n ar«-i n

il tend vers la limite o quand n tend vers -h- oc ; la série est convergente quel que soit x.

Supposons qu'on limite la série au terme Le rapport à ce

22 CHAFITKB XI

terme de celui qui le suit est ; ensuite, le rapport d'un terme

au précédent est moindre; si donc on suppose ^ H- i >► x, et si l'on adopte ici la forme — — pour la limite supérieure du reste, on voit que le reste est moindre que

xP-^^

en sorte que la somme de la série peut être mise sous la forme

X a?» xP xP-*-^ e„

^p désignant un nombre positif plus petit que i . Cette série et, en particulier, la série

I 1.2 1.2.. .yo

qui s'en déduit en supposant x égal à i , tiennent en analyse un rôle considérable; la somme de cette dernière série est un nombre que l'on désigne par e; d'après ce qu'on vient de dire, ce nombre peut être mis sous la forme

II I I ô„

qui permet de le calculer avec l'approximation qu'on veut; j'y reviendrai bientôt.

Considérons encore les séries

dans lesquelles on suppose que m et x soient des nombres positifs donnés; les rapports du (/14-1)'*™® terme au /i'*"*° sont respectivement

n-hi

a? SE ( 1 'f- ) X.

SBRIBS. aS

ces deux rapports ont pour limites le nombre x quand n augmente indéfiniment; les deux séries sont convergentes quand x est plus pelit que i, divergentes pour x>\. Dans le cas où x est égal à i, Tapplication de la règle ne donne rien, sauf pour la seconde série, lorsque m est égal ou supérieur à i , parce que, alors, le rapport d'un terme au précédent est égal ou supérieur à i.

Lorsque x est plus petit que i, le rapport d'un terme au précédent est plus petit que x dans la première série, et aussi dans la seconde, quand m est plus petit que i ; s'il en est ainsi, on peut prendre pour limite supérieure du reste, dans les deux séries, le premier

lerme négligé multiplié par ^ ; cette règle est en défaut, pour la

seconde série, si m est plus grand que i . Dans ce dernier cas, le rapport d'un terme au précédent va en décroissant quand n augmente. Si

le premier terme néglige est — ^^ x", le rapport du

terme suivant à celui-là est x\ en supposant n assez grand pour

que ce rapport soit plus petit que i , on pourra prendre pour limite supérieure du reste,

183. On voit quel parti l'on peut tirer de la comparaison d'une série (à termes positifs) à une progression géométrique. Toute série à termes positifs, dont on connaît le caractère, peut servir de terme de comparaison. Les séries de la forme

où a est un nombre quelconque, sont, à cet égard, très précieuses. Une telle série est convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif ( * ).

On arrive aisément à ce résultat en calculant des limites entre

( ' ) Si l'on savait que cette série ett convergente pour a = a,, on serait sûr qu'elle est convergente pour a > 01, : or, on a démontré plus haut que cette série est convergente pour a = i: il en résulte immédiatement qu'elle est convergente poura>i.

l4 CHAPITRE XI.

lesquelles doit être comprise la somme S^ de tous les termes de la série (c) pour lesquels /i, écrit dans le système décimal, a un nombre donné p de chiffres. Il y a

10/' — lo/'-* = 9.10''-*

nombres naturels de p chiffres, dont le plus petit est lo/*"*, et qui sont tous plus petits que 10''; par conséquent, si l'on suppose 1 -h 2 f>ositif, on aura

ou

X0'3.p->r\ "^*'/'"^ loa(/'-l'

Supposons maintenant a positif; la série à termes positifs

(2) 2,-hS8-+-...-h2^-H...

est certainement convergente, puisque ses termes sont respectiveraenl inférieurs à ceux de la progression géométrique décroissante

dont la raison — ^ est plus petite que i .

Il est maintenant bien aisé de voir que la série (^) est convergente. En effet, quel que soit /i, si l'on prend/? supérieur au nombre de chiffres de /i, la somme des p premiers termes de la série (S) contiendra les n premiers termes de la série (v) et dépassera leur somme qui est, par conséquent, inférieure à la somme de la série (ï).

J'ajoute, quoique cela ne soit pas nécessaire à la démonstration, que les sommes des deux séries (t^) et (S) sont égales : ce qui précèdt* montre que la première ne peut dépasser la seconde; si, maintenant, on se donne /?, il suffit de prendre un nombre n qui ait plus d*' p chiffres, pour être sûr que la somme des n premiers termes de la série (i^), et, par conséquent, la somme de cette série, dépasse la somme des/? premiers termes de la série (S); la somme de cette der-

SÉRIES. 'a5

nière série ne peut donc être supérieure à la somme delà série (s^); \es deux sommes sont égales (').

Supposons maintenant que a soit nul; on a S;, >• — ; la série (S)

est alors divergente; mais, comme on vient de le dire, on peut, quel que soit yo, prendre n assez grand pour que la somme des n premiers termes de la série (p) dépasse la somme des p premiers termes de la série (S), la série (v) ou la série

est divergente. A fortiori, la série (i^) est divergente quand a est négatif, puisque, alors, ses ternies sont respectivement plus grands que les termes correspondants de la série qu'on vient d'écrire.

