H- I.2.3a?»H-..,-h l.2.3...nJ7'»-l

Ecartons ce cas. Si la série est convergente pour une valeur positive a, il est clair qu'elle sera convergente pour les valeurs posili\es de X inférieures à a, puisque, pour de telles valeurs, les termes de la série (a) seront inférieurs aux termes correspondants de la série numérique

ao -f- aia — a, a* -h. ..h- ««««-1-. . . :

la somme de la série (a) sera inférieure à la somme de celle qu'on vient d'écrire.

Il peut, enfin, arri\er que la série (a) soit convergente pour toute

SÉRIES DE FONCTIONS. l8l

valeur positive de x\ telle est la série

Supposons que la série (a) soit convergente pour certaines valeurs positives de a:, divergente pour d'autres. Si la série est convergente pour 07 = a, divergente pour x =: ^, les nombres a et p étant positifs, on a certainement a <! ^, car les suppositions ^ = a ou ^ <! a entraîneraient, d'après ce qu'on a dit un peu plus haut, la convergence de la série (a) pour a? — p. Si donc on imagine que les nombres positifs soient rangés en deux classes, dont la première contienne tous les nombres pour lesquels la série est convergente, la seconde tous les nombres pour lesquels elle est divergente, tous les nombres de la première classe seront plus petits que les nombres de la seconde classe ; on définit ainsi une coupure qui, à son tour, définit un nombre positif A, nombre que ne surpasse aucun nombre de la première classe, qui ne surpasse aucun nombre de la seconde classe : tous les nombres plus petits que lui appartiennent certainement à la première classe; quand x est un de ces nombres, la série (a) est convergente. Tous les nombres plus grands que A appartiennent sûrement à la seconde classe; quand x est l'un de ces nombres, la série est divergente. D'ailleurs A peut appartenir à la seconde classe ou à la première; en d'autres termes, la série peut être divergente ou convergente pour a: = A.

Si l'on considère, par exemple, la série

on sait que pour o <C.x <C.i elle est convergente; elle est divergente pour X égal à i ou plus grand que i . Si l'on considère, au contraire, la série

X a?* ar«

elle est convergente pour x = i , divergente pour x > i (n" 183) ; ce dernier point résulte de la considération du rapport d'un terme au précédent (n" 181), rapport dont la limite est a?, pour n infini.

Observons encore que si, pour le nombre positif 07o) tous les termes

l8a CHAPITRE XIV.

de la série (a) sont inférieurs ou égaux au nombre positif B, la série {a) est convergente pour tout nombre positif jti plus petit que^o : en effet, on a par hypothèse, quel que soit /«, an^Q<i B et, par suite,

û«^î < B ( — j ; donc, pour x =Xi, les termes de la série (a) sont

inférieurs aux termes de la progression décroissante

Pour :r = X|, la série (a) est convergente : tous les nombres positifs plus petits que Xq appartiennent à la première classe définie plus haut; Xo peut d'ailleurs appartenir ou non à cette classe.

226. Ne supposons plus positifs (ou nuls) tous les coefficients de la série

(a) ao -H Oi^r -h. . .-+- a„x'» -h. . .,

et désignons, en général, par a[^ la valeur absolue de a„, la série

(a') ai -f-a',a7-h...H-a'„ar«-i-.,.

sera dans le cas que l'on vient d'étudier.

Si cette dernière série est convergente pour le nombre positif jt = a, la série (a) sera absolument convergente pour toute valeur de .r telle que l'on ait jxj^a; dans l'intervalle ( — a, a) sa somme sera une fonction continue de x.

Tout ceci résulte du n" 214, puisque, pour toutes ces valeurs de x, les termes de la série (a) sont, en valeur absolue, inférieurs ou égaui aux termes (tous positifs ou nuls) de la série convergente, à termes numériques,

Soit, maintenant, Xo un nombre quelconque autre que o et x[^ sa valeur absolue.

Si la série (a) est absolument convergente pour x = Xo^ 1» série («') est convergente pour x = x'^; on est dans le cas précédent; la série (a) est absolument convergente pour | x \ ^xj,.

Si la série (a) est convergente pour x = Xq, mais non absolument,

SÉRIES DE PONCTIONS. l83

ses termes tendent vers o quand n augmente indéfiniment; leurs valeurs absolues, à partir de Tun d'eux cipX^^^ sont moindres que tel nombre positif s que l'on voudra. Soit B un nombre plus grand que e et que les valeurs absolues de tous les termes qui précèdent apX^^ tous les termes de la série (^'), pour x = .r'„, seront plus petits que B; donc, pour a positif et plus petit que x'^^ la série {a') est convergente : la série {a) est absolument convergente pourvu que Ton ait | jc | ^^t.

