Quelle est la limite, quand x tend vers -h », de

x \\ x'^ -H sfx^ -H I — x y/'x ) ?

S62. En désignant par ai, 6|, C], ..., a„, b„, c„ des constantes, parmi lesquelles on suppose que ai, «j, ..., an sont positifs, on demande de déterminer des nombres a, ^ tels que l'expression

/rttx*-i- ib\X -\- C| -+-/ajj'--f- i^ja: -f- Cj-h. . ^

-h y/ Un X^^lbnX -hC„ — tx — ^

tende vers o quand x tend vers h- ao. Les constantes a, p étant ainsi déterminées, quel est le signe de l'expression précédente pour de grandes valeurs dftx1

APPLICATIONS A L'ÉTUDE D'UNE FONCTION, A LA SÉPARATION ET AU CALCUL DES RACINES D'UNE ÉQUATION.

§ i. — ÉTUDE DE LA VARIATION D'UNE FONCTION DONNÉE.

218. Quand on veut étudier la variation d'une fonction /(j^)? donnée explicitement, la première chose à faire est de déterminer les intervalles dans lesquels la fonction est réelle et continue.

Si, en particulier, l'expression de la fonction contient des radicaux d'indice pair, des logarithmes, etc., on n'oubliera pas que les quantités dont on a à extraire la racine, ou à prendre le logarithme, doivent être positives. Les valeurs de x pour lesquelles la fonction cesse d'exister, et celles pour lesquelles elle est discontinue seront des bornes des intervalles que Ton aura à considérer.

Toutes ces valeurs de x doivent être rangées par ordre de grandeur.

On étudiera ensuite le signe de la dérivée, en se bornant aux valeurs de x qui appartiennent aux intervalles où la fonction existe : on notera les valeurs particulières pour lesquelles cette dérivée est discontinue ou infinie ('). On cherchera ensuite les valeurs pour lesquelles elle s'annule, parce que, si elle est continue, elle ne peut changer de signe qu'en s'annulant; on retiendra celles de ces valeurs pour lesquelles elle change effectivement de signe. Parmi les valeurs de x^ telles que la dérivée soit discontinue ou n'existe pas, valeurs

(*) A proprement parler, elle n'existe pas quand on dit quVIle est infinie.

APPLICATIONS A l'BTLDB d'uNE FONCTION, ETC. 267

que je suppose isolées et en nombre fini, c'est aussi celles pour lesquelles la dérivée change de signe qu'il faut conserver. Toutes les valeurs de x ainsi conservées, rangées par ordre de grandeur, sont intercalées dans le tableau primitif. Le champ de variation de la variable X est ainsi décomposé en intervalles partiels tels que, à V intérieur de chacun d'eux, la fonction soit continue, et que sa dérivée ait un signe constant.

Les bornes de ces intervalles sont les valeurs de j: où la fonction

cesse d'exister, où elle est discontinue, où la dérivée change de signe.

Pour simplifier le langage, je conserve le nom A^ intervalle à des

symboles tels que ( — oo, a), (P, -f-oo) qui désignent l'ensemble des

nombres inférieurs où égaux à a, supérieurs ou égaux à ^.

Il suffit d'étudier comment la fonction varie dans chacun des intervalles partiels ainsi formés. Considérons l'un de ces intervalles; à rintérieur, la fonction est toujours croissante ou toujours décroissante : on sait distinguer les deux cas par le signe de la dérivée ou, lorsque la fonction est continue dans tout l'intervalle, y compris les bornes, par les valeurs qu'elle prend pour ces bornes. S'il y a, à l'intérieur de l'intervalle une valeur pour laquelle la dérivée n'existe pas, il n'y a pas, pour ce qui concerne le sens de la variation de la fonction, à s'en préoccuper.

On a ensuite à porter l'attention sur les bornes. Lorsque x s'approche indéfiniment d'une de ces bornes, la fonction, qui, dans l'intervalle, varie toujours dans le même sens, ou bien tend vers une limite, ou bien tend vers -+- xi ou vers — a?. On sera certainement dans le premier cas si la fonction est continue pour la borne que l'on étudie : les deux autres cas se reconnaîtront sur l'expression donnée; d'ailleurs, s'il s'agit, par exemple, de la borne supérieure et si la fonction ne tend pas vers une limite, elle tend évidemment vers -h oo si elle est croissante, vers — oo si elle est décroissante; c'est l'inverse quand il s'agit de la borne inférieure. Des remarques analogues s'appliquent encore lorsque x tend vers -h oo ou >ers — oo.

