M- — DÉFINITION £T CALCUL DES DÉRIVÉES

207. Soit/(:p) une fonction de la variable x^ définie et continue dans un intervalle auquel je supposerai que les valeurs considérées de la variable x restent intérieures.

Si Ton consiâère deux valeurs a, a y de la variable, on désigne sous le nom A^ accroissement de la variable, quand on passe de la valeur a à la valeur «<, la différence A = a, — <2, et, sous le nom à* accroissement correspondant de la fonction, la différence f{ci^)—f[a)\ ces accroissements peuvent d'ailleurs être positifs ou négatifs. Rien n'est plus naturel que de comparer le second au premier; le rapport

f{ax)—f(a) .f{a-^h)-f{a)

peut être regardé comme l'accroissement moyen, le taux de l'accroissemenl de la fonction f{x)^ quand x croît de la plus petite des valeurs a^ a^ à la plus grande.

Si ce rapport est positif, la fonction a été, en gros, croissante dans l'intervalle borné par ces valeurs; elle a pu osciller, mais les augmentations l'ont emporté sur les diminutions; elle aura d'autant plus augmenté, en tout, que le rapport est plus grand. C'est le contraire si le rapport est négatif.

Si la fonction /{x), ou l'équation ^ = y(j7), est représentée par une courbe, le précédent rapport est la pente de la droite AA, qui joint le point A, de coordonnées a et b = /(a), au point A|, de coordonnées a, et 6| =/(c/| ); l'équation de cette droite est

DERIVKES.

le second membre est une fonction de x qui s'accroît régulièrement

JelaquanUté-^^°;>~{^"S

j: = aj, coïncide avec/(j:).

(le la quantité i-^^ — ^ — - quand x augmente de i , et qui, pour a; = a,,

Fig. 57.

Le rapport

représente aussi la vitesse moyenne du point de l'axe OY dont l'ordonnée est^ =f(x) quand x représente le temps (n° 196).

Lorsque a reste fixe et que «< se rapproche de a, que h tend vers o, il peut arriver que ce rapport tende vers une limite; cette limite, si elle existe, s'appelle la dérii^ée de la fonction/(:p) pour :r = a, et se représente par le symbole /'(a). Supposer l'existence de celte limitCy cest supposer que la droite AA,, lorsque le point A, de la courbe qui figure la fonction j^ = /(j7) se rapproche indéfiniment du point A, admet une position limite, que la courbe admet une tangente en A; la dérivée /'(a) est la pente de cette tangente. C'est supposer encore que le mouvement du mobile de l'axe OY dont l'ordonnée est, à chaque instant x^ y = f{x)^ comporte une vitesse à l'époque « et que cette vitesse est f {cl).

En parlant d'une courbe, d'un mouvement, nous présupposons 1 existence (en général) de la tangente à cette- courbe en chacun deces points, de la vitesse à chaque instant du mouvement. A la vérité, I eiistence de la dérivée n'est pas impliquée logiquement par celle de la continuité, mais nous ne nous occuperons ici que de fonction^ qui sont susceptibles d'une représentation graphique ou cinématique,.

qui admettent, en général, une dérivée pour chaque valeur a de la variable.

Je dis en général , parce qu'il y a des exceptions, fournies par des valeurs isolées de la variable, qui ne choquent nullement la notion intuitive que nous avons d'une courbe ou d'un mouvement.

Dans la définition générale que Ton a donnée de la dérivée de la fonction /(x) pour j: ^^ a, on n'a nullement supposé que a^ fût plus grand que rt, que h soit positif. S'il y a une dérivée pour x = a, le rapport

doit tendre vers la limite /'(a) quand h tend vers o, soit par valeurs positives, soit par valeurs négatives. Les droites AA|, A.\', doivent

Fig. 58.