Ceci posé, ou bien la série {a') n'est convergente pour aucune valeur positive de j:, ou bien elle est convergente pour toutes les valeurs positives de .r, ou bien elle est convergente pour toutes les valeurs positives de x inférieures à un certain nombre positif A et divergente pour toutes les valeurs positives de x supérieures à A.

Dans le premier cas, la série {a) n'est convergente que pour x^= o, car, si elle était convergente pour une autre valeur ^r©, la série {a') serait convergente pour n'importe quel nombre positif plus petit que x;.

Dans le second cas, la série (a) est absolument convergente quel que soit x; sa somme est une fonction continue dans tout intervalle.

Dans le troisième cas, la série (a) est absolument convergente pourvu que l'on ait |x| < A; elle est divergente pour tout nombre Xq dont la valeur absolue x'^ est supérieure à A; car, si elle était convergente pour un tel nombre, la série (a') serait convergente pour tout nombre positif compris entre A et x„. Dans ce troisième cas, si a est un nombre positif plus petit que A, la somme de la série {a) est une fonction continue de x dans l'intervalle ( — a, 3c); on peut dire encore que cette somme est une fonction continue pour toute valeur Aex intérieure à l'intervalle ( — A, A); mais, pour les bornes, la série {a) peut être divergente; elle peut aussi être convergente (absolument ou non), comme on le voit sur les séries

..-H ar«-4-

où A est égal à i .

J'appellerai inlers^alle de convergence de la série (a) l'intervalle (— A, A) à V intérieur duquel elle est absolument convergente,

l84 CHAPITRE XIV.

tandis qu'elle est divergente pour les valeurs de x extérieures à cet intervalle. Il est aisé de déterminer cet intervalle, ou le nombre A.

quand Tune des quantités {/a^^^ — ^ a une limite pour n infini : supposons, en effet, que l'on ait

on aura évidemment

lim iV^n^'") = ^^'î

la série (a') sera donc convergente si l'on a x^<C~f^ divergente si l'on a ^' > y ; on a A := ^ ; on voit de même que A est l'inverse de la limite de ^.

On en conclut, en passant, que les deux expressions ^fi'„^ "!*"' » si elles ont des limites pour n infini, ont des limites égales.

227, Aux observations précédentes, qui regardent la convergence des séries de la forme

(a) ao-h a,ar -h rtja?*-h. . .-h a„a?«-h. . .,

et la continuité des fonctions qu'elles définissent, il convient d'en ajouter quelques autres qui se présentent d'elles-mêmes.

Supposons d'abord que les coefficients a©, ^i, ..., a«, ... soient positifs ou nuls, et que la série soit convergente dans l'intervalle (o, A), A étant un nombre positif; sa somme dans cet intervalle est une fonction continue de J7, on voit de suite que celte fonction est croissante dans cet intervalle.

Considérons le cas où la série (a), dont je suppose toujours les coefficients positifs, est convergente quel que soit x, sa somme sera une fonction croissante de x, pour toute valeur positive de x. Désignons cette fonction par F{x); on aura en supposant x > o

F(x) > flo-r- aiir-f-...-4-a„a:«;

lorsque x croît indéfiniment, il en est de même du second membre et, a fortiori, de F{x); on peut même ajouter que F(x) croît plus rapi-

SÉRIES DE PONCTIONS. l85

dément que n'importe quel polynôme P(^). On enlend par là que la

valeur absolue du rapport tend vers -h oc, quand x tend vers +a?,

ou, ce qui revient au même, que le rapport p- — - tend vers o quand j?

tend vers 7H «:. Désignons, en effet, par P| (x) le polynôme qui se déduit, de P{x) en y remplaçant chaque coefficient par sa valeur absolue, on aura évidemment, pour a:>o, P|(^)^P(j:), et, par suite,

P(x)\^P,(x) Pt(^)

F(x)\~ F(x) ao-f- aiiCH- aja?* -h. . .-+- a^a?»

On peut toujours prendre n assez grand pour que le degré du dénominateur de la fraction rationnelle qui figure au dernier membre soit plus grand que le degré du numérateur; dans ces conditions, cette fraction rationnelle tend vers o, quand x tend vers -h 00; il en est de même, a fortiori, du premier membre.