H n'y a rien de plus à dire si la borne considérée limite un intervalle au delà duquel, ou en deçà duquel la fonction cesse d'exister.

Supposons que la borne considérée, que j'appellerai 6, sépare deux intervalles où la fonction existe : b est la borne supérieure d'un premier intervalle, la borne inférieure d'un second intervalle. Si la fonction est continue pour x = b, c'est que, d'après la façon dont on a

formé les intervalles, la dérivée change de signe pour x= b soilen s'annulant, soit en devenant discontinue ou infinie (*).

Lorsque x traverse la valeur b en croissant, la dérivée peut passer du positif au négatif ou du négatif au positif; dans le premier cas, la fonction est croissante pour les valeurs de x inférieures à è, elle est décroissante pour les valeurs de x plus grandes que b ; lorsque x traverse la valeur 6, la fonction cesse de croître pour décroître ensuite : elle passe par un maximum ; si, au contraire, la dérivée passe du négatif au positif, la fonction, pour x = b^ cesse de décroître pour croître; elle passe par un minimum. On aura à calculer la valeur de ce maximum ou de ce minimum.

Lorsque la fonction est discontinue pour x = 6, on a à reconnaître si, quand x croît et traverse la valeur 6, la fonction passe de -f-x à — oc, de — X à -h 30 ; si, tout en devenant infinie pour x = b. elle garde son signe; si elle passe brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie, d'une valeur finie à ±: oo, ou bien de iti x à une valeur finie, quand on passe d'un intervalle à l'autre.

Il peut d'ailleurs arriver que l'expression même de la fonction devienne illusoire pour certaines valeurs de la variable. On a enfin à reconnaître comment elle se comporte pour j? = dz x. J'ai indiqué, à la fin du Chapitre précédent, la marche à suivre pour lever les difticultés de cette nature.

Il sera toujours bon de résumer dans un graphique l'étude de la variation d'une fonction, soit qu'on représente, au fur et à mesure, la variation de la fonction par un trait de courbe, dans chaque intervalle dont on a fait l'étude, soit qu'on ne construise la courbe qu'après avoir terminé l'élude analytique.

Relativement à ce graphique, les valeurs de la variable qui rendent la dérivée nulle, infinie, discontinue, sans que, pour cela, la déri>ée change de signe, et qui ne figurent pas comme bornes des intervalles que j'ai décrits plus haut, ne sont pas sans intérêt. Si la dérivée s'annule pour x = Xqj c'est que la tangente au point d'abscisse Xo est parallèle à l'axe des x] si elle s'annule sans changer de signe, c'est que la fonction continue de croître ou de décroître; le

(' ) On est dans le premier cas si la dérivée est cunlinne ; la fonction y = x fournil, pour X = Oj un exemple du second cas.

APPLICATIONS A LÉTUDE d'lNE FONCTION, ETC. 269

trait de courbe traverse la tangente au point d'abscisse Xo, qui est un point ^inflexion {fig* 745 75).

Fig. 74.

Fig. 75.

Examinons maintenant le cas où la dérivée devient infînie sans que la fonction soit discontinue, et supposons d'abord qu'il s'agisse de la borne d'un intervalle (a, è), par exemple de la borne inférieure a. En disant que la dérivée f'{x) de la fonction /(x) devient infinie pour jT = a^ on entend que la fonction /'(a?) devient infiniment grande <|uand X s'approche de a par valeurs plus grandes que a : il importe

de remarquer que, dans ce cas, le rapport -^ — = est lui-

niéiTie infiniment grand quand h tend vers o par valeurs positives; ce rapport, en efl'et, en vertu du théorème du n" 215, dont la démonstration ne suppose pas l'existence de la dérivée pour j; = a, est égal à y^(a -f- 6/i), 6 étant compris entre o et 1 ; or, par hypothèse, cette expression est infiniment grande, quand k est infiniment petit. Cela revient à dire que la droite qui joint le point de la courbe dont les coordonnées sont a, f{u) au point voisin, dont les coordonnées sont Cl -{- li^ f{a-\- h)^ tend à devenir parallèle à Taxe des y^ ou encore que la tangente à la courbe, au premier point, est parallèle à cet axe.

