Calculer les dérivées des fonctions

( X -\' a\ / IX \ arciangf— j — arctangar, arctangl jj — 2arctanga7,

(3a7 — ar«\ - . / ix \ r— Y" I — 3arctanga7, arc sin f j I — 2arctanga7,

1 — ar»

arccos — 2arc tangar, 2arccos

Igk/ r 37, lg(sha:-h /i -h sh^ar) — a?,

a7'Jf,

ei expliquer les résultais trouvés.

221. Avec quelle approximation peut-on connaître un arc (exprimé en grades) quand on connaît le logarithme vulgaire de son sinus avec une erreur

moindre que - lo-*?

ir i** Quand ce logarithme est plus petit que log sin -;

2° Quand il est compris entre log sin - et log sin -=- :

3° Quand il est compris entre logsm — et log sin --^ — ? Avec quelle approximation peut-on connaître un arc, connaissant le logarithme de sa tangente avec une erreur moindre que - lo-'?

222. Si l'on pose y = cos(/tarccosa:^), en désignant par n un nombre naturel, on sait (n° 109) que j' est un polynôme en x^ du degré «, dans lequel tous les termes sont de même parité, et dans lequel le terme de degré le plus élevé est 2'* -* a:'» ; montrer que les expressions

(i-:r«)yî-Hnî(^»-i), (i — x^)y — X y -\- n'^y

s'annulent identiquement quand on y remplace y par ce polynôme, j^' et/ par ses dérivées première et seconde.

Si l'on pose ^ = Ao^r"-!- Aiar^-^-h . . . -H Ay,a:«-*/'-H.. ., et si Ton écrit que l'expression (i— x^)y —xy -\- n'*- y est identiquement nulle, on oblicni une relation entre deux coefficients consécutifs du polynôme y. Calculer le^ coeffîcients de ce polynôme. {Soir Ex, 87 et n° 351.)

223. Montrer que ch[/i lg(j? -+- /x* — 1)] est un polynôme en x de degré n, en supposant que n soit un nombre naturel. Trouver l'expression explicite de ce polynôme.

Si n est un nombre naturel impair, les expressions

sin (n arc sin a:), sh[/i lg(a: -h y/x^-^ 1)] sont des polynômes en x\ trouver les expressions explicites de ces polynômes.

224. Montrer que la dérivée /i'*"»« de est de la forme \ — :»