On démontre de même, en désignant par m un nombre positif

quelconque, que le rapport W7 — tend vers o quand x tend vers +00;

au reste, cela résulte du théorème précédent pour m entier; si m n'est pas entier, soit m' un entier plus grand que /n ; on a

Xfn x"^' I

dans le second membre, les deux facteurs tendent vers o quand :r tend vers -4- 00.

Les conclusions précédentes s'appliquent, en particulier, à la somme de la série toujours convergente

Ne supposons plus que les coefficients de la série (a) ao-hOia?-}-...-+-a„a?«-h. .•

soient positifs et désignons, en général, comme dans le numéro précédent, la valeur absolue de a„ par a^'^, en sorte que la série

(a') aj -h a'i a: -f- . . . -f- a;, a:« -4- . . .

l86 CHAPITRE XIV.

ait ses coefficients positifs ou nuls. Supposons enfin, en désignant par a un nombre positif, que la série (a) soit absolument convergente pour les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (— a, a), ce qui revient à dire que la série (a') est convergente pour x = ol.

Appelons S„{x) la somme des n -h i premiers termes de la série (a), Kfi(x) le reste correspondant, en sorte que l'on ait, pour toute valeur de X appartenant à l'intervalle ( — a, a),

F(a7) = S«rar)H-R«(ar),

en désignant par F{x) la somme de la série; R/i(j:) est égal au produit de a:""*"' par la somme de la série

somme dont la valeur absolue est au plus égale à la somme p de la série convergente à termes positifs

on pourra donc poser R/i(j7) := M. r ""•"*, en désignant par M un nombre dont on sait que sa valeur absolue est, au plus, égale à p, puis

on a déjà appelé l'attention, au Chapitre II, sur l'analogie des fonctions qui sont susceptibles d'une représentation de cette forme et des polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de la variable, pour les valeurs de celle-ci qui sont voisines de o. Je suppose que l'on ait pris n assez grand pour que les coefficients «i, a-j, . . ., a» ne soient pas tous nuls.

La forme précédente apprendrait, si on ne le savait déjà, que la fonction F{x) est continue pour x = o. Elle montre que, si a^ n est pas nul, la fonction F(.r) ne peut s'annuler pour les valeurs de -r qui sont suffisamment voisines de o; que, si «o est nul, la fonction F(xi s'annule pour x = o, mais ne s'annule pas pour les valeurs de x, autres que o, et suffisamment voisines de o ; la fonction F(x) ne peut, quand on se donne le nombre naturel /i, être mise que d'une seule fa(:on sous la forme précédente ; il en résulte, puisqu'on peut prendre /i aussi grand (fu'on le veut, que deux séries entières en x ne peu\enl

SÉRIES DK PONCTIONS. 187

avoir la même somme, pour toutes les valeurs de x appartenant à rintervalle ( — a, a) sans être identiques terme à terme ; en d'autres termes, il n'y a qu'une série entière en x dont la somme, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — a, a), soit égale à la fonction F(a:). C'est ce qu'on exprime encore en disant qu'une fonction de x ne peut être développée que d'une seule façon suivant les puissances entières et positives de x.

Le premier des termes a^x^ a^x-, ,.., anX*^t dont le coefficient n'est pas nul, fait connaître dans quel sens la fonction F(x) varie pour x^ o>

â!28. Séries entières à coefficients et à variables imaginaires. — Jusqu'ici j'ai supposé réels les coefficients et la variable; il est bien aisé de voir que plusieurs des résultats obtenus plus haut s'étendent au cas où Ton a affaire à une série à coefficients imaginaires et où la \ariable est imaginaire; soit

(a) ao-h UiZ -*- afZ^-^. . .-^ anZ^^-h., .

une série entière en z dont les coefficients «o? ^i ? •••? ^//? • • • peuvent être réels on imaginaires; je désignerai, en général, par a',^ la valeur absolue de a„, par r la valeur absolue de s; la valeur absolue de a,iZ" sera a'^r" et la série à termes positifs

sera la série des valeurs absolues des termes de la série (a). Dire que la série (a) est absolument convergente pour une valeur particulière 5» (non nulle), dont la valeur absolue est /o, revient à dire que la série {a' ) est convergente pour r = r^^] cette dernière sera convergente pour les valeurs positives de ;• plus petites que r^ : la série (a) est absolument convergente pour toutes les valeurs de z dont la \aleur absolue est inférieure ou égale à r^. Si la série (a') est convergente pour toutes les valeurs (positives) de ;•, la série (a) est absolument convergente quel que soit z\ sa somme est ce que l'on appelle une fonction entière {*) de z. Si la série (a) est convergente pour les