Supposons maintenant que, pour x = Xo% la fonctiony(j:") soit continue, mais que la dérivée soit infinie, sans changer de signe; on verra comme tout à l'heure que, au point d'abscisse Xo, la tangente est parallèle à Taxe des y et que la courbe traverse sa tangente en ce point, qui est un point d'inflexion.

Enfin, supposons que, pour x :^ Xq, il y ait une dérivée à droite et une dérivée à gauche, et que ces deux dérivées soient différentes; la courbe présentera, au point correspondant, un point anguleux (n*»207).

249. La méthode précédente, toutes les fois qu'on peut décomposer l'intervalle ou les intervalles dans lesquels la fonction est définie en intervalles partiels où la dérivée garde un signe constant, permet de se rendre compte du sens dans lequel la fonction varie.

La formule de Taylor (n" 232) et, plus généralement, les expressions approchées que Ton a appris à former dans le Chapitre précédent permettent d'obtenir des renseignements plus précis pour ce qui concerne Pallure de la fonction aux environs d'une valeur a de la variable. Supposons, par exemple, qu'on soit dans le cas où la formule deTaj'lor est applicable, de sorte que, en posant x = a ^ h, h fonction y*(x) se mette sous la forme

H r'^Ua)^ îi- /(«+«>(« -+-eA),

i.>.. ../!•' ' i.2...(/i -t-n*' ou

. I.'i.. ./l - ^ I.A.. .(/I-HI)'' ^ ^

0 étant un nombre compris entre o et i ; je suppose que la dérivée y(//-f-i)^j,j est bornée aux environs de a. Je suppose en outre que les coefficients de A, A^, ..., A" ne sont pas tous nuls. Dans ces conditions, le premier des termes en A, A^, . .., A" qui n'est pas nul, fait connaître dans quel sens la fonction varie. On reconnaît en particulier que, si la première des dérivées qui ne s'annule pas pour x= ^ est d'ordre impair, la fonction est croissante ou décroissante pour X =^ a suivant que cette dérivée est positive ou négative, que cette fonction passe, pour j? = a, par un minimum ou un maximum si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre pair, suivant que cette dérivée est positive ou négative.

Racines multiples. — Les formules (i) ou (2), par leur analogie même avec les formules qui se rapportent aux polynômes, invitent à généraliser la notion de racine mulliple et d^ ordre de multiplicité.

En conservant toujours les mêmes hypothèses, supposons que a soit une racine de l'équation /(x) = o, en sorte que /(a) soit nul.

APPLICATIONS A l'ÉTUOR d'L'NE FONCTION, KTC. 27 1

Supposons, en outre, que les dérivées f'ioc)^ /'^{^')i •■•? /^^~*^{^) s'annulent pour :f =: ^, et que la dérivée f^P^ (x) ne s'annule pas pour X = a^ p étant inférieur ou égal à //; il sera tout naturel de dire que a est une racine d'ordre de multiplicité/? de la fonctiony(:r).

Ainsi, pour parler de Tordre de multiplicité d'une racine a de l'équation f{x)^ il faut, d'une part, que la formule de Tajior soit applicable pour les valeurs x = a -f- A suffisamment voisines de a et qu'on puisse pousser le développement assez loin pour que l'ordre du terme complémentaire dépasse l'ordre de la première dérivée qui n'est pas nulle pour x = a, ce terme complémentaire étant borné aux environs de a. Ces conditions seront vérifiées sûrement si la fonction fia -f- A) est développable en une série entière en h.

Par exemple o est une racine double pour l'équation i — cos a? = o, c'est une racine triple pour l'équation

comme le lecteur le reconnaîtra sans peine.

Il peut très bien arriver qu'on ne puisse pas attribuer un ordre entier à une racine d'une équation; tel serait le cas pour les équations ^x = o, j — = o qui doivent être regardées comme admettant la racme o.

Si a est une racine multiple d'ordre /> de l'équation /(a? ) = o, on peut écrire, en vertu de la formule (2),

f(x)^(x — a)ng{x),

g(J^) étant une fonction de x^ continue pour :r = a, qui, lorsque X tend vers a, s'approche indéfiniment de la quantité non nulle

Si a est une racine d'ordre de multiplicité p^ la courbe qui représente la fonction traverse, ou non, l'axe des .r au point d'abscisse a, suivant que p est impair ou pair.