La série (v)^ que l'on vient d'étudier, et à laquelle on donne le nom de série harmonique, peut servir utilement de terme de comparaison, pour juger de la convergence ou de la divergence d'une série à termes positifs; elle conduit à des critères plus délicats que ceux que l'on a donnés au n** 181, parce qu'elle converge (ou diverge) moins rapidement qu'une progression géométrique.

Supposons, par exemple, que le /i'^>n« terme d'une série {u) s'obtienne en

remplaçant x par n dans une fraction rationnelle -j-^^ — - : afin que la série (a)

ait un sens, on devra supposer que le polynôme ^{x) n'ait pas de racine égale à un nombre naturel, ou, dans le cas où il y aurait de pareilles racines, supprimer de la série les termes, dénués de sens, qui correspondraient à ces racines. Pour des valeurs suffisamment grandes de x, ^(x) et '^(x) conservent un signe constant : tous les termes de la série (u) sont de même signe ; je

( ^ ) Il y a là un fait général que le lecieur établira sans peine. Considérons les deux séries

et supposons que £, représente la somme des «i premiers termes de ((/), 21, la somme des a^ termes suivants, S, la somme des a, termes suivants, etc., la série (S) est convergente si la série (v) est convergente et a même somme. Réciproquement, et c'est là ce qu'on a établi sur un cas particulier, si la série {v) a tous ses termes positifs, la convergence de la série (S) entraîne la convergence de la série ( v).

supposerai f(x) et «Ka?) de mêmes signes, c'est-à-dire que je supposerai que les termes du plus haut degré soient de mêmes signes dans ^(x) et dans ^(^)f afin d'être dans le cas que nous étudions. Si ©(ar) est de degré supérieur ou égal au degré de ^(x), les termes de la série (u) ne décroissent pas indéfiniment, la série (u)est divergente. Si le degré de '^(x) est supérieur de p unités au degré de fia:), on a vu, au n"* 64, que la vraie valeur, pour x infini, du

rapport . J - est égale au rapport k des coefficients des termes du plus

haut degré dans f(x) et dans <V(a?); cela revient à dire que .J a pour limite k lorsque n augmente indéfiniment, et que, par conséquent, la série

est convergente ou divergente en même temps que la série

la série {u) est donc convergente si l'on a/? ^2; divergente si l'on a/> = i.

184. D'une façon générale, la comparaison d'une série à termes positifs

à la série à termes positifs

se fait, comme on Ta dit au n** 180, en étudiant le rapport — • Il convient de remarquer que si l'on a, pour toutes les valeurs de n qui dépassent /?,

Un ~ Vn

on a, pour ces mêmes valeurs de /i, et, par conséquent,

en sorte que, si n est supérieur à/>, on a

De même si l'on a, pour toutes les valeurs de n qui dépassent /?,

on aura, pour ces mêmes valeurs,

d'où les conclusions suivantes : Si la série {v) est convergente et si Ton a, pour toutes les valeurs de n qui dépassent p^

Un "^ Vil

la série (u) est convergente et son reste, quand on la limite au ^iémc terme, est inférieur au produit par -^^ du reste de la série {i>) limitée au/?*^"** terme.

Si la série (v) est divergente, et si l'on a pour toutes les valeurs de n supérieures à p

Un ^ Vn

la série (//) est divergente.

Ces deux règles contiennent évidemment comme cas particulier les

critères du n° 181 relatives au rapport i^^±l; elles font prévoir la pos-

sibilitë de tirer de la considération des séries harmoniques d'autres critères qwe ceux de ce n" 181 ; je ne m'y arrêterai pas ( * ).

185. Une propriété importante des séries à termes positifs est la suivante*

La somme d'une telle série, supposée convergente, est indépen-

(») Jntr,, ii« 134, 135, !3G.

28 cmAPITRE XI.

dante de l'ordre de ses termes, ou encore : deux séries à termes positifs, qui ne diffèrent que par l'ordre de leurs termes, ont mêmes sommes. Il y aurait lieu d'expliquer, en général (*), ce qu'on entend en disant que les séries

ne diffèrent que par l'ordre de leurs termes. Ces explications ne conaportent quelque difficulté que s'il y a, dans l'une des séries, une infinité de termes égaux. Or, on peut écarter ce cas : si, en effet, il y a dans une série une infinité de termes égaux, non nuls, elle ne peut être convergente, puisque le n**""** terme ne tend pas vers la limite o quand n augmente indéfiniment; les séries convergentes étant les seules qui nous intéressent, nous pouvons laisser de côté toute série qui aurait une infinité de termes égaux. Quant aux termes nuls, j'ai déjà dit qu'on pouvait toujours les négliger.

Dès lors, on peut dire que les deux séries (a), (t^) ne diffèrent que par l'ordre des termes si tout nombre qui figure comme terme dans la première figure aussi dans la seconde, le même nombre de fois, et si tout nombre qui figure comme terme dans la seconde figure aussi dans la première, le même nombre de fois.