tendre vers la même tangente en A, quand le point A, , ou le point A', , se rapprochent de A. Mais on conçoit qu'il en soit autrement et qu'une courbe présente en x\ un point anguleux, que l'on obtienne deux tangentes diflTérentes suivant que l'on fait tendre vers A, soit le point A| soit le point A, ; de même on conçoit un mouvement recliligne où le mobile arrive en un point avec une certaine vitesse it repart immédiatement avec une autre vitesse; il pourra arriver, d'une façon exceptionnelle, que le rapport

fia-^h)-^ fia)

tende vers une limite quand h tendra vers o par valeurs positives,

DKRIVÉBS. Il3

vers une autre limite quand // tendra vers o par valeurs négatives; à proprement parler, il n'y a pas de dérivée pour x = a; on dit quelquefois qu'il y en a deux, une à droite et une à gauche ; de même, la courbe à point anguleux peut être regardée comme formée par la réunion de deux arcs de courbes qui aboutissent au point A et qui ont chacun une tangente diflf'érente. Enfin, s'il arrivait que a fût une borne de Tinlervalle où la fonction f{x) est définie, si l'on prenait, par exemple, a = o pour la fonction \/x^^ ou a = i pour la fonction y\i — jc)^^ les valeurs négatives ou positives de h se trouveraient exclues tout naturellement ; en parlant de la dérivée de yjx-^ pour x = o, on entend la dérivée à droite ; on entend la dérivée à gauche, quand il est question de la dérivée, pour a: = i , de y/(i — x)'*.

Iaï notion de la dérivée est assez importante pour qu'on fasse entrer dans sa définition la définition même du mot limite; on dira alors :

La fonction /*(:f) admet, pour x = «, une dérivée /'(a) si la différence entre le rapport

el/'(a) est moindre en valeur absolue que tel nombre positifs que ion voudra, pourvu que h soit moindre en valeur absolue qu'un nombre positif s' convenablement choisi; à chaque valeur de s doit correspondre une valeur de e\

S'il en est ainsi, on aura évidemment

sous la condition | A | <C e', la fonction y*(J7) sera donc certainement continue pour x = a. Si l'on veut, en effet, que la différence fift-r-h) — y(«) soit moindre en valeur absolue qu'un nombre positif a, il suffira de prendre, après qu'on a choisi s et e', h moindre en \aleur absolue que s' et que

Lors donc qu'on aura trouvé la dérivée d'une fonction, on sera assuré de sa continuité.

Ilf

Si la fonction f{x) admet une dérivée dans l'intervalle (a, 3), c'est-à-dire si elle admet une dérivée pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, cette dérivée pourra être regardée comme une fonction de x^ que l'on désignera par /'(a;). Le lecteur reconnailra que, pour les fonctions qui sont vraiment susceptibles d'une représentation graphique, la fonction y'(^) doit être continue, en général. Il est impossible de se figurer un trait de courbe qui admette une tangente en chaque point, et où cette tangente varie brusquement de chaque point au point infiniment voisin. On peut dire que la continuité (en général) de f'{x)^ de la pente de la tangente, est présupposée quand on parle d'une courbe qui représente la fonction f{x\ Toutefois, certaines discontinuités au moins, pour des valeurs parli-

culières de la variable, n'ont rien de choquant : telle est, par exemple, l'existence d'une tangente parallèle à l'axe des y pour une certaine valeur de :r; pour cette valeur on dira que la dérivée devient infinie.

L'importance de la considération des dérivées pour reconnaître le sens de la variation d'une fonction apparaît immédiatement.

Si la fonction y(^) est croissante pour j: = a, le rapport

est certainement positif pour les valeurs de h suffisamment voisines de o; sa limite, quand h tend vers o, est positive ou nulle. Si donc la fonction /(j:) est croissante pour ^ = a, sa dérivée y'(^) est positive ou nulle; si elle est décroissante, sa dérivée est négative ou nulle.

On est amené, pour la généralité du langage, à regarder une constante comme une fonction de x^ une fonction qui garderait la même

DÉKIVÉES. 1 15

valeur quel que fût x. Si la fonction /(a:) désigne une constante, on aura, quels que soient x et A, /(a? H- A) — f{,^) = o et, par suite,

la limite du premier membre, quand h tend vers o, est évidemment©; la dérivée d'une constante est toujours nulle.

Si une fonction est croissante dans un intervalle, sa dérivée est toujours positive ou nulle dans cet intervalle.

Si une fonction est décroissante dans un Intervalle, sa dérivée est toujours négative ou nulle dans cet intervalle.

