I -r- ( /i lanj':^- j- cos- j- cus--c -t- /i- siii

Telle est donc aus»i la dérivée de la fonction Arc tang(/2 tangx). Le résultat subsiste lors même que x est égal à(2Ar4-i)-jA: étant un entier quelconque; pour cette valeur de x, en effet, y est aussi égal à (aXr -f- 0" ' ^^ sorte que la dérivée de y est la limite, pour A = o, de

Arc tangj n lang (aA-^-i)- -*-'»( — (•>.A:h-i)-

Or le numérateur de cette expression est égal (n" 200) à

Arc tang ( — ^— \ •

La limite que Ton veut évaluer n'est autre chose que la dérivée, pour j; = o, de Arc tang ( — ^^ )' c'est-à-dire - : or c'est là précisément la valeur, pour x = o, de

cos*a' -h n- sin'a?

Dérivées logarithmiques. Dérivées de w". — Si Ton regarde u comme représentant une fonction de :r, qui reste positive dans un certain intervalle et qui admette une dérivée a', la fonction (de x)

Iga sera définie dans cet intervalle et aura pour dérivée — : ce que

Ton a désigné plus haut comme la dérivée logarithmique d'une fonction n'est autre chose que la dérivée du logarithme de cette fonction, quand ce logarithme a un sens.

Si, dans l'intervalle des valeurs de x que Ton considère, la fonction u était négative, l'expression Igu n'aurait plus de sens; posons v= — U] la fonction lg(^ est définie dans l'intervalle considéré; sa

dérivée, par rapport à j?, est — = — - — = — • Des deux expressions

Igtif lg( — u), l'une seulement peut avoir un sens; la dérivée, par

rapport à ar, de celle qui a un sens est - ; on peut dire, si l'on veut,

que cette dernière expression est la dérivée de Ig { // 1.

Les valeurs de x qui annuleraient u doivent naturellement être exclues.

T. - II. o

l3o CHAPITRE XIII.

Si l'on pose, par exemple, u = x"*^ x étant assujetti à rester posilif et m étant quelconque, la dérivée de IgJ?*", ou de m Ig^, que l'on sait d'ailleurs être — . devra être éfi:ale à — ; la dérivée u de a?"* est donc

égale à —'X'^=- ma:'""*. On a expliqué plus haut que ce raisonnement ne présuppose pas l'existence delà dérivée de la fonction x"^.

En vertu du théorème des fonctions de fonctions, la dérivée de «** est mu^~^ tt', quelle que soit la fonction w, pourvu que celte fonction soit positive et admette une dérivée //'.

En résumé, la règle qui donne la dérivée de «*" lorsque m est un nombre naturel (n° 208) s'applique dans tous les cas.

Il convient d'observer qu'elle s'applique en particulier à une fonction de la forme — = u~^ où m est un nombre entier; la dérivée de

cette fonction est — mti~'^~* u' ou — ;;77ï- > <>n pourrait, dans ce cas, appliquer la règle relative à la dérivée d'un rapport; celle qu'on vient de donner conduit de suite au résultat simplifié.

De même, quand on a affaire à un rapport de la forme -—^ où u^ r sont des fonctions de x, dont les dérivées sont «', r', il est préférable de l'écrire sous la forme uPv~*f pour trouver sa dérivée

pvu' — quv' p M/>-' ç-l u — quP p-^-» V = ^ -r uP^^ .

La règle qui donne la dériv.'^e de //'" donne aussi la dérivée d' un

radical ; les dérivées de ^u = u'^^ -— = u =* sont respectivement ;= ,

vu a y «

2 Ci ^U

Par exemple la dérivée de \Jax^-\- 2bx -h c est -

/o-c* -4- a 6ar -H c

Pour calculer la dérivée de Ig (x -^\/x'^ — i ), déjà obtenue au

numéro précédent, on posera w = j? -h ^/x'-^-t i ; la dérivée cherchée

est

on reconnaîtra de même que les dérivées de Ig (x -\-\/x^ — i ) et de

Igl/ sont respectivement -— ==^ > : •

Considérons encore la fonction Ig lang - qui est définie quand x varie entre o et tî (les limites étant exclues), puisque alors tang - est positive. En posant u = tang 7» on voit que sa dérivée est— • D'ailleurs

tang - est une fonction de fonction de x; si Ton pose t; = -, on voit

v' I que la dérivée de tang r, par rapport à x, est — 5- = ; en ré-

'j> nos* —