Limites, pour x = o, de

x — ^\ï\x I — cosr sina: (i-na*)' — e

(c*— i)*' chx — I sin*^* ' X

{1-^ x) — (i — x)e' a- — sin.r r-i- -|

i L— '. — , , sinarlffa:, x^*^'\ e -• tansa^:

sh»^? tanga- — j- ^ *

dans les trois dernières, on suppose que x tend vers o par \aleurs positives. Limite pour a? = -f de

Ig tangap — tang ( ^ — t ) tang»/a-— -^j

256. Quelque petit que soit le nombre positif e, on peut trouver des valeurs de X positives et moindres que s telles que la fonction

X ' soit aussi petite ou aussi grande que Ton voudra.

257. Si l'on convient d'attribuer à la fonction e •**' la valeur o pour a: = o, celte fonction est continue et admet des dérivées de tous les ordres; montrer que ces dérivées sont toutes nulles pour x = o. Cette fonction peut-elle être développée en une série entière en a??

258. Si a, ^, ..., X sont des nombres différents, il ne peut pas y avoir de polynômes (en a*), A, B, .... L tels que l'on ait, pour toutes les valeurs de x,

SÉRIES DK FONCTIONS. ^65

259. Il n'y a pas de polynôme en x^ y qui devienne nul quel que soit x^ quand on y remplace y par e^. Il n'y a pas de polynôme en a?, y qui devienne nul, quelle que soit la valeur positive de x, quand on v remplace y par Ig^.

i60. On considère, sur un cercle de centre O et de rayon i, un point fixe A et un point variable M : on prendra pour infiniment petit principal l'arc AM = x. Évaluer la partie principale des infiniment petits

PM, AM, AT, PA, Al, MT, AT - a, a — AM, AI H- IM — AM, AÏH-AM — 3?» aire AIM.

P est la projection du point M sur OA, T et 1 sont les intersections de la tangente en A avec le rayon OM et la tangente en M.