation d'une fonction : elles ne s'appliquent pas, par exemple, à la fonction x -\ — > somme de deux fonctions dont l'une croît et l'autre décroît. Une méthode générale sera développée dans le Chapitre suivant.
206. La fonctionne'" où m est un nombre quelconque est définie pour toutes les valeurs positives de x. Son logarithme est m\%x^ on |peut donc l'écrire e'w'K^^; la fonction m\^x est continue dans tout intervalle dont les bornes sont des nombres positifs, croissante si m est positif, décroissante si m est négatif : il en sera de même de la fonction x^^ qui, lorsque x croît de o à -|- oo, croît elle-même de o à -|-oo, ou décroît de -1-00 à o, suivant que m est positif ou négatif. On la représentera aisément par une courbe.
Je laisse au lecteur le soin d'établir la propriété qu'exprime Tégalité x'^x''^^=^{xxY^,
Il importe de compléter le résultat établi au n'' 192 : on y a montré
que l'expression (\-\ — \ avait pour limite le nombre e quand n
croissait indéfiniment par valeurs naturelles; je vais montrer que la
fonction f i -+- - j > lorsque x augmente indéfiniment en valeur absolue,
sans que ses valeurs soient assujetties à être entières, tend vers la limite e, que x croisse par valeurs positives, ou qu'il soit négatif.
Examinons le premier cas et observons d'abord que, si a,'P, a', 3' sont des nombres positifs, les inégalités
entraînent
On a, en effet,
Qt'^' > a■^ a'P > aP,
la première inégalité résultant de ce que la fonction a^ est croissanle, quand a est plus grand que i, la seconde inégalité de ce que la fonction x^ est croissante quand m est positif.
Revenons à l'expression ( i + - j et désignons par n la partie entière du nombre positif x^ on a
n~ X n-^\ et, par suite,
(■*r'>(-î)'>(-»-TTr-
Lorsque x augmente indéfiniment par valeurs positives, n augmente indéfiniment par valeurs naturelles î ( ' -f- - ) est compris entre les deux quantités
et
PONCTIONS D*UNE VARIABLE nÉELLE. loS
variables avec /î, et qui ont toutes deux pour limite le nombre e,
puisque le facteur i +*— pour la première, le dénominateur i H
pour la seconde ont pour limite i quand n augmente Indéfiniment : ( I H — \ tend donc vers la limite e, quand x tend vers H-oo. Supposons miiiitenant que J7 = — x' soit négatif : la fonction
est définie pour les valeurs de x' plus grandes que i , qui rendent positive l'expression i : on a d'ailleurs
lorsque x tend vers — 00, x' et x' — i tendent vers -l-oo, le numérateur de la fraction précédente tend vers c, le dénominateur vers i ; la proposition est démontrée.
Il revient au même, en changeant jc en -> de dire que la fonction
(iH-a?/'
a pour limite e quand x tend vers o par valeurs positives ou négatives, ou encore que cette fonction, quand on lui attribue la valeur e pour JT = o, est continue pour x = o. Son logarithme est
et doit avoir, quand x tend vers o, une limite égale à lg<?, c'est-à-dire
à i. Ainsi la fonction -2 g pour limite l'unité quand x tend
vers o; si, pour a? = o, on lui attribue la valeur i, elle est continue
pour cette valeur; elle est alors continue dans tout intervalle dont la
borne inférieure est plus grande que — i; il en est de même de la
fonction (i -f-ar)', quand on lui attribue la valeur e pour x =.0, Considérons encore l'expression — ^^— où a est un nombre positi
donné ; lorsque x tend vers o, le numérateur tend vers a® — i = o; posons a^= i-h^, en désignant par z un nombre qui tend ^'ers o
«quand x tend vers o ; on aura ^ = ^''û, —
lg(l-t-3)
ig«;
lorsque z tend vers o, ^-^ — -— et r--^? ■ tendent vers i: on voit
donc que le premier membre de l'égalité précédente a pour limite Iga •quand x tend vers o (par valeurs positives ou négatives).
Si, en particulier, on fait tendre x vers o par des valeurs de la
forme -> où /î est un nombre naturel, on voit que
n(a'^~i) = /i('v/5— i) tend vers la limite Iga quand n augmente indéfiniment.
EXERCICES