^') Rationnelle entière si Ja série se réduit à un polynôme, transcendante entière dans le cas contraire.

l88 CHAPITRE XIV.

valeurs positives de v inférieures à A, divergente pour les valeurs de r supérieures à A, la série (a) est absolument convergente pour le> valeurs de z telles que Ton ait \z\<i A, elle n'est pas absolument convergente pour les valeurs de z telles que Ton ait 1 5 | > A ; elle n'est pas du tout convergente, car, si elle était convergente pour un nombre réel ou imaginaire z^ dont la valeur absolue surpasserait A. la valeur absolue a\^r\ de a„zj tendrait vers o quand n augmente indéfiniment; il résulterait de là, comme au n*' 213, que tous les termes de la série {a') pour 5 = ^0 seraient inférieurs à un nombre fixe B et que celte série (a') serait convergente pour les valeurs de r comprises entre A et /*o, contrairement à la supposition.

En se reportant à la représentation géométrique des nombres imaginaires que l'on a expliquée au Chapitre VI, on voit que, dans ce cas, les points qui représentent les nombres réels ou imaginaires pour lesquels la série (a) est absolument convergente remplissent F i/i/erieur d'un cercle décrit du point o comme centre avec un rayon égal à \ ; pour les nombres figurés par des points extérieurs à ce cercle, la série n'est pas convergente ; sur la circonférence même du cercle, la série peut être convergente, absolument ou non, ou divergente. Ce cercle prend le nom de cercle de convergence.

Si l'on décrivait du point o comme centre un cercle de rayon moindre que A, il serait aisé de voir que, pour tous les points situés à l'intérieur de ce cercle ou sur sa circonférence, la somme de la série est une fonction continue de 2, en adoptant, pour la continuité, la même définition que pour les polynômes (n" 107). Il suffirait pour cela de raisonner comme au n** 214. J'y insiste d'autant moins que l'étude des fonctions d'une variable imaginaire est en dehors des limites du présent Livre. Les séries à termes imaginaires n'interviendront un peu plus tard que pour relier les propriétés de certaines fonctions de variables réelles.

229. Dérivée. — Je reviens maintenant aux séries de la forme (a) ao-+- aia? -h. . .-+- a„ar«-i-. . .,

oii les coefficients «q, . . ., a«, ... sont réels, ainsi que la variable x: je continuerai de désigner, en général, par a\^ la valeur absolue de fl« et par x^ la valeur absolue de :r; je suppose que la série à coefficients

SÉRIES DE PONCTIONS. 189

positifs

(a') aj-j- a'ja?-H...-+-a;ja7»-}-...

soit convergente, pour x = a, en désignant par a un nombre positif; en sorte que la série (a) est absolument convergente pour les valeurs de X qui appartiennent à l'intervalle ( — a, a) et que sa somme F{x) est, dans cet intervalle, une fonction continue de x; mon but est de démontrer le théorème suivant :

Si Xo désigne un nombre intérieur à IHntervalte ( — a, a), la fonction F(^) admet une dérivée F'(x), égale à la valeur pour X = Xo de la somme de la série

(I) Ux-r- la^x -^ ZazX^-\-. . .-h nanX^'^^-^, . .,

dont je montrerai qu^elle est absolument convergente à V intérieur de ^intervalle ( — a< a).

Soit, en désignant par x'^ la valeur absolue de Xo, p = a — x\\ le nombre positif ^ est évidemment le plus petit des deux nombres positifs a — a?oj ^o + *) en sorte que, si Ton assujettit la variable h à rester dans l'intervalle ( — p, P), on sera sûr que le nombre Xo-\-h appartiendra toujours à cet intervalle ( — a, a) dans lequel la convei*j;ence absolue de la série (a) est assurée : c'est ce que je suppose essentiellement dans la suite.

Dans ces conditions, la valeur du rapport —— ^ ^, dont

on prétend évaluer la limite quand h tend vers o, est la somme de la série convergente

«I j H ai ^ h... -h an ^ K...,

obtenue en retranchant terme à terme (n° 177) les deux séries con- \ ergentes

«o-*-«i(^o-*- h)->t- aj(aro-}- A)*-f-. ..-h a;ï(aro-+- ^)'*-4-. . ., ao-H aia?o H- ajarj -h...-f- anX^ -t-...,

et en divisant ensuite chaque terme par h.

i9«> CBLirmK UT.