Concavité, convexité, points d'inflexion. — Après cette digression, revenons à l'étude, dans le cas général, de lu fonction f{x) pour les

valeurs de x voisines de a, en supposant toujours que les formules (1) ou (2) s'appliquent dans les conditions que Ton a dites. Désignons par A le point d'abscisse a situé sur la courbe qui représente la fonction.

La courbe qui a pour équation

est très voisine, aux environs de A, de la courbe qui représente la fonctionj^ = /(a:), d'autant plus voisine, en général, que p est plus grand. En particulier, la droite ayant pour équation'

est la tangente en A à cette courbe ; la différence entre les ordonnées des points de la courbe et de la tangente qui ont même abscisses esl

ou, si l'on préfère,

cette différence, qui s'annule pour A = o, (^ = «r), est un infiniuienl petit du second ordre, quand on prend h pour infiniment petit principal, et que f" {a) n'est pas nul. Elle est, en supposant que h soit suffisamment petit en valeur absolue, positive ou négative suivant que le nombre y"(a) est lui-même positif ou négatif; dans le premier cas, la courbe est au-dessus de la tangente, aux environs du point A, et l'on dit que, en ce point, la courbe tourne sa concavité vers les v positifs y ou vers le haut, qu'elle tourne sa convexité vers les v négatifs ou vers le bas; dans le second cas, la courbe est au-dessoii> de la tangente, et l'on dit qu'elle tourne sa convexité vers \es y positifs, ou vers le haut, qu'elle tourne sa concavité vers les y négatifs, ou vers le bas.

Si l'on a f"{x) > o pour toutes les valeurs de x qui appartiennent

APPLICATIONS A l'ÉTUDE D'UNE FONCTION, ETC. '273

à rinlervalle (a, P), la concavité sera tournée vers le haut sur tout l'arc de courbe correspondant à cet intervalle : il est à remarquer que, dans ce cas, la pente /'(x) de la tangente à la courbe va en croissant

Fi g. 76.

avec X] ce serait le contraire si l'on avait /"(.r) < o dans l'intervalle (a, j3). Il est clair, sur la figure, que, dans le premier cas. Tare de courbe est au-dessous de la corde qui joint ses extrémités, qu'elle est au-dessus dans le second cas, je laisse au lecteur le soin de démontrer analytiquement qu'il en est ainsi.

Si /"(a) est nul sans que /"^(a) le soit, on voit que, au point A, la courbe traverse sa tangente, et que la difl'érence entre l'ordonnée de la courbe et celle de la tangente est un infiniment petit du troisième ordre. On dit alors que le point A est nn point d'inflexion; si

l'on a y"' (a) >> o, la fonction f"{x) est croissante pour x= a, elle est donc négative pour les valeurs de x un peu plus petites que a, positive pour les valeurs de x un peu plus grandes que a : les mêmes conclusions ressortent de la formule

274 CHAPITRK XV.

on voit que, lorsque x croît et traverse la valeur ûf, la courbe qui, pour les valeurs de x un peu plus petites que a, tournait sa convexilé vers le haut, tourne sa concavité vers le haut lorsque x est un peu plus grand que a\ en un point d^inflexion, la convexité change de sens. Il est à peine utile de dire que, si f" {a) est négatif, la courbe tourne d'abord sa concavité vers le haut, puis sa convexité.

Si f"{o), f'"{a), ... étaient nuls, c'est la première dérivée non nulle qui indiquerait, par son signe, lorsqu'elle est d'ordre pair, si la courbe est au-dessus ou au-dessous de la tangente en A, et, lorsqu'elle est d'ordre impair, si la courbe est d'abord concave ou convexe : lorsque cette dérivée est d'ordre impair^ il y a inflexion.

Si, plus généralement, on considère la courbe dont l'équation est

la diflerence entre l'ordonnée de la courbe dont l'équation est r =/(x) et de la courbe approchée, est

En supposant f^P^^^{à) différent de o, on voit que cette différence, qui est un infiniment petit d'ordre p -h i lorsqu'on regarde A ou x — a comme l'infiniment petit principal, change de signe ou ne change pa;» de signe, avec A, suivant que/? est pair ou impair; les deux courbes, qui sont tangentes dans les deux cas, se traversent en A, dans le premier cas, ne se traversent pas dans le second. On dit qu'elles ont un contact du z?'*""^ ordre (*).

