Soit donc

(U) WiH- aj-+-...-h W,,-H. ..

une série dont tous les termes sont positifs, et soit 5« la somme des n premiers termes de cette série; il est clair que Ton a, quel que soit n^ Su^i > Sn ; par conséquent, deux cas sont possibles : ou bien Sn grandit indéfiniment avec n et la série est divergente, ou bien la somme des n premiers termes reste, quel que soit /i, inférieure à un nombre fixe \; alors la série est convergente et sa somme est égale ou inférieure à A (n** 172).

Soit, dans ce dernier cas, U la somme de la série. Sn s'approche de U en croissant, quand n augmente; 5« ne peut jamais atteindre et, a fortiori, dépasser U, car si Ton avait Sp=\]^ ^/>+m ^/»-»-2 ••• dépasseraient U et s'en écarteraient de plus' en plus. U est supérieur à la somme des n premiers termes de la série, quel que soit n et, par conséquent, à la somme d'autant de termes pris, comme l'on voudra, dans la série : en effet, on peut prendre n assez grand pour que Sa embrasse tous ces termes. Un nombre a plus petit que U est caractérisé par ce fait qu'on peut trouver un nombre n assez grand pour que Sn soit plus grand que a; en effet, on peut prendre n assez grand pour que le nombre essentiellement positif U — 5„ soit plus petit que U — a. 11 revient au même de dire que les nombres a, plus petits que U, sont caractérisés par ce fait qu'on peut trouver des termes dans la série dont la somme dépasse a, il n'est pas nécessaire que ce soient les n premiers. Les nombres supérieurs ou égaux à U sont plus grands que la somme d'autant de termes qu'on voudra, pris dans la série- U peut être défini par la coupure entre les nombres que Ton peut dépasser en faisant la somme d'un assez grand nombre de termes de la série, et les nombres qui sont plus grands que la somme d'autant de termes qu'on voudra, pris dans la série.

Il est clair, d'après cela, que si la série (a), à termes positifs, est convergente, toute série qu'on en déduit en supprimant quelquesuns de ses termes, en nombre fini ou infini, est convergente et a une somme moindre que la proposée.

l6 CHAPITRE XI.

180. Ces remarques conduisent de suite à la méthode suivante pour reconnaître si une série à termes positifs est convergente ou divergente.

Soit

une série à termes positifs, dont on sait si elle est convergente ou divergente; on lui compare la série proposée

Supposons que la série (i^) soit convergente et que Ton ait, pour toutes les valeurs de /i, ««S ^/n 'a série (u) sera convergente, puisque la somme de ses n premiers termes est au plus égale à la somme des n premiers termes de la série (f), et, par suite, à la somme V de cette dernière série; la somme de la série u est inférieure à V (*). Si on limite les deux séries à des termes de même rang, le reste de la série (u) est inférieur au reste de la série («').

Supposons que la série (v) soit divergente, et que Ton ait, pour toutes les valeurs de /i, u,,^ v„ ; la somme des n premiers termes de la série (r) peut dépasser tel nombre positif que l'on voudra; il en esi de même a fortiori de la somme des n premiers termes de la série ( a ). qui est divergente.

On a vu, par exemple, que la série

était convergente: la série

(*) Je devrais dire, plus exactement, « inférieure ou égale à V », il ne peut d'ailleurs y avoir égalité que si tous les termes de la série (m) sont égaux aux lermes de la série (i^) : les deux séries seraient identiques; il est assez raisonnable d'exclure ce cas; Tobservation que je viens de fnire pourrait être répétée plusieurs fois dans ce qui suit. Au lieu <le répéter à chaque fois que l'égalité ne pouvait avoir lieu que dans un cas très particulier, j'ai préféré supprimer les mots ou égale que le lecteur rétablira sans peine.

dont les termes sont manifestement plus petits que les termes correspondants de la première, est convergente. Son reste, si on la limite au terme en —-7

est plus petit que — (n** 176). Le lecteur reconnaîtra sans peine qu'il est plus

«;rand que > parce que les termes de la série

(/AH-I)« (71 -t- 2)* («-^3)* •"