Or, on a, ponr loule'» les valeurs de A aulre$ que o.

en dé-^ignant parC*, C*. ... les cr>effirJenU numériques du développement de la puissance /i"^**' d'un binôme.

Désignons par ^«' A) le second membre de celle égalité; c'est un polvnome en A; c'esl donc, dans l'inler^alle ( — ^3, ^L une fonction continue de A ; on va montrer qu'il en est de même de la somme de la série

(1) ai^pti A;-f-aîÇ,( A»— .-.— a«o„( A)-r-...,

toujours égale à — — j- ^— ^ quand h n'est pas nul.

Si l'on admet qu'il en est ainsi, il est clair que la limite de celle somme, quand h tend vers o, doit être égale à la valeur

«1 o,ro; -HaiOj(o;-h...-Ha„<p«(o)-H...,

qu'elle prend pour A = o, c'est-à-dire à la somme de la série

ai -H 2aja?o-i- 3aaarJ -l-, . .-^ na„x'i~^ -»-...;

cette somme sera donc la valeur, pour x = Xqj de la dérivée de la fonction F(x), C'est la partie principale de la proposition énoncée, dont la démonstration est ainsi ramenée à prouver la continuité de la série (a); or, en se reportant à la définition de ^n{h)el en désigaanl par A' la valeur absolue de A, on voit que l'on a

U« ( A ) 1 1 Gï a:;«-» -H c; ^v'"* A' -h ... H- g;î h'»-^ ^ Gïar;«-» -4- g;j7'o«-» fj -h. . .-4- g;î 3'«-i,

le dernier membre de ces inégalités n'est autre cbose que le nombre positif

(y; -h 3)^' — j^y» ^ g" — t'çI*

on aura donc, pour toutes les valeurs naturelles de n,

l«/i?«(A)Ua;i

cû sorte que les valeurs absolues des termes de la série (2) sont inférieures ou égales aux termes, tous positifs ou nuls, de la série

a\ — jT-^ ■+■ ai TT-^ -h. . .H- a'

qui est certainement convergente (n" 177), puisqu'on Ta obtenue en retranchant, terme à terme, deux séries convergentes, puis en divisant chaque terme par p. Il résulte de là, d'une part, que la série (2) est absolument convergente, pour toutes les valeurs de h (y compris o) qui appartiennent à l'intervalle ( — p, jî) et, d'autre part, puisque les termes de cette série sont des fonctions continues de a, que sa somme est une fonction continue de A, dans cet intervalle (n" 224); c'est ce qu'il fallait établir.

On a prouvé que la série

(i; «i-T- -iaijr -i-. . .-h /lart^'*"' "H- • -1

qui n'est autre que la série (2) pour A = o, était absolument convergente pour X = Xq^ c'est-à-dire pour n'importe quelle valeur int('- Heure à l'intervalle ( — a, a) : le raisonnement ne s'étend pas aux bornes de l'intervalle. Si, toutefois, en supposant a'>- a, la série proposée (a) se trouvait être absolument convergente dans l'intervalle ( — a', a'), il est clair qu'on pourrait substituer l'intervalle ( — a', a') à l'intervalle ( — a, a) et la convergence absolue de la série (1) serait assurée pour x=^±%; on serait aussi certain que sa somme serait égale, pour X = ± a, à la dérivée de la fonction F{x). On voit, d'après cela, qu'on peut énoncer les propositions suivantes :

Si la série proposée (a) est convergente quel que soit x^ la série (2) est aussi convergente quel que soit x, et sa somme est toujours la dérivée de la somme F(x) de la série (a).

Si la série (a) est convergente pour certaines valeurs de x et divergente pour d'antres valeurs de jc, il y a, comme on sait, un intervalle ( — A, A) tel que la série (a) soit absolument convergente pour les valeurs de x intérieures à cet intervalle et divergente pour les valeurs de x qui lui sont extérieures; la série (1) est absolument convergente comme la série (a) pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle ( — A, A). Il est aisé de reconnaître qu'elle est divergente pour toute valeur Xq extérieure à cet intervalle ; si, en effet, elle

était convergente pour x = x©, elle serait absolument convergente pour tous les nombres dpnt la valeur absolue est moindre que celle de Xoj et, en particulier, pour ceux de ces nombres dont la valeur absolue dépasse A; en désignant par x\ la valeur absolue d'un tel nombre, la série à termes positifs

serait donc convergente ; mais les termes de celte série dépassent les termes correspondants de la série divergente

a\x\-^ aj a?',* -f- . . . -f- a^a: j" -h

La contradiction est évidente.