On a supposé, dans ce qui précède, que la formule de Tajlor était

(') D'une façon générale, si les deux fonctions f{x) et <p(x) sont égales pour X = a, ainsi que leurs dérivées premières, secondes, ..., /?'*■••, et si leurs dérivée* (/> + i )'*"*'• sont distinctes, on dit que les deux courbes dont les équations sont y — f{x )^ y = ^{x), qui ont un point commun A, d'abscisse a, ont en ce point un contact du /?•*•"" ordre; ainsi elles ont un contact simple si l'on a

<p(a) = /(a), cp'(a) =/'(a), ^"{a) ^^fia).

Elles se traversent ou ne se traversent pas en A, suivant que p est pair ou impair, comme on le voit de suite en formant la différence des ordonnées de ces deux courbe» qui répondent à une même abscisse. Cette différence est un infîniment petit du (/j-hi)»*"* ordre quand on prend x — a pour infiniment petit principal.

APPLICATIONS A l'ÉTL'DE d'uNE FONCTION, ETC. 275

applicable à la fonction f{x) pour les valeurs de x voisines de a. S'il en est autrement, on cherchera, comme on Ta expliqué dans le Chapitre précédent, à se procurer quelque autre formule d'approximation qui pourra mettre en évidence soit la continuité de la fonction, pour j? = <7, lorsqu'on lui attribue sa vraie valeur, soit quelque discontinuité : le cas de discontinuité le plus simple est celui où la courbe est asymptote à la parallèle à Taxe des y dont l'équation est jc = rt; elle peut d'ailleurs être asymptote en haut et en bas, en haut seulement, ou en bas seulement, des deux côtés ou d'un coté seulement. On aura à étudier comment la fonction se comporte quand x s'approche de a par valeurs plus petites, ou par valeurs plus {grandes que a. Les formules d'approximation, quand on en a, fournissent des courbes, d'équations plus simples que la courbe proposée, qui en sont très voisines quand x est voisin de a.

Asymptotes. — Il y aura lieu, en particulier, lorsque la fonction /(.r) est définie pour les grandes valeurs absolues de x^ d'étudier comment la fonction se comporte pour ces valeurs; on pourra poser u:= -7, et étudier la fonction /( — ) pour x' voisin de o. 11 peut

arriver que la fonction /( — ) puisse être développée suivant les puissances croissantes de x', et que le développement commence par un polynôme en — ; cela revient à dire que la fonction /(j?) est susceptible, lorsque x est suffisamment grand en valeur absolue, d'être mise sous la forme

fix) = AoX^»-h A, a""-» -h... -h X„i-hai ha^—- -h. ..,

en sorte que la fonction, lorsque x est infiniment grand, diflere infiniment peu du polynôme AoX'"-{- \i x'""* -{-... H- A|„; la courbe définie par l'équation j' = A© J?"* -{- A, j?"*"' -}-. . .H- A;,, est asymptote à la courbe définie par l'équation ^ =y(x) ; si, en particulier, m est

é^^aA à I, on a affaire à une asymptote rectiligne.

Considérons, par exemple, la fonction^ = (a^ 4- ^) e^; on pourra écrire

= aa? H- a -h ,3 -H [ - -+- ? ] - -h ... ;

la courbe est asymptote à la droite doiitl'équatioiiesty = ax-h-a-}-3; lorsque x tend vers 4- 00, elle est au-dessu<î ou au-dessous de son

asymptote suivant que — h ^ est positif ou négatif; c'est l'inverse quand x tend vers — 00 ; si — h ^ était nul, on devrait recourir au terme en—;» etc.

On trouvera dans le numéro suivant divers exemples où les méthodes et les notions qui précèdent seront appliquées à l'élude de la variation d'une fonction donnée f{x)- On verra, en particulier, que cette étude fournit des renseignements précieux sur les racines de l'équation f(x) = o^ ou de l'équation plus générale f[x) = A. A désignant une constante donnée. A. cet égard, on utilisera fréquemment la proposition suivante ; si dans l'intervalle (a, b) la dérivée f'{x) garde un signe constant, la fonction /(j:), étant constammenl croissante ou constamment décroissante lorsque x croit de a à é, prend une fois seulement chacune des valeurs intermédiaires à /(a) età/(6), et n'en prend pas d'autres, en sorte que l'équation /(j:)=o admet une racine et une seule, comprise entre a et è si /"(a) el /(6) sont de signes contraires et n'en admettra pas si /(o) et f{b) sont de même signe. Il est entendu que la fonction f{x) est supposée continue dans l'intervalle (a, 6). On reviendra d'ailleurs un peu plus tard sur cette proposition.