Si une fonction est constante dans un intervalle, sa dérivée est constamment nulle dans cet intervalle.

On est tenté d'énoncer les réciproques suivantes :

Si, dans Tinlervalle (a, p), la dérivée d'une fonction /(j?) est constamment positive, la fonction f{x) est croissante dans cet intervalle. Si la dérivée est constamment négative, la fonction est décroissante dans tout l'intervalle. Si la dérivée est constamment nulle la fonction est constante.

Ces réciproques seraient évidentes s'il était vrai qu'une fonction continue dans un intervalle est nécessairement croissante, décroissante, ou constante, mais on a déjà dit qu'il n'en était pas ainsi. On peut aussi, pour les deux premières, faire le raisonnement suivant: si la dérivée /'(a) de la fonction /(x), pour x = a, est positive, il faut

que le rapport

dont /'(a) est la limite, finisse par être positif, pour des valeurs de h suffisamment voisines de o : donc, la fonction /(x) est croissante pour x=a; si elle est croissante pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, p), elle est croissante dans tout l'intervalle. C'est là une proposition qu'on a déjà admise sans l'avoir démontrée : elle est d'ailleurs vraie. Ce mode de démonstration ne permet pas de prouver qu'une fonction dont la dérivée est nulle dans un intervalle est constante dans cet intervalle.

Je reviendrai ultérieurement sur ces réciproques; je veux toutefois faire remarquer combien elles paraissent évidentes sur la représen-

Il6 CHAPITRR XIII.

talion graphique ou cinématique, et chercher en même temps à démêler en quoi consiste celte évidence apparente.

Si, pour les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, 3), la pente de la tangente à la courbe définie par l'équation y = f(x) est constamment positive, on voit en quelque sorte la courbe monter à droite, parce qu'on confond, sur un petit arc, la courbe et la tangente, et que l'ordonnée de la tangente augmente avec l'abscisse; c'est pour la même raison que, si la pente de la tangente est constamment négative, on voit le trait de courbe descendre à droite. Enfin, on n'imagine pas une courbe dont la tangente soit constamment parallèle à l'axe des x, sans que celte courbe se réduise à une parallèle à cet axe. C'est là nos trois réciproques.

Plaçons-nous maintenant au point de vue cinématique : pendant l'intervalle de temps (a, ^), le point de l'axe OY dont l'ordonnée esly=/{x) a une vitesse toujours positive; il monte donc toujours. Si sa vitesse est négative, il descend pendant tout le temps (a, ^j. Si sa vitesse est toujours nulle, il reste toujours au repos. Tout cela semble évident, parce qu'on prend le mot vitesse dans le même son* que dans le mouvement uniforme; on confond, à chaque instant, le mouvement vrai avec un mouvement uniforme de même vitesse.

Les observations qui précèdent n'en font pas moins pressentir la vérité de nos réciproques, qui sera établie rigoureusement un peu plus tard. L'importance de ces réciproques est claire, puisque, si on les admet, la question de savoir comment varie une fonction dans un intervalle est ramenée à la question de savoir quel est le signe de nh dérivée; elle justifie les explications qui précèdent et le détail de^ règles qui vont suivre pour le calcul des dérivées.

208. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient. — J'emploierai ici les notations suivantes : //(.r), i'(^), w(x) désignant de^ fonctions de la variable .r, je regarderai la lettre x comme représentant une valeur spéciale (fixe) de cette variable; je désignerai par «, V, w les valeurs correspondantes des fonctions, par //', v\ w' celles de leurs dérivées, que Ton suppose exister, par Ix un accroissement de la variable, par a -^ lu, v-^lv^ (v -h A(v les valeurs u{x-\-iix}, r(x -i- Ax), w{x H- Ax) qui correspondent à la valeur x -\- Ix de la variable ; en sorte que A«, Ai^-, Atv, soient les accroissements

u(x-^ \r) — u(T), v>(a?-+- \x) — v{x), w(x-h Ax) — (v(x),

DEKIVÉËS. 117

des fonctions «(x), ^(^), iv{x) quand on passe de la valeur x de la variable à la valeur x -h A.r, el que les rapports

aient pour limites respectives les nombres u', ^'^ cv' quand Ix tend vers 0.