«>nt respectivement plus grands que les termes correspondants de la série ci>nvergcnte

dont la somme est

Ce procédé de coinparaîsoD semble bien limité; sans m'arrêtera la remarque déjà faite, qu'il n'est pas nécessaire que la condition ««^ ^'«1 par exemple, soit vérifiée par tous les termes de la série (u), mais seulement à partir d'un certain rang, pour pouvoir affirmer la convergence de la série (u) si la série (i^) est convergente, j'observerai que la série ai'i -h ap^-f- «^'a-h. • ., où a désigne un nombre positif quelconque, est convergente ou divergente en même temps que la série (v).

Supposons d'abord la série (v) convergente : on examinera le

rapport — ; si l'on peut établir que ce rapport, pour toutes les valeurs

(le /i, est inférieur ou égal à un nombre fixe a (nécessairement positif) les termes de la série (u) étant inférieurs ou égaux aux termes correspondants de la série at'i -f- ai^a-f- ai?3-|-. . ., on est assuré de la convergence de la série (u); on est, de plus, certain que sa somme est inférieure ou égale à a V, l'égalité ne pouvant d'ailleurs

avoir lieu que si l'on a toujours — =za. Lorsqu'il ne s'agit que de la

convergence, il suffit, puisqu'on peut toujours supprimer les premiers

termes, que la condition — ^a ait lieu pour toutes les valeurs de n

qui dépassent un nombre fixe p. S'il en est ainsi, le reste de la <érie (m), limitée au yy'*"* terme, ou plus loin, sera inférieur ou égal au reste correspondant de la série {v) multiplié par a.

l8 CHAPITRE XI.

Supposons qu-e la série (c) soit divergente; si, à partir d'une certaine valeur de /i, le rapport -^ est plus grand qu'un nombre positif a (non nul), on peut affirmer que la série (u) est divergente.

Ces règles s'appliquent coaimodément quand le rapport — ^ a, pour f?

infini, une limite /, qui, puisque — est positif, ne peut évidemment

être que positive ou nulle.

Si / est positif (sans être nul), on peut affirmer que les deux séries (m), (v) sont convergentes ou divergentes en même temps : eu effet, soit e un nombre positif, plus petit que /, d'ailleurs quelconque:

le rapport — » qui, lorsque n augmente indéfiniment, tend vers la

imite /, finit par être toujours compris entre les deux nombres positifs / — e, /+ e; on appliquera le raisonnement précédent en prenant a = / -f- e si la série (v) est convergente, en prenant a = l — e si la série (i^) est divergente.

Si / est nul, on peut affirmer la convergence de la série (u) quand la série (v) est convergente, mais non la divergence de la série (u) quand la série (p) est divergente.

Pr*?nons, par exemple, pour la série (p), la série

dont on a prouvé tout à l'heure la convergence, et comparons-lui la série {u)

en supposant que, des trois nombres a, 6, c, le premier soit positif et que. en outre, l'équation ax^-^r bx -\- c = o n'ait pas de racines entières et positives, afin que tous les termes de la série aient un sens.

A partir d'un certain rang, tous les termes de cette série sont bien positifs, puisque, pour des valeurs de x suffisamment grandes, le trinôme ax^ -+- bx -^ c est du signe de son premier terme; quant aux termes du commencement, qui pourraient être négatifs, il n'y a pas lieu d'en tenir compte, s'il ne s'agil que de la convergence. Le rapport des termes de rang n est ici

an*-h bn-h c'

il a pour limite - y quand n augmente indéfiniment; la seconde série est convergente comme la première.

181. En prenant pour la série (v) une progression géométrique dont la raison est positive, on est conduit à deux règles qui sont d^un usage fréquent, surtout la seconde. Je continue de désigner par (u) la série à termes positifs dont le /i**"' terme est m„.