On dit qu'une racine de l'équation f(^x) = o est séparée lorsque l'on connaît deux nombres a, p qui comprennent cette racine et qui ne comprennent que celle-là. Séparer les racines de l'équation /(x) = 0, c'est séparer chacune de ses racines, l'enfermer dans un intervalle (a, p) qui ne contienne pas d'autre racine que celle-là, La séparation des racines d'une équation numérique /(x) = o est le premier pas à faire pour la résolution de cette équation. Elle est liée, comme on le verra suffisamment sur les exemples, à l'étude de la variation de la fonction /(x).

2o0. Je vais appliquer les méthodes précédentes à quelques exemples.

Relativement aux graphiques qui représentent une fonction y = /(x)^ dont les coefficients sont numériques, je crois devoir faire l'observation suivante :

APPLICATIONS A l'bTUDE d'UNE PONCTION, ETC. 277

Eq parlant d'axes coordonnés, j'ai toujours supposé que l'unité de longueur était choisie en même temps que les axes; toutefois, on peut désirer faire le dessina une autre échelle, le faire en choisissant pour uQÎté de longueur un segment de droite qui, avec l'ancienne unité, serait mesuré par le nombre a. On pourra conserver l'ancienne unité de longueur, quitte à remplacer l'équation^ :±=/(j7) par l'équation - =y[- j. Toutes les courbes que l'on obtient ainsi, en faisant

varier a, sont évidemment homothétiques entre elles, par rapport à l'origine.

Considérons la fonction y=zx^-\-px-\-q\ on en simplifiera l'étude en supprimant le terme constant q qui n'influe pas sur le sens delà variation; on va donc étudier la fonction^ = x' H- /?J7, ou la courbe qui représente cette fonction; la recherche des racines de l'équation x^-\-px-\-q=zo revient évidemment à la recherche des abscisses des points d'intersection de cette courbe et de la droite dont Téquation est ^ = — q.

Les dérivées première et seconde Ae y =z x^ -\- px sont respectivement j^= Sx* 4-/?, y = 6a:.

La fonction j^ = j:' -h />x est impaire; la courbe qui la représente est symétrique par rapport à l'origine. Elle passe par cette origine; la tangente en ce point a pour équation y=/?x; la courbe est au-dessus de sa tangente pour x > o^ au-dessous pour x <io\ l'origine est un point d'inflexion; la courbe tourne sa concavité vers le haut quand x est positif, vers le bas quand x est négatif.

Relativement au signe de ^ il y a lieu de distinguer trois cas : /^ > o, /> = o, /? < o.

Dans le premier cas, la dérivée est constamment positive, la fonction j^ constamment croissante ; elle croît de — oo à -+- ûo quand x croît <le — X à -H 00; elle atteint une fois et une seule fois la valeur — y, pour une valeur positive ou une valeur négative de x^ suivant que q est négatif ou positif. En d'autres termes, l'équation x^ + px -h gr = o admet une racine, et une seule, de signe contraire à q. On reconnaît

aisément que la valeur absolue de cette racine est inférieure à - • ^ \p\

II n'y a presque rien à changer dans le cas où p est nul; seulement la tangente à l'origine est l'axe des x\ la racine unique de l'équation JT* -hpx -i- q =zo est alors y/ — q. Supposons maintenant que p soit

négatif. La dérivée s'annule pour x = — 1/ — ^ et x = on voit de suite que y croit lorsque x croit de — x à -

décroît quand x croit de — l/— Ç à l/— ^ ^ croit lorsque x cnùl de cette dernière valeur à 4- x); les deux racines de la dérivée correspondent Tune à un maximum, l'autre à un minimum; les valeurs de

Fig-

ce maximum et de ce minimum s'obtiennent en remplaçant j: par le^ racines de la dérivée dans x'* -h/>^, ou mieux dans le reste -..-x de la division de x^-hpx par l^x'--\-p. Le schéma ci-dessus dunne une