Soient A, B, C des constantes, je vais montrer que la fonction Aw -f- Bç' -h Ccv a pour dérivée Au' -i- B^'-h Ctv'.

En effet, quand la variable passe de la valeur or à la valeur x -h A^, l'accroissement de la fonction considérée est

le rapport de cet accroissement à celui de la variable peut s'écrire

A57 Ix Ix

Ce rapport, quand Ix tend vers o, tend lui-même vers la limite A a' -h Bp'-h Ctv';

en supposant A = i , B := i , C = 1 ou A = 1 , B = — i , C = o, ou B = o, C = o, on a évidemment les théorèmes suivants :

La dérivée de la somme d'un nombre quelconque de fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions,

La dérivée de la différence de deux fonctions est égale à la différence des dérivées de ces fonctions,

La dérivée d'un produit d'une fonction par une constante est le produit, par cette même constante, de la dérivée de cette Jonction.

Considérons le produit uv\ je vais montrer que sa dérivée est

uv' -h vu\

l'accroissement de ce produit est

( a -h Att) ( t^ -r- Ar ; — uv = a At^ -h i'- Am -T- Aa Ai^ ;

Il8 CHAPITRE XIII.

le rapport de Paccroissement de la fonction à raccroissemenl de la variable peut s'écrire

Ai' Ali . At'

u- — ht;- hAû-— .

ix Ix ix

Quand Ajc varie, les seules quantités qui varient dans celte expression sont — j — > A(/; elles tendent respectivement vers i*', u\ o: l'expression cherchée a donc une limite égale à

uv' -+■ vu' -ho u' =z uv'-h vu'.

Si l'un des facteurs, v par exemple, était une constante, sa dérivée serait nulle; on retrouve une règle déjà obtenue.

La dérivée d'un produit de deux facteurs est la somme de deux termes dont chacun se déduit du produit en remplaçant l'un des facteurs par sa dérivée. Cette règle s'étend sans peine.

La dérivée d'un produit de n facteurs est une somme de n termes dont chacun s'obtient en remplaçant dans le produit considéré un facteur par sa dérivée.

S'il s'agit, par exemple, d'un produit de trois facteurs uvw^ ce produit peut être regardé comme le produit du facteur uv par wp; la dérivée du premier facteur est u v -\- wc'; on doit la multiplier par iv et ajouter le produit de uv par iv', on trouve ainsi

Du cas de trois facteurs on passe à celui de quatre facteurs, etc.

En considérant un produit de m facteurs égaux entre eux, on voit que la dérivée de u'^ est mu"^"* u'.

On appelle dérivée logarithmique d'une fonction le rapport de la dérivée de cette fonction à la fonction.

La dérivée logarithmique d'un produit de plusieurs facteurs est la somme des dérivées logarithmiques des dérivées de ses facteurs: la dérivée logarithmique de la puissance m**'"* d'une fonction est égale à m fois la dérivée logarithmique de cette fonction.

La dérivée du rapport — est égale à

vu — vu

En effet, le rapport de l'accroissement de la fonction - à Taccroissement A^ de la variable est

c -4- Al' V ç \u — M A(^ Aj? Aj?

Ao? v(p-HAf)Aar p(p-H Ap)

Quand àx tend vers o, le numérateur du dernier rapport a pour limite vu' — wp', et le dénominateur a pour limite v^; l'expression

considérée a pour limite ; c'est ce qu'on avait annoncé. On

suppose V différent de o.

La dérivée de - est r •

La dérivée de ; où A est une constante et m un nombre

, . mkix — a)"»-* /wA

naturel est — —

{x — a)*"* {x — aj"*-^»

La dérivée logarithmique d'un rapport est la différence des dérivées logarithmiques de ses termes.

209. Je passe maintenant à la dérivée des fonctions étudiées antérieurement.

Je désignerai habituellement par x une valeur particulière (fixe) de la variable, par h un accroissement donné à cette variable ; l'accroissement correspondant de la fonction sera /(j; + /i) — /(^), et

l'on aura à évaluer la limite du rapport — ^ ^ — - quand h

tend vers o.