1. Si, pour tes valeurs de n supérieures àp^ on a ^Un^oL^ en désignant par a un nombre positif plus petit que i, la série {u) est convergente, et son reste, quand on la limite au terme Up, est

inférieur à

En effet, on a, pour ces valeurs de /^, Un^cL"^ et les termes considérés de la série (//) sont inférieurs ou égaux à ceux des termes de la série convergente

dont le reste, quand on la limite au terme a/', est -— — •

Si, pour les valeurs de n supérieures àp^ona 'sjun ^ i , /« série (u) est divergente, puisque ses termes sont supérieurs ou égaux à 1 .

Supposons que, lorsque n augmente indéfiniment, (/êô^ tende vers une limite /; cette limite ne peut être que positive ou nulle; en désignant par s un nombre positif quelconque, (/a„ finit par être toujours compris dans l'intervalle (/ — e, / H-e).

Si l est plus petit que i , la série (u) est convergente ; on peut prendre en effet € assez petit pour que Z -f- e soit aussi plus petit que i ; on aura yfun^ a, en prenant a = / H- e.

Si / est plus grand que i, la série {u) est divergente; on peut prendre en effet e assez petit pour que / — e soit plus grand que 1,

on aura \fun^l — e > i .

Si / est égal à i, il y a doute. Toutefois, on a déjà dit que, si Ton a v'wn^i, à partir d'une certaine valeur de /i, la série est divergente.

Comme on peut toujours, sans changer la convergence ou la divergence de la série proposée, ajouter ou retrancher k termes au com-

mencement de la série, on voit qu'on pourra remplacer, dans ce qui précède, (/^«/, par "t////i ou "ï/w//, k étant un nombre naturel fiie.

Considérons, par exemple, la série

i-h 2^ -H 2^*-h ay» -+-... -h 2 y«' -+-...,

où q est un nombre positif; il est clair qu'elle est convergente ou divergente en même temps que la série

La racine n}^^ du /i'*"« terme est y'* : lorsque q est plus petit que i, q**^ tend vers la limite o, quand n croît indéfiniment : la série est convergente; elJe e>t évidemment divergente lorsque q est égal ou supérieur à i. Lorsque q est plus petit que i, le reste de la série proposée, quand on s'arrête au terme qui précède a y"", est inférieur à

Le lecteur reconnaîtra sans peine que la série

«1 \«î/ \an/

où ai, ai, ..., affi ••., désignent. des nombres positifs tels que a^ croisse indéfiniment avec n^ est convergente quel que soit le nombre positif x.

II. Si, pour les valeurs de n égales ou supérieures à /?, le rapport ^^^^ reste toujours inférieur ou égal à un nombre positif i plus petit que i, la série (u) est convergente, et son reste, quand on la limite au terme Uu. est inférieur à — ^ •

On a, en eflet, par hypothèse,

en sorte que, à partir du terme Upj^s , la série proposée a ses ternies égaux ou inférieurs à ceux de la série

W| -h M j -h , . . -h Mp -h a My, -t- a' «p -+- a' Mp H- . . . ,

dont le reste, quand on la limite au terme en Up^ est égal à — -^ •

En limitant la dernière série au terme Mn i, son reste est — ^ : on voit donc que si, pour n supérieur kp^ le rapport —^^^ reste inférieur

OU égal à a <; I , on peut prendre —^^ pour la limite supérieure du reste de la série proposée, limitée au terme Up,

Si, pour les valeurs de n supérieures ou égales àp, le rapport -!^est toujours supérieur ou égal à i, la série (u) est divergente, puisque ses termes ne vont pas en décroissant indéfiniment quand n augmente indéfiniment.

Supposons que le rapport -^^-^ tende vers une limite Z, quand n

augmente indéfiniment; il finira par être toujours compris dans l'intervalle (/ — €, /-f-e), e étant un nombre positif quelconque.

Si / est plus petit que i, la série est convergente, puisque Ton peut supposer / -h e <[ i , et prendre a = / H- e.

Si / est plus grand que i, la série est divergente, parce qu'on peut supposer / — e ^i .

Si / est égal à i, il j a doute; toutefois, si l'on a toujours, à partir d^un certain terme, -^^ ^ i , on a vu que la série était sûrement divergente.