Soit Xn la racine comprise entre o et ~ de l'équation

tangâ7 — 37= /ïir,

où n est un nombre naturel donné; montrer que x^ augmente avec n et tend vers — quand n augmente indéfiniment.

La série à termes positifs

est divergente.

282. On considère un rectangle de carton dont les côtés sont a et 6 (a > 6) ;

on trace à Tintérieur du rectangle des parallèles aux côtés, à une distance a? < -

de ces côtés; on supprime les quatre petits carrés qui se trouvent ainsi délimités aux quatre coins du rectangle, et Ton plie le carton le long des lignes tracées, de manière à former une boite rectangulaire ouverte, de hauteur x

1^ En regardant a et 6 comme donnés, déterminer x de façon que le volume de la boite soit le plus grand possible; calculer l'expression «p(a, 6) de ce volume maximum en fonction de a et de b.

2" On se donne la surface /n* du rectangle de carton ; déterminer a et 6 de manière que Q>(a, b) soit le plus grand possible.

283. Trouver avec trois chiffres significatifs exacts les racines des équations

x^->rx — looo = O, sinir=-> x — -sina7=7,

e^ = , IgC ar H- v^iH-or*) = •

2 — X lOOOO " lOO

*284. Trouver avec trois chiffres significatifs exacts la plus petite des racines

positives des équations

c-** sinar = 7, c-*' sin jt = 10000.

â85. Que donnent la méthode de Newton, ou la méthode d'interpolatioo. appliquées à une équation du premier déféré, quand on prend pour valeur» approchées de la racine des nombres quelconques.

586. Soit (C) la courbe dont Téquation est ^ = a-^— i. Par un point M <ie Taxe des :r, d'abscisse plus petite que 1, on ne peut lui mener qu'une taogeDte. Comment varie Tabscisse du point de contact a>ec Tabscisse du point M?

Soient Ai le point de contact de la tan»;ente issue de Torij^îne des coordonnées et A'j la projection du point A, sur Taxe des x\ soient, de même, A, le point de contact de la tangente issue du point Aj et A, sa projection ^ur Taxe des X, Aj et A, le point de contact de la tangente issue du point Aj et sa pr(*-

jection sur l'axe des a*, .... Montrer que les abscisses ai, aj, , i«, ... à<ti

points A|, Aj, ..., A;,, ... forment une suite lie nombres négatifs dont b valeurs absolues croissent indéfiniment. Soit a un nombre qui n'appartienne pas à cette suite; montrer que la suite

•la'-hi -la^-ri 'i.a\-r-\

"'^-T^i-' '''=—5^' "'=~3âr' ■■■

formée, d'après la méthode de Newton, en partant du nombre a, a pour limite l'unité. Qu'arrive-t-il quand on forme la même suite à partir d'un nombre a qui appartient à la suite 21, a^, . . . , z„, ... ?

287. Appliquer la méthode de Newton à l'extraction de ta racine carrée d'un nombre positif A.

Montrer que, si Ton pose

on a

limite de x^ pour n infini.

Si l'on prend A = 2, x = 4 ? quelle erreur commet-on en prenant pourv'^ ^^ valeurs x^ ou ar^?

288. Soient a et ^ les racines réelles ou imaginaires de l'équation ax^ -r 'jibx -h c = o,

APPLICATIONS A l'ÉTL'DE D'LNE PONCTION, ETC. 3'2l

cloni les coefficients peuvent être réels ou imaginaires, nuiis dont on suppose les racines différentes. Soit x un nombre quelconque, assujetti seulement à être représenté ( n" 9.')) par un point qui soit inégalement distant des points qui figurent les nombres a, fl>. Soit ensuite

nx*'-^ t.hx -\- c ax* — c

■i{ax-\-b) Àiax-i-b)

(1X7 — C Xi= ■ 7-,

•i( axi-^ b) ax\ — c

•}.{axt-i- b)

une suite de nombres formée en appliquant la méthode de Newton à partir du nombre x\ montrer que le point Xa a pour limite, quand n augmente indéfiniment, celui des points a. ^ qui est le plus voi<^in du point x. On n)ontrera, pour rela, que l'on a

La suite X\y x^, . . ., x^, ... ne peut avoir aucune limite, pour n infini, quand le point X est également distant des points x, ^.

ÉQUATIONS ALGÉBRIQLES.

§ i. - RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. FONCTIONS SYMÉTRIQUES.

