Si l'on pose v = r» l'identité

cnnduil (n" 213) à la suivante

(i-f- ir«)^t«-»-«>-i- 2(rt H- -2) xy^^-^^^ -h (/i -»- 2) (/i -h i)j'(«> = o,

oîjyin)^ yn-i-i)^ y{n-i-i) désignent les dérivées /i'*n»e^ (n ■+- 1)««'™'>, (/i -1- 2)**"'« dej'. Déduire delà que l'expression

(1 -h 07») P;,— 2/ia: P;-h /i(/i -h i) P«

s'annule identiquement quand on y remplace P^ par le polynôme défini à l'exercice précédent, PJ, et P'J, par ses dérivées première et seconde.

Former l'expression explicite du polynôme P,,.

Déterminer trois polynômes A, B, C tels que l'expression

AP«^î-hBP«^iH-CP,, soii identiquement nulle.

i26. La dérivée n'*"* de la fonction y = e-^* est de la forme e— *''P,i, en désignant par P„ un polynôme de degré n, dont tous les termes sont de même parité; calculer le coefficient du terme du plus haut degré dans ce polynôme.

De l'identité ^'-4- "ixy = o déduire une relation de la forme

où A, B, C sont des polynômes. En déduire une relation de la forme

où A,, Bi, Cl sont des polynômes. Utiliser cette relation, qui doit être identiquement vérifiée par le polynôme P,, et ses dérivées, pour obtenir l'expres- ?ion explicite de ce polynôme. Déterminer trois polynômes A5, Bj, Gj tels que l'on ait identiquement

A, P«^» -h Bj Pn+i ■+■ Cj P« = o.

227. Former les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction

arctan; —

228. Sachant que^ est une fonction (implicite) de x^ définie par l'équation

on demande de calculer la dérivée seconde et la dérivée troisième de y par rapport à x. Ces dérivées peuvent-elles s'annuler?

2i9. Quelle est la dérivée seconde de ^ ax^-\- 'xhx -h c? Quelle est la fonction primitive de — ?

230. Montrer que, si y est une fonction de x définie par réquation

Aar«-)- iBxy -^ C^*-i- iDa-H-iE^ -h F = o,

où A, B, C, ..., F sont des constantes, \/ --t\ est un polynôme du second

degré. — On résout l'équation par rapport à y^ et Ton s'appuie sur le résultai de l'exercice précédent.

231. Sachant que l'expression e-'Car'-h 3a: -h u) admet une fonction primitive de la forme e-^P, où P est un polynôme en or, déterminer cette fonciioo primitive.

232. Sachant que l'expression (3j: — i) cosx -h (i — 2a:) sinar admet unr fonction primitive de la forme P cosj; -\- Q sinar, où P, Q sont des polynômes, trouver ces polynômes.

§ i. - SÉRIES DONT LES TERMES SONT DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE. SÉRIES ENTIÈRES EN x.

224. Continuité. — Nous avons déjà eu l'occasion de considérer des séries dont les termes étaient des fonctions de x (*) : telle était, par exemple, la série

IH 1 h... H h. ..,

dont on a montré qu'elle était convergente (et même absolument con- \ergente) pour toutes les valeurs de x; la somme de cette série est une fonction de jc, définie quel que soit .r. Soit, en général,

une suite infinie de fonctions de x définies dans l'intervalle (a, 6); si, pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, la série

est convergente, sa somme sera une fonction définie de x qu'on pourra calculer, avec telle approximation qu'on voudra, pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 6).

En désignant cette somme parF(^), on pourra poser

F(X) =/t(x) -^MX) -t-. . .-^fn{x) -h. . .,

OÙ il est entendu que le second mejnbre représente la somme de la

( ' ) La variable x est supposée réelle jusqu'au n» 228. T. - IL

série qui y figure. Inversement, si l'on part d\me fonction donnée F(:r) et si l'on trouve une série telle que (/*) qui soit convergente, pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 6), et dont la somme soit, pour chacune de ces valeurs, égale à F(j:), on dit qu'on a développé F (^) en série sous la forme/i(x)-|-/i(x) -h —

C'est ainsi que, pour toutes les valeurs de x appartenant à Tinlervalle ( — a, a), où a est un nombre positif plus petit que i, on a

Le second membre est un développement en série du premier, suivant les pui.ssances entières et positives de x,

SupposonSy en revenant au cas général, qu'il existe une suite de nombres positifs ai, aa, ..., a^,, ... tels que, d^ une part, la série

(a) a, -Hai-h...-Ha,| -h.. .

soit convergente, et que, d'autre part, on ait, pour chaque valeur de X appartenant à r intervalle {a, 6), |y, (a:) |2ai, |y2(j:) [^ a,, ... et, en général, \/,i{^) \=^n] H ^st clair que la série (/) sera absolument convergente pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, 6).