Dérivée d'un polynôme. — La dérivée /'(x) d'un polynôme /{x) a été définie à un autre point de vue dans le Chapitre II ; c'était alors le coefficient de h dans le développement de /(x + h) ordonné suivant les puissances croissantes de h. L'identité de cette définition avec la définition actuelle se trouve avoir été établie dans ce même Chapitre II, lorsqu'on a expliqué comment on déterminait la pente de la tangente en un point de la courbe qui figure les variations du polynôme. Au reste, les règles relatives à la dérivée d'une somme et d'une puissance suffisent à reconnaître que la dérivée du polynôme

/{x) = Aoa7«-h Aia7'*-»-h...-i- Art,a?-t- Art

It20 CHAPITRE Xlll.

est

f{x) ~ nAo:r«-»-h (/i — i)A| jr''-*-4-. . .-H A,,-,;

c'est la même expression qu'au Chapitre II.

Puisqu'on sait trouver la cléri\ée d'un polynôme et d'un rapport, on sait trouver la dérivée d'une fraction rationnelle. Le lecteur reconnaîtra sans peine que, si la fraction est décomposée en fraction> simples, la dérivée s'obtient de suite comme une somme de fractions simples.

Dérivée de a', — On doit chercher la limite, pour h = o, de

or on a vu, au n" 2()0, que le rapport — -. — avait Igrt pour limite quand h tendait vers o. La déri\ée de a^ est donc a-^X^a.

Le lecteur observera que la limite de — r — = — r est. par

définition, la dérivée a^ pour .r = o; c'est de cette valeur particulière qu'on déduit l'expression générale.

La dérivée de e-^ est e^\^e = e-^.

Dérivée de Ig.r. — En désignant par x un nombre positif, on doit chercher la limite, pour h = o, de

\^(x -+- h) — \<ix

en posant h =xz, le second membre de\ient

A et 5 tendent en même temps vers o; on a prouve au n^ 206 que. lorsque z tend vers o, -^^^ — a pour limite i. La déri\ée de Igjr

est -•

S'il s'agissait d'un logarithme pris dans la base a, on aurait (n' 203)

Ik-2*

DERIVEES.

d'où Ton conclut que la dérivée de loga^ est — r^— ; en particulier,

M la dérivée de logio-P (logarithme vulgaire) est —

Dérivées de sin:r et de cosx. — Elles se déduisent toutes deux de la dérivée pour J7 = o de sinx; cette dérivée est, par définition, la limite, pour A = o, de

sin/r — sino sinA

que Ton sait être égale à i .

On a

, '>. sin — cos { X -i ) bin — , .

sinia: -t- h) — smx 9. ^ 2/ 1 / h

— — cos - '

et, d'autre part,

2Sin-sin(a?H | sin -

cos( ar -}- A ) — cos a?

h sin —

Lorsque h tend vers o, le rapport — r — tend vers 1, les expressions

sin(j?H )j cos (x -h 7-) tendent, en raison de la continuité,

sers sinj7 et cosx. On voit donc que la dérivée de sina? est cosx = sin( j: -h 7 ) > que celle de cosx est — sin j: = cos ( x -h - j •

Dérivées de tang.r et de cotx. — Les dérivées des fonctions

sin:r cos.r

tangâr = » cota^ = —.

^ cosa^ sinar

résultent des précédentes et de la règle relative à un rapport; elles sont respectivement

cos*x -+- sin'a? — siii'rr — cos* a:

cos*a7 sin*a:

La dérivée de lang^ est — ^ = i + languir. La dérivée de cotx est r-r— = — i — cot^x.

