X- -4- ol'x -4- I

a:' -h a X H- ^ en désignant par x' la valeur absolue de x.

245. Si Ton prend les dérivées /i'*™' des deu\ membres de l'égalité

gXip-« -1 — ( I H 1 1- . . . H r-"-^*

I 1.2 \ .1. . .nj

I ar x'^-^P

1.2. . .(/i -hi) 1.2. . .(n -h A) ' 1.2. . .(an -h/? -h I) on arrive à une égalité de la forme

où P/t(ar) et Qn(^) sont des polynômes en x et où Srt(ar) est une série entière en X. à coefficients positifs, toujours convergente.

Trouver l'expression explicite des polynômes ^n{^) d Qn(^); montrer que Ton a Prt(a?)= Q„(a7), que les coefficients des polynômes P»(a7) et Qn(a?) sont entiers; que la somme de la série S,i(a7) est moindre en valeur absolue que e^', en désignant par 07' la valeur absolue de x\ que, si l'on donne à x une valeur fixe quelconque, la quantité «*Qrt(^)~ P/i(^) ^-^^à vers o quand /i augmente indéfiniment; cette même quantité est positive pour x positif. Déduire de là que toutes les puissances entières de e sont des nombres irrationnels.

Évaluer le premier chilîre significatif de la différence

réduite en fraction décimale, pour a? = i, pour 37=-. Vérifier l'identité

246. Soient a et 6 deux nombres tels que le rapport r ne soit pas un

nombre entier néeatif; la série dont le /i'*"* terme est r est, comme on

" na -h o

le sait, divergente. Déterminer le nombre a de manière que la série dont

le /i'*"* terme est r — soit convergente.

na -h o n

26a CHAPITRE XIV.

Montrer que l'expression

I I I \en

tend vers une limite quand n augmente indéfiniment.

247. Soit Sa la somme des n premiers termes de la série divergente