III I

Montrer que, lorsque/) et n sont des nombres naturels très grands, la quantité

Sj^ S^ Srt diffère peu de lga~h - 'gl/ — •

On peut faire croître /> et n de façon que la quantité précédente tende vers la limite que Ton veut.

Déduire des résultats précédents que la série convergente

a pour somme lg2 et qu'on peut en ranger les termes de manière à obtenir soit une série convergente dont la somme est tel nombre que Ton veut, «oit encore une série divergente.

248. Si dans Tintervalle (a, b) la fonction f(x) admet des dérivées jusqu'au troisième ordre, on peut écrire

en désignant par a un nombre compris entre a et 6. Raisonnement analogue à celui du n° 222. Si Ton pose

on constate que la fonction ^{x), nulle pour ar = 6, s'annule pour ar = <i,

ainsi que sa dérivée première et sa dérivée seconde. Celle-ci est égale à

X — a ; — [A -i-f^isr)]; elle doit s'annuler pour une valeur de x comprime

entre a et b; d'où la conclusion.

SERIES DE PONCTIONS. 203

249. Si dans Tintervalle (a, b) la (onction /(^) admet des dérivées jusqu'au cinquième ordre, on peut écrire

9 étant un nombre compris entre a et b, ^'iO. Dans les mêmes conditions, on a

2 étant encore compris entre a ci b (^).

iHi. Si dans Tintervalle (a — h, a -h h) la fonction /(.r) admet des dérivées première et seconde, on peut écrire

6 étant un nombre compris entre o et i.

25i. Si les fonctions y(a?), g{x), h{x) admettent des dérivées première et seconde dans un intervalle comprenant les nombres a, 6, c, on a

en désignant par p, y ^^^ nombres compris entre le plus grand et le plus petit des nombres (a, 6, c).

433. Quel que soit le nombre positif/?, la série donl le (/i — i}*^"* terme est {\^n)-P est divergente.

±*>4. Les équations dilTérenlielles

< ' ; Relativement aux exercices 248, 249, 250, voyez n« 331.

OÙ M et p désignent des fonctions de x et a\ p' leurs dérivées, sont vérifiées quand on y remplace m et p par sina? et cosar. Montrer que, si a et p «ioni de« fondions qui vérifient ces équations différentielles, m' h- p* est constaal. Si, en outre, pour 0^ = 0, la fonction a est nulle et la fonction c égale à 1, on a nécessairement u = sin^r, v =■ cosx.

En supposant que les fonctions sino? et cos:i? soient développables en séries entières en x^ montrer comment on peut, en s'appuyant sur les résultats pr»*cédents, déterminer les coefficients de ces séries. Montrer que les séries trouvées ont bien pour sommes respectives sinx et cosj^.