II

pour la première, on a x = shy el, par suite, chy =: \^/i -\- x^, le radical étant pris avec sa signification arithmétique, puisque chj^ est une fonclion essentiellement positive; la dérivée de lg(x-h \/i-hx'-^)

est -J=.

v/i -Ha?'

Pour la deuxième, on a, x = ch^ et, par suite, shy = ± ^x^ — i . Dans la détermination choisie pour la fonction inverse de ch^, on •iuppose y positif; il doit en être de même de shy^ on doit donc

prendre shy = y/x- — i; la dérivée de lg(x -f-^x^ — i ) pst —— ^

La dérivée de lei / est -•

On donnera tout à l'heure un autre moyen d'obtenir ces trois dérivées.

il2. Dérivée d'une fonction de fonction. — Soit u=/{x) une /onction de x, admettant une dérivée u= f'ix). Soit o(u) une fonction de la variable //, qui, regardée comme telle, admet une dérivée o {u) (*). Je vais montrer que si, dans ©(a), on regarde u romme étant égal ày(x), la dérivée de la fonction dex ainsi obtenue, à savoir ?[/(^)], est égale au produit ©'(tt)w', où il est entendu qu'on doit remplacer u et u! par leurs expressions en fonction de x.

Désignons en efl'et par j:o, «Oî ?("o)J une part, paro^o-f-A, aoH-A", ^'. "o -{- k) deux systèmes de valeurs correspondantes de la variable x vi des fonctions u = /{x)y cp(w) = çp[/(x)], en sorte que l'on ait

^ =/(^o-4- h) —/(xo), f [/(aroH- h)] = <p(ao-+- A); i>n regardera Xq et Uq comme fixes, h et k comme variables; à cause

( ' ) On dit, dans le même sens, que ?'(a) est la dérivée de (p(u) par rapport à u.

126 CHiLPITEE XIII.

de la conlinuité, quand h tend vers o, il en est de même de k, La dérivée cherchée de la fonction ?[/"(j?)], pour j7 = Xo, est la limite du rapport

quand h et k tendent vers o; le dernier membre de la précédente égalité met en évidence l'existence et la valeur de cette limite, qui est bien <f'{uo)/'(xo).

Je laisse de côté la petite difficulté tenant à ce que, lorsque A tend vers o, ky qui dépend de A, pourrait s'annuler une infinité de fois(* ): elle ne se présenterait que pour des fonctions singulières prenant une infinité de fois la même valeur; d'ailleurs le théorème reste vrai dans ce cas encore. Mais j.e m'arrêterai un instant sur la remarque suivante qui nous sera utile quelquefois :

Il peut se faire, en conservant les notations précédentes, qu'on sache que la fonction de x 'f [/(^)] admet une dérivée et que 1 on sache calculer cette dérivée, mais que, relativement aux fonctions ff{u)etf(x), on sache seulement que l'une d'elles, ç(£/) par exemple, admet une dérivée (par rapport à u) sans que l'on sache calculer la dérivée de l'autre fonction f{x)^ sans que l'on sache même si celle dérivée existe. Or la démonstration précédente prouve clairement que cette dérivée existe et qu'elle s'obtient en divisant paro'(i/) la dérivée de ?[/(^)]; de même si l'on sait calculer la dérivée /'(^) de/(z): mais, si l'on ne sait pas calculer la dérivée ie^{u) par rapporta m, on voit que celte dérivée s'obtient en divisant par f'{x) la dérivée de

Si dans la fonction if{v) de la variable v^ admettant la dérivée A'{t'i par rap[)ort à la variable v^ on regardait cette variable comme étant égale à çp(e/), puis u comme égal k/{x), A(p) serait une fonction de fonction de m, et une fonction de fonction de fonction de o;; en vertu du théorème précédent, la dérivée de ^{i^) regardée comme une fonction de fonction de ei, ou la dérivée par rapport à w de i[?{«'}

(») Introd., n*212.

DERIVEES. 127

serait

en vertu du même théorème, la dérivée, par rapport à x^ de la fonction A[?(w)] où l'on regarde la variable u comme égale kf{x)^ serait le produit de la dérivée par rapport à u de la fonction ^[f ('/)], par la dérivée /"'(j:) de/(:r) par rapport à x. Finalement la dérivée de la fonction i(i') regardée comme une fonction de x est égale à •y(r) ff'(u)f'{x). Il est clair que Ton peul continuer ainsi indéfiniment.

L'importante proposition qu'on vient d'établir permet de relier des règles que l'on a établies séparément.

Ainsi la dérivée de cos:r = sin ( x\ peut se déduire de la dérivée

de sinjc et de celle de x : si l'on pose pour un instant u= a:,

x)i ou sinu^ devient une fonction de x dont la dérivée (par

rapport à x) est u'cosUj en désignant par u' la dérivée de u par rapport à x^ qui est ici égale à — 1 , la dérivée de cos^ est donc

— cos ( X] = — sinj?. De la même façon on voit que la dérivée

de cotjT = tang (- xj doit être égale à

— IH- tang*( x) = — (i-h cot*a7).

On a établi, au n" 42, en se fondant sur une autre définition de la dérivée, que la dérivée du polynôme

/(ar-+- a) = Ao(a:H-a)«-h A|(a7 H- a)«-i-h. . .h- Art t(^ -t- «) -^ A„,

obtenu en remplaçant x par x-i-a dans le polynôme

/{t) = Aoa7'»-f- A|a7'»-*-h. . .-h Xn-i^ ■+■ A«,

sobtenait en remplaçant x par x -^ a dans la dérivée

/'(x) = /lAo^r^-i-hCAi — 1) Aia7«-»H-...H- A;i,

du polynôme /(a;). Il suffit de poser u =x -hct pour voir que le l^oljnome /{x -^ a) = /(u) peut être regardé comme une fonction de fonction, dont la dérivée est /'(a) x a'; ici la dérivée u' de x -i- a

128 CHAPITRE Xlll.

est égale à i ; la dérivée de /(.r-+-a) est donc f'{X'\- a), en désignant par ce symbole ce que devient le polynôme /'(or) quand on y remplace x par x -h a.

La dérivée de

/(aj;-hP) = Ao(aa:-h?)«-h A,(xx-f-3)«-i-h...-+-\„.,(aa:H- ^ ) -^ .\„, OÙ l'on suppose que a et p sont des constantes, serait

aL/'(TLX-+- fi) = noiXo{oLx-+- fi)«-» -h(/i - i)7lXq(olx -h 3)"-2 -h ... -t- «A„,.

en désignant par/'(aj: -f- fi) ce que devient la dérivée /'(j-) du polynouiey(j:) quand on y remplace x par 7.x -\- j3. Ici /'{olx -h 'i ) n'e^l pas la dérivée de/(aa? -f- ^) par rapport à x,

La règle relative aux fonctions inverses peut aussi être ratlachétà la règle relative aux fonctions de fonction :

Si Ton considère en elfet la fonction f(x) de la variable Jc qui définit Téquation x =f(y)^ on peut, en regardant dans celle équaliony cr)mme égal à F(ar), observer quey[F(.r)]doit être identiquement égal à X, en sorte que la dérivée de celte fonction de fonction doit être identique à la dérivée de x^ c'est-à-dire à i ; on doit donc

avoir

i=f'(y)V'ix),

en désignant pur /'(y) la déri\ée de /{y) par rapport k y. C'est le même résultat qu'au n" 210.

En vertu d'une remarque que l'on a faite plus haut, ce raisonnement ne présuppose pas l'existence de F'(x).

Considérons encore la fonction y= Arctang(/i tangx) définie au n" 20(); on a vu que celte fonction était toujours continue; considérons-la toutefois, dans un intervalle (ti, b) auquel n'appartienne aucun

multiple impair de -; dans cet intervalle, la fonction arc tang(/* tang-r i. toujours comprise entre — f et ^* est continue et ne peut diflerer de

la fonction Arc lang(/i timgx) que par un multiple de tt; les deux fonctions ont, dans cet intervalle, la même dérivée; or la dérivée de la fonction arc lang(/2 tangx) est

1 II n