âlO. Dérivées des fonctions inverses. — Considérons deux fonctions F(a:), f{y) inverses Tune de Tautre (*) (n" 199). Je suppose que la fonction ¥{x) soit définie sans ambiguïté, comme on l'a expliqué dans le n" 199, au moyen de Téquation x =z f[y)^ où /(y) est une fonction connue de j^, en sorte que, si l'on considère les valeurs de r qui appartiennent à l'intervalle (a, a') et les valeurs de v qui appartiennent à l'intervalle (6, 6'), les deux équations

soient équivalentes, les deux fonctions /(y) et F(^) étant continues et variant dans le même sens dans les intervalles respectifs (6, i' ), (a, a'). Je suppose en outre que, pour les valeurs de y appartenant à l'intervalle (i, 6'), la fonction /{y) de la variable y admette une dérivée f{y) qui ne soit pas nulle dans l'intervalle (6, b^)l\o vais montrer que la fonction F(:r) de la variable x admet une dérivée et

que cette dérivée est égale à -p — r- Pour avoir cette dérivée en fonction de or, on doit y remplacer y par F(^).

Si l'on considère deux systèmes x et^, d'une part, x -\' h e\.y ~ k. de l'autre, de valeurs correspondantes des variables, on doit avoir

et, par suite,

regardons .r, y comme fixes, h et k comme variables; lorsque Tune de ces dernières quantités tend vers o, il en est de même de Taulre, en raison de la continuité; la dérivée cherchée est la limite de

(*) Le rôle des lettres x et^, ici et dans le n» 199, est interrerti.

BÉRIYÉES.

TexpressioiL

Ay-^^)-/(y)

lorsque h et, par conséquent, k tendent vers o; cette limite est l'inverse de la limite du rapport ^^^ k c'est-à-dire -77-? — -•

Un regard jeté sur la figure éclairera suffisamment la façon dont les choses se passent quand il arrive que la fonction /'(jk) s'annule pour une valeur particulière ^ attribuée à y.

Fig.

Je suppose que, y croissant de è à b\ la fonction f{y) croisse de a à a! \ inversement, x croissant de a à a\ la fonction F(a:) croîtra de 6 à b\

La fonction /(y) étant croissante dans l'intervalle (è, 6') sa dérivée ne peut être que positive ou nulle (n" 207); je suppose que cette dérivée s'annule pour ^ = p, valeur à laquelle correspond la valeur a de x. Dire que la dérivée f'{y) s'annule pour jr = p, c'est dire que la tangente à la courbe définie par l'équation x = f{y) est parallèle à l'axe des y\ on le voit de suite en intervertissant le rôle des lettres x et y, de l'abscisse et de l'ordonnée, dans le mode habituel de représentation des fonctions. La tangente à la courbe définie par l'équation y=:F(x)y qui est la même que la précédente, étant parallèle à l'axe OY, il convient de dire que la pente de cette tangente est infinie et que la dérivée de la fonction F(x) est infinie pour j: = a.

Le lecteur voit comment la courbe traverse nécessairement sa tangente en M.

Le théorème précédent relie les règles qui donnent les dérivées de a^ et de Ig.r. La dernière fonction peut être regardée comme définie par l'équation x = e^; la dérivée de Ig^r est — = —

En voici d'autres applications.

211. Dérivées des fonctions arcsinjr, arccos^, arc tango: . — La signification de ces fonctions a été précisée au n" 200; elles sont définies respectivement au moyen des équations

a: = sin^, a^ = cos^, a: = tang^;

on voit en se reportant à la règle précédente que leurs dérivées reî>pectives sont

cosy sin^ I -h tang*^

Pour la première, sin^étant égal à x, co^y doit être égal à ihy i — X'\ mais y = arc sinj? devant être compris entre — - et -f- f^> cos^ est

positif : la dérivée de arc sina: est > en prenant le radical avec

la signification arithmétique.

Pour la deuxième, cos^ étant égal à x^ siny est égal à zb y'i — .r*; mais, puisque y doit être compris entre o et tî, son sinus doit être positif; la dérivée de arc cos J7 est ■==

Pour la troisième, tangj^ doit être égal à j;; la dérivée de arc tangx

est

Le fait que la somme des dérivées des fonctions arc sino: et arc ces j est nulle pouvait être prévu; il résulte de l'identité

arc sina: -j- arc cosa: = — ?

valable pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à Tinlervalle ( — 1, i).

Dérivées des fonctions hyperboliques inverses. — On a vu au

n** 204 comment les fonctions

Ig(a7-h/i-ra72), lg(a-H-/a?«— i), lgl/7^

pouvaient être définies au moyen des équations respectives

leurs dérivées respectives seront donc