On voit que Vintervalle de convergence ( — A, A) est le même pour la série proposée (a) et la série dérivée (i).

Il peut toutefois arriver que la série (a) soit convergente pour X =± A et que la série (i) soit divergente pour l'une ou l'autre de ces valeurs.

La proposition établie sur la série (a) s'applique naturellement à la série (i); puis à celle qu'on en déduit de la même façon, etc. : on arrive évidemment à la proposition suivante :

Les séries

ao-h aijr-h aj a?* -4- . . . -t- a» a?" -h...,

i.-iaj-h -i.SajX -h 3.4afca7*-i-. . .-+- (/i — i)/iana7'»-*-r. . .,

i.-2.../?ap-f--2.3...(/) -hi)a,H-i^-i-3.4. ..(/?-4- îi)apH.jT*-^. .. -l-(n — /> H- i) (n — /> -t- 2)...Aa„a?'»-/'-»-. ..

ont toutes le même intervalle de convergence ( — A, A); à V intérieur de cet intervalle, la somme de chacune d'elles est la dérivée de la somme de la précédente; en d'autres termes, leurs sommes rospeclives sont F(x), F\.rU P(x\ ...^F^p^x), ....

Pour X = o, chacune des sommes se réduit au premier terme de la série ; on a donc

SÉRIES DE FONCTIONS. igS

en désignant par F(o), F'(o), ^'(o), ... les valeurs, pour x = o, de la fonction F(:r) et de ses dérivées successives; on en conclut la formule importante

nf fini fP

Elle suppose essenliellement que la fonction F(:r) peut être développée en une série procédant suivant les puissances entières et positives de jr, puisque c'est ce développement qui a été notre point de départ; elle donne une seconde démonstration de ce fait que, la fonction F(x) étant donnée, le développement en série entière ne peut se faire que d'une seule façon.

Fonction primitive. — De même qu'on peut obtenir, sous forme de série, la dérivée de la fonction F(x) somme de la série (a), on peut obtenir une fonction primitive de F(x) : et telle sera évidemment la somme de la série

cil CL^

(3) aox H î-j?*-i- — a?»-+-...-*- ■

M l'on admet la convergence absolue de cette série à l'intérieur de l'intervalle ( — A, A); or, cette convergence est évidente; si, en effet, la série (a') est convergente pour le nombre positif a, la série à termes positifs

aj a -4- aj a* -+- ai a' -t- . . . H- ai a'»-»-* -+-... àera convergente et, a fortiori, la série

dont les termes sont plus petits. Puisque l'intervalle de convergence d'une série est le même que celui de la série dérivée, il est clair que Tinlervalle de convergence de la série (3) est ( — A, A).

Si l'on désigne par F| (x) la somme de la série (3), toute fonction primitive de la fonction F(x), dans l'intervalle ( — A, A), sera, comme on l'a vu, de la forme F| (^) -|- C, où G est une constante : on peut T. — II. i3

dire que F, (j:*) est celle des fondions primitives de F(x)qiii s'annule pour X = o.

L'analogie des propriétés des séries entières qu'on vient d'établir avec celles des polynômes est manifeste.

§ 2. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE QUELQUES FONCTIONS SIMPLES. FORMULES DE TÂTLOR ET DE MACLAURIN.

230. Voici quelques applications directes des résultats du numéro précédent :

On a pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle ( — i, i)

on aura donc, dans le même intervalle, en prenant les dérivées des deux membres,

7 ; = 1-4- 237-+- 3j:*-H. . .-f- /ia-"-ï-f-. . .,

l .2 =1.2-H2.3j7-t-3.4j7'-|-...-h (/l — l)/lJ7«-*-|-...,

^'Vi'^)7' ='-2...(/> — 0-^-^-3... /?^ -H 3.4... (/?^i)x«-h...

-h{n— p -»-2)(/i— /?-h3). . . nx»-P-^^-h. ..:

cette dernière formule peut s'écrire

^ ^ />(/> + !)■. .(/>-Hr-i)^^

ou, en changeant j? en — x, et en remplaçant/? par — /j, n n(n — i) .