APPLICATIONS A l'ÉTUDE D^UNE FONCTION, ETC. 279

idée suffisante de la courbe, qui rencontre Taxe des x aux points d'abscisse — y/ — /?, o, \J — />. Il est clair que la fonction x^-^-px atteindra une fois au moins la valeur — q\ elle l'atteindra une fois seulement si — q n'est pas compris entre les valeurs du maximum et du minimum de x^-\-px^ c'est-à-dire si la valeur absolue de q n'est pas inférieure à la valeur absolue des deux nombres symétriques

que l'on obtient en remplaçant a; par ± l/ — ^ dans -i^x, ou encore si Ton n'a pas

q^ < (^)* (- 5) ou 4^»+ .27^î< o.

La racine unique de x'^-i- px -+- q est du si^ne de — q.

Dans le cas ou 4/>'4- '^77^ est nul, — q est égal soit au minimum, soit au maximum de x^-^px; l'équation x^-^px^q=:o a une racine (double) commune avec l'équation dérivée 3x'^-\-p = o; cette

racine double s'obtient en égalant à o le reste ^x -h 7 de la division

dex^-^px -h q par 3x'--\-p', elle est égale à — ^-î»

Lorsque l'on a ip^-\- 2'j q'^ <C o, l'équation a trois racines réelles : une dans chacun des intervalles de la suite

Chaque racine est donc séparée.

La condition 4/^' H- ^7q^< <> implique /> -< o; elle est dans la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation x^ -\- px -f- gr = o ail ses trois racines réelles et distinctes.

(Considérons la fonction ^ = c*-^sina:, où je supposerai a positif : cette fonction est toujours du même signe que sin:r, s'annule pour toutes les valeurs de T de In forme /itt, où n est un nombre entier, est positive dans Tinlervalie |amc, (2/1 -f- 1)?:], néjçative dans l'intervalle [('2/1 — 1)1:, xmz]. La dérivée de y est ^'= r*-' ( a sinx-h cosa:); elle s'annule pour l'angle — 10,

i'ompris entre o et — -> dont la tangente est > et pour tous les angles

n-r: — u>; dans chacun des intervalles où ^ est positif, il y a un maximum; il y a un minimum, dans chacun des intervalles où y est négatif; les valeurs des manima et des minima sont données par la forniule

(__ j^/i-»-igautii-w.i sinui.

28o CHAPITRE XV.

Ces valeurs deviennent très grandes dès que le nombre mz devient un peu grand, en supposant n positif. Au contraire quand n est négatif, et que/ia est grand en valeur absolue, la valeur du maximum ou du minimum s'écarte très peu de o. La courbe qui représente la fonction présente une infinité d oscillations très inégales en hauteur; elle s'éloigne beaucoup de Taxe des t H'uo côté, tout en le traversant toujours aux points d'abscisse égale à me, de l'autre côté, elle s'aplatit de façon à se confondre avec lui. Je laisse au lecteur le soin de la construire, et de déterminer les points d'inflexion.

La fonction y = e*" /.r*-i- ix n'est réelle que dans les intervalles (— », — 2). (o, -f-00); sa dérivée est

xy/x'^-

il n'y a pas lieu de considérer la racine — /î; on reconnaît de suite que la fonction est décroissante dans l'intervalle {— 00,-2), dans rinterxallc (o, /iet qu'elle est croissante dans l'intervalle (/a, -h 00). /^ correspond à un minimum dont la valeur est

a = é^^\i -+-'2/2 = 4,78 environ.

Lorsqu'on veut se borner à un dessin, même assez précis, il suffit de faire les calculs assez grossièrement, par exemple, avec des tables de logarithmes (vulgaires) et d'antilogarithmes à quatre décimales; on aura ainsi

loga= — 4-llog 4,8284 (M = loge),

IVl I M

log — = = logM — - log-2 = r,5273 ; — = = 0,336;,

loga= 0,6793, a = 4,778;

la valeur a = 4,78 sera d'une exactitude plus que suffisante. On a d'ailleurs

/x« -\- 'IX = 3- -h I H. . . ,

xx '

si X est positif et très grand, et

sjx'^-^ix = — /a- -h I — '- f. , . ) ,

si X est négatif et très grand en valeur absolue; on en conclut, en multipliant par c* = I -4-- -h f...^ que l'on a, dans le premier cas, j^ = ar-h2-H "-4-...: