Variations de Texpression

A(«j-f-6)«-h Bja'x -hù')^ A'(aj7^-6)«4- B'(a'x-^b'y'

FONCTIONS D UNE VARIABLE BEBLLE. I09

Pour quelles valeurs de x cette expression passe-t-elle par un maximum ou un minimum; quelles sont les valeurs de ce maximum ou de ce minimum?

âlâ. La fonction a*^, où a désigne une constante positive, est la seule fonction continue qui jouisse de la propriété qu'exprime l'égalité

On montrera d*abord, en supposant dans cette égalité ^ = o, ^ = — Xj en y remplaçant x eiy par ~> qu'elle entraine les suivantes :

(p(o) = i==«p(a:)(|>(— x), ?(^)=mf)j •

La dernière prouve que la fonction ^(x) est toujours positive. On établira ensuite les égalités

?(«!)" = <?(rt«i}, ?(/») = [?(!)]";

on montilïra que la dernière égalité, établie pour les valeurs naturelles de n, subsiste quand n est une fraction positive à termes entiers, un nombre rationnel quelconque. La continuité supposée de la fonction <p(x), la continuité démontrée de la fonction [f(i)]', montrent ensuite que l'on a pour une valeur irrationnelle de x

213. Montrer que la fonction logor est la seule fonction continue qui jouisse de la propriété

f(xjr) = o{x)-^o(y).

214. Montrer que la fonction ax, où a est une constante, est la seule fonction continue qui jouisse de la propriété