(l-|-J7)'*=lH X -^ ^ ' 37*

^ n(n — i) (n~2) ^^ ^ ^ ndi — i) (n- r-hi) ^^^

Cette dernière formule est valable pour les valeurs de x intérieures

SÉRIES DE PONCTIONS. 195

à rinlervalle ( — i, i) et pour les valeurs entières et négatives du nombre n : elle est vraie, comme on le sait, pour les valeurs naturelles de n\ seulement, dans ce cas, tous les termes de degré supérieur à n disparaissent, parce que leurs coefficients sont nuls; elle peut donc être regardée comme Texlension au cas des exposants entiers et négatifs de la formule du binôme.

Pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle ( — i, i), la fonction — lg(i — x) a pour dérivée — -— ; toute fonction primitive de est, dans cet intervalle, de la forme C — lg(i — x). Si Ton

\eut que cette fonction s'annule pour j7 = o, il faut prendre C = o : on a donc

-lg(.-x) = l6— ^ = - + - + 3-+...+ --^..., ou, si Ton préfère,

pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle ( — i, i).

Observons que. pour les valeurs de .r extérieures à cet intervalle et même pour la borne inférieure x = — i , la série diverge ; elle est convergente, pour j?=i, mais non absolument; la démonstration précédente ne prouve pas que l'on ait

<ette égalité, toutefois, est vraie.

La dérivée de arc tangjr est j; arc tangx est la fonction primitive de qui s'annule pour x = o; de la formule

on déduit donc la formule

X X^ X^ j.ïrt-4-l

arc tanga: = — -\ — r:H-...-H ( — i}"

valable pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle ( — 1, 1); elle subsiste, il est vrai, pour le cas où x est ± 1 et l'on a

•ic __ I l I

mais cela ne résulte pas de la démonstration précédente.

La fonction Igl/ — 3-» inverse de la fonction thjr, a pour dérivée -— — j; on en conclut l'égalité, valable pour les \aleurs de x intérieures à rinler\alle ( — i? 0?

's V T^^ " T ^ T - T ^ ••^ Î7m ^- • •' qui résulte d'ailleurs de ce que Ton a

el des développements antérieurement obtenus pour lg(^i-|--p) ♦l Igd — jt).

431. Les n'»sultats précédents suffisent déjà à montrer rimportance des propositions établies au n** 229 : en partant d'une série entière dont on connaît la somme, on obtient de nouveaux développements en série entière en prenant les dérivées ou la fonction primitive.

Voici d'autres applications obtenues en cherchant des fonctions qui vérilîent wva^ équation différentielle (du premier ordre) (n"2liî . J'ai déjà fait observer que le problème qui consiste à trou\er la fonclion primitixe d'une fonclion donnée était une question de la même nature. La solution jjénérale de ce dernier problème s'obtient en ajoutant une constante arbilraireà n'importe quelle solution particulière, et le problème devient déterminé si l'on se propose de trouver une fonclion dont la déri\ée soit donnée et qui, pour une valeur particulière de la >ariable, prenne unoaleur donnée. Des circonstances analogues se renconlreronl dans les questions qui >onl être traitées.

Proposons-nous de chercher une fonclion l' de j:*, qui. pour touleles \aleurs de ,r. soit éj;ale à sa dérivée, qui, en d'autres termes, vérifie

SÉRIES DE PONCTIONS. I97

l'équation différenlleile j/'' = y. Nous connaissons déjà une fonction qui répond à la question, c'est la fonction z = e^, 11 est aisé d'en déduire toutes les autres; en effet, les deux égalités j^' = j^, 5'=z entraînent y' z — y^' ^= o, ou

Le premier membre est la dérivée de — ; cette dérivée devant être

nulle quel que soit x, il faut que — soit une constante C; en d'autres

termes, toute fonction qui répond à la question est égale à la fonction e^ multipliée par un facteur constant (*). Lors même qu'on ne connaîtrait pas la fonction e-^, le raisonnement précédent montrerait que, s'il y a une fonction y"( a:) qui soit égale à sa dérivée, toute fonction égale à sa dérivée sera de la forme C/(.c). On pourra déterminer la constante C par la condition qu'elle prenne une valeur déterminée pour une valeur donnée de x, par exemple la valeur i pour a: = o : il n y a qu'une seule fonction, toujours égale à sa dérivée, qui pour ar = o soit égale à i .