La proposition à démontrer est celle-ci : Si la série (t^) a ses termes positifs 'et est convergente, la série (w), qui n'en diffère que par l'ordre des termes, est aussi convergente et sa somme est égale à celle de la série (v).

Soit, en effet, V la somme de la série (i^); V est plus grand que la somme d'autant de termes qu'on voudra pris dans la série (v), donc aussi que la somme d'autant de termes qu'on voudra pris dans la série (^^), puisque ces termes figurent dans la série (r); donc la série (u) est convergente et sa somme U est égale ou inférieure à V: le même raisonnement montre d'ailleurs que V est égal ou inférieur à U : on a U = V.

186. Ce qu'on a dit des séries à termes positifs pourrait se répéter pour les séries à termes négatifs, avec des changements insignifiants :

(M /ntr., n» 74.

cela est d'autant plus inutile qu'on passe d'un cas à l'autre en multipliant tous les termes par — i , ce qui ne change ni la convergence ni la divergence : la somme est changée de signe. La considération des séries dont tous les termes sont de même signe, sauf quelques-uns, en nombre limité, n'apporte non plus rien de nouveau : pour la convergence ou la divergence, il n'y a pas lieu de s'occuper de ces termes. Si la série proposée est convergente, et si, par exemple, tous ses termes, sauf quelques-uns, sont positifs, il est clair que sa somme s'obtiendra en retranchant, de la somme de la série obtenue en ne considérant que les termes positifs, la somme des valeurs absolues des termes négatifs.

Il ne se présente quelque chose de véritablement nouveau que pour les séries qui contiennent une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs.

Les séries de cette nature se divisent en deux classes : Pour les unes, la série à termes positifs, dont les termes sont les valeurs absolues des termes de la proposée, est convergente; pour les autres, cette série est divergente. Les premières sont dites absolument convergentes.

Il faudra justifier cette dénomination et montrer que les séries absolument convergentes, au sens qu'on vient de dire, sont convergentes, au sens du n" 174, c'est-à-dire que la somme de leurs n premiers termes tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. On établira, en outre, les propositions suivantes :

La somme (Vane série absolument convergente est égale à la somme de la série formée par les termes positifs diminuée de la somme de la série formée par les valeurs absolues des termes négatifs. Cette somme est indépendante de l'ordre des termes.

Soit

iu) a|-+- «j-!-. . .-f- a,i-h. . .,

la série proposée; soit, en général, u'^Ia valeur absolue de u,t. Par hypothèse, la série des valeurs absolues

{u) a', -h wi -H. . .-h a^-h. . .,

est convergente. Il en est de même (n° 179) de toute série formée en

3o CHAPITRE XI.

supprimant autant de termes que l'on veut, par exemple les termes qui proviennent des termes négatifs de (w), ou les termes qui proviennent des termes positifs de{u) :

Soient (P) la première série, (Q) la seconde; je supposerai que, dans (P) et dans (Q), les termes se succèdent dans le même ordre que dans (i/). Je désignerai enfin par P et Q les sommes des séries ( P) ei(Q).

Soient, en général, s„ la somme des n premiers termes de («), P« la somme des termes positifs de 5^, — Q» la somme des termes négatifs; Tun des nombres P/i, Q;, peut d'ailleurs être nul, s'il n'y a pas de termes positifs, ou de termes négatifs, dans Sn\ mais, quand n est suffisamment grand, P« et Q/, contiennent des termes, les premiers termes des séries (P), (Q); quand n augmente, P^ et Q;, augmentent ou, plus exactement, ne diminuent pas; on peut faire augmenter n assez pour que P/, et Q/, embrassent autant de termes qu'on veut dans (P) et dans (Q) ; on a donc

limP„=P, limQ« = Q

D'un autre côté, on a, quelque soit /i,

par suite, quand n augmente indéfiniment, s„ a une limite, à savoir P — Q; la série (w) est convergente et sa somme est P — Q. Enfin, cette somme est indépendante de l'ordre des termes, puisqu'il en est ainsi pour chacune des séries (P) et (Q).

En combinant la proposition précédente avec celle du n® 179, on arrive à la proposition suivante.

Si la série à termes positifs

est convergente, la série

OÙ a,, a2, . . ., 0L,i, . . . sont des nombres qui sont tous, en valeur absolue, inférieurs ou égaux à un nombre positif fixe A, est absolument convergente. Son reste, quand on la limite au terme a^t^i,, est

inférieur, en valeur absolue, au produit par A du reste correspondant de la série (v).

Telle serait, par exemple, quel que soit a:, la série

cosar cos-ia:

Les séries étudiées au n" 182

IH h

IH ar H -x^-^..,-\ ^^ ^ar«-h...,

dans le cas où x est un nombre positif, sont absolument convergentes, la première, quel que soit x; la seconde, lorsque a est plus petit que I en valeur absolue : en effet, quand x est négatif, il suffit de remplacer x par sa valeur absolue ; chaque terme est remplacé par sa valeur absolue, et l'on est ramené au cas étudié au n*» 182. Le reste de la première série, par exemple, limitée au (/i -|- !)'«•"« terme est moindre en valeur absolue que