Supposons en outre que, dans ce même intervalle, toutes les fonctions fi (x)^ f^ (x), . . -^ fn {^)y - - • soient continues, je dis que la somme F(x) de la série (f) sera aussi continue dans l'intervalle (a, b).

Soit, en effet, Xq une valeur quelconque de x appartenant audii intervalle; il faut prouver qu'à chaque nombre positif e on peut faire correspondre un autre nombre positif s' tel que l'on ait

|F(a7oH-A)-F(:ro)|<6

pourvu que h soit moindre, en valeur absolue, que e', et que x^-^h appartienne, comme Xq, à l'intervalle (a, b).

Désignons en général par S„{x) la somme des n premiers termes de la série (/) et par K,t{x) le reste correspondant de cette même ;'est-à-dire la somme de la série absolument convergente.

SÉRIES DE PONCTIONS. 179

quand o: appartient à l'intervalle (a, 6),

/„H-,(x)-+-/„+,(ar) -+-...;

désignons aussi par r„ le reste de la série (a) limitée au terme a,,, c'est-à-dire la somme de la série convergente, à termes positifs, oin+i + «/i+a -f- . . . . On aura, quelle que soit la valeur de x^ appartenant à l'intervalle (a, é), R/j(a:) ^/Vi, et, d'autre part,

F(a:)=S«(ar)-hR«(ar).

On en déduit, sous la seule condition que Xq et XQ-^-h appartiennent à l'intervalle («, 6),

I F(jroH- A)— F(a;o) | = | S„(aro-h h) - S«(xo) -i- R,i(^o-h h) — R„(aro) |

^ I S„(a7o-4-/i)- S„(iFo)| -t- I R«(a7o-^A)| -h I R«(a7o)| â I S«(a7o-i- A) — S„(aro) | -h 2/'«.

Ceci posé, puisque la série (a) est convergente, on peut choisir n

assez grand pour que l'on ait /•« <i ô> ^ étant ainsi fixé, la fonction

S„(j:), somme de n fonctions continues, est elle-même continue pour x = Xq; on peut donc faire correspondre au nombre positif e un nombre positif s' tel que, sous la seule condition que Xq -{- h appartienne à rinlervalle (a, b) et que la valeur absolue de h soit inférieure à e', Ton ail

|S„(aroH-/i)-S«(a7o)|< j;

de cette inégalité et de la précédente résulte l'inégalité

|F(.ro-H/t)-F(aro)|<e,

sous la condition que a:© -f- A appartienne, comme Xq^ à l'intervalle (a, b) et que l'on ait | A j < e' ; la proposition est démontrée. Par exemple, la série

sin^r sin^o* s'irinx

est absolument convergente quel que soit x, puisque ses termes sont inférieurs ou égaux, en valeur absolue, aux termes correspondants de

l8o CHAPITRE XIV.

la série numérique, à termes positifs, I t 1

et que, d'autre part, ses termes sont des fonctions continues de x dans tout intervalle ; sa somme est donc une fonction de x, continue dans tout intervalle.

22o. Séries entières en x, — Parmi les séries dont les termes sonr des fonctions continues de x. les séries qui sont de la forme

(a) «0 -h a|J7 -♦- ajjT* -4-. . .-+- a„ar« H-. . .,

tiennent en Analyse un rôle considérable: «o) «i» «2> •••? ««? ••• sont des constantes numériques que j'appellerai les coefficients de la série : celle-ci est donnée quand on se donne la suite de ses coefficients.

Considérons d'abord le cas où tous les coefficients ao, ai, . . ., a„, . . . sont des nombres positifs (ou nuls) ; pour une valeur positive de x, tous les termes de la série (a) sont positifs (ou nuls); la somme de la série, si elle est convergente, est positive.

La série (a) étant donnée, il peut se faire qu'elle ne soit convergente pour aucune valeur positive de x; ce serait le cas, comme le lecteur s'en assurera sans peine en appliquant les règles du n** 181, pour les séries

n-a7-4- (237 )" -4-, ..-4-(na7 )«-»-...,