On peut présenter les choses à un point de vue géométrique : le problème posé revient à celui-ci : trouver toutes les courbes planes telles que la pente de la tangente soit constamment égale à l'ordonnée du point de contact. La courbe dont l'équation est j^ =: e^ ^fig- ^^) répond à la question. 11 en est de même de toutes celles que l'on en déduit, en multipliant toutes les ordonnées par un nombre constant. C'est là un fait dont il est bien aisé de se rendre compte géométriquement. Nous savons de plus que toutes les courbes qui répondent à la question peuvent se déduire de l'une d'entre elles par la construction qu'on vient d'indiquer. Enfin, comme il est évident sur la figure, il y a une de ces courbes, et une seule, qui passe par un point donné :

y (*) On pourrait encore raisonner comme il suit : si l'égalité ^' = ^ entraîne — = i,

le premier membre de cette dernière égalité est la dérivée de log|^|; cette dérivée devant être égale à i, il faut que log \y\ soit égal à x -\- c' •, en désignant par c' une constante ei, par conséquent, que ^ soit égal à zn e'"^*' = ±: e^'G*"; en désignant par e le facteur constant ± e*', on trouve, comme plus haut, y— Ce*. Le raisonnement employé dans le texte ne suppose pas qu'on connaisse la fonction logarithmique, ni ses propriétés.

igS CHAPITRK XIV.

cela revient à dire qu'on peut déterminer la fonction cherchée parla condition que, pour une valeur donnée de x, elle prenne une valeur donnée. Que ce dernier problème n'admette jamais qu'une solution, cela correspond à ce fait évident que deux des courbes considérées ne se rencontrent jamais.

Cherchons en particulier s'il y a une fonction développable en une série entière

(a) ao-f- ai^ 4- aja?*-^. . .-h a,i:r«-4-. . .

qui soit égale à sa dérivée

ai -¥- 'la^x -H. . .-h na,iX^'-^-^, . ..

Puisque les sommes de deux séries ne peuvent être égales pour toutes les valeurs de x sans que les séries soient identiques terme à terme, on voit que, si la série (a) répond à la question, on doit avoir

Réciproquement, la série (a) répondra évidemment à la question, si tous les coefficients vérifient les équations précédentes. De ces équations, on tire successivement

ai = ao, «î = — » as = ^ —

la série la plus générale qui réponde à la question s'obtient en multipliant par un nombre arbitraire a,, les termes de la série

dont on sait qu'elle est convergente quel que soit or. On a vu plus haut que toute solution du problème posé s'obtient en multipliant une solution particulière par une constante arbitraire; on est donc parvenu, par le procédé employé, à la solution la plus générale du problème posé.

On aurait pu encore raisonner comme il suit :

Si une fonction /(^x) est telle qu'on ait toujours /'(j7)=/(x), on

SÉRIES DE PONCTIONS. I99

aura

En particulier toutes ces dérivées doivent être égales pour x = o] désignons par ^z» leur valeur commune; on a vu plus haut que, si la fonction f{x) est développable en une série entière en x^ on doit avoir

On doit donc avoir

réciproquement, on voit directement que la fonction ainsi trouvée répond à la question.

Si Ton détermine la constante ao par la condition que la fonction /{x) soit égale à i pour ^ = o, on aura évidemment «0= i ; la fonclion/(j:) se réduira certainement alors à la fonction e^; on a donc, pour toutes les valeurs de x^

J'insiste sur ce fait que, si l'on n^avaitpas étudié antérieurement la fonction e-^, cette fonction se présenterait très naturellement sous la forme

comme la solution la plus simple de Téquation différentielle y=y. On a vu au n" 217 comment la forme même de la série mettait en é\idence le sens de la variation de '^{x) pour x positif. La propriété f '•^)?(j^) = *f(^ +^) apparaît comme une application immédiate de la règle pour la multiplication des séries : elle apparaît d'ailleurs aussi très aisément sur la propriété cp'(^) = 'f (^) qui entraine immédiatement la propriété cp'(j7 -h a) = '^(jc -f- a) en désignant par a une constante quelconque : cette dernière égalité montre que la fonction ç(.r-f-a) est aussi une fonction égale à sa dérivée; elle ne peut donc

difTérer de 'f{oc) que par un facteur constant C; or l'égalité cp(a: -|- a) = C©(j7), en y faisant x = o, montre que Ton doit avoir C = cp(a) : c'est la propriété fondamentale; de cette propriété et de l'égalité cp(o)= i, on déduit l'identité

qui montre de suite que la fonction o(x) est encore croissante quand j* est négatif, et qu'elle tend vers o quand x tend vers — oc. Soit a un nombre positif quelconque; on a (n" 202)

et, par suite,

Observons encore que les formules

e^ = iH h ■

donnent immédiatement, en ajoutant, en retranchant, et en divisant par 2,

x^ ar* a?"»

char = i-h sha: =