258. On a vu au n" 113 qu'une équation du /?**"** deg^ré (i) \oX"-h A|3'"-'-f-.. .-h A«i jr-f- A„ = o

à coefficients réels ou imaginaires A©, A,, ..., A„ (Aop^ o) a\ail n racines réelles ou imaginaires r^^ /'a. ..., r„, distinctes, ou non. Si ces racines ne sont pas toutes distinctes, il faut entendre que, dan< la suite /'i, r^, ..., /•„, chaque racine distincte figure autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. Dans ces conditions, on a identiquement

(2) AoJr"-H Aia-«-»-4-. . .-h A|,iJ^-+- A„= Ao(^ — ri)(x — r»), . .(a- — r^ );

d'où, en développant le second membre, en l'ordonnant suivant le> puissances dex, et en égalant dans les deux membres, di\isés par Af, les coefficients de la même puissance de j\ on tire les égalités

ri /'î . . . r,, -h . . . -*- /•;,- ,,+. r,,,,H8 .../•„ = (— i )/' -^ ,

Ao

Ces relations qui fournissent l'expression, au moyen des coeflîcients, de la somme des racines, de la somme de leurs produits deui à deux, trois à trois, .,,, p k p, . . . , de leur produit proprement dit,

ÉQL'ATIONS AI.GÉBRIQtES. '3'i3

sont fondamentales : elles permettent d'écrire immédiatement^ les coefficients d'une équation du ^î'^"* degré dont on donne les n racines. Je les écris explicitement pour une équation du troisième degré Agj'-i- A| J7*-}- A-i.r -f- A3= o :

Al rx -+- /j H- /'a = — — , Ao

Réciproquement, si n nombres r,, /-j, .., r,, vérifient les équations (3), il est clair que Tégalilé (2) sera vérifiée identiquement en X et que i\, /••>, . . ., r„ seront les n racines de Téquation (i). En d'autres termes, la résolution de l'équation (1), à une inconnue a*, ou la résolution des n équations (3) à n inconnues /'i, /.j, ..., /-,/, sont deux problèmes équivalents.

259. Fonctions symétriques des raoines d'une équation. — r Soient r,, /'a, . . ., /•„ les n racines de l'équation

il) Aoa-"-f- Aia-" '-r-.. -h A„ = o.

On appelle fonction symétrique de ces racines une fonction. f{ j:,, ./-j, .... Xn) des // variables X|, ^2, .... x„ qui prend toujours la même valeur quand on remplace oTi, x^, ..., x,i parles nombres /*,, /-j, ..., r„, quel que soit l'ordre dans lequel ces nombres sont rangés.

Pour constater que/(X|, Xa, • . ., r,,) est une fonction symétrique des racines de l'équation (i), on a donc à former les n\ arrangements n à /i des nombres z^, /-.j, .... /'«, à substituer, à la place de .ri,X2, ..., Xtt-! dans/(X|, x^-, ..., x«j, les n nombres qui constituent chaque arrangement et à constater que les n\ résultats obtenus sont égaux.

Une pareille constatation est en général difficile; elle suppose que r^'^quationfi) soit résolue et implique de longs calculs. Voici quelques ei^einplcs où elle est aisée :

Soient /'i, Ta, /'s les trois racines de l'équation x-^ -^ px -j- ^ = o; je vais montrer que x\ — x^^x^ est une fonction symétrique de ces racines; on voit de suite, en effet, que, si l'on remplace Xi, x^^ x^ par les six arrangements, trois à trois, des nombres /i, /'a, /-j, on ne

trouve que les Irois expressions distinctes r\ — /'-j/'a, r^ — '"a^i* r'I — f'ir,; ces trois expressions sont égales : la différence entre le? deux premières, par exemple, est, en effet,

r} — r\ -H /•3( /•,— /,) = (rj — /'ijC/-, -h/'î-H/', );

elle est nulle puisque le terme en j:^ manque dans Téquation x^-hjjx-h g = o et que, par conséquent, la somme des racines de cette équation est nulle.

Quand une équation a toutes ses racines égales, toute fonction de ses racines peut être regardée comme une fonction symétrique de>e> racines.

La définitiuii qu'on a donnée plus haut d'une fonction symétrique de? racines /'i, rj, . . ., rft «i'une équation du /t'*™*" degré ^(jc) = o n'implique jw? que les /i variables J7i, j^2, ••■) ^n figurent explicitement dans cette fonction :>'il ne figure effectivement que p variables j^i^^Tj, . . ., Xp. on devra entendre que la fonction considérée a toujours la même valeur quand on remplace respecti\emenla*i,j-j, .., ^r^, par les nombres qui figurent dans les /e(/i — i;...(/i— y»— n

arrangements p k p des lettres /*|, /*t />; il pourrait même ne figurer

qu'une seule variable. Ln polynôme en X\ qui garde la même valeur quaad on remplace x^ par rj, /-j, . .., /•„ doit, de ce point de >ue. être regardé corome une fonction symétrique des racines de l'équation ^{;r) = o; tel est, par exemple, le polynôme "^(x) lui-même, qui est nul pour chaque racine. E" supposant que réqu;ition donnée ^{x) = o ait toutes ses racines iiiégalt-s. il e.-<t aisé d'avoir la forme de tout pohnome/(:r) qui prend ainsi la mèun^ valeur V quand on y remplace j^ par /'i, rj, ..., /•«. Le polynôme /(x) — ^ doit, en effet, être nul quand on y remplace x par ri, /-j, . . ., r„; il doit, p<)r conséquent, être divisible par ^{x)\ par convoquent, V est le reste de la division de/(j:) par ^{x) et l'on a f{x) = gKx)^{x) -t- V, en désignani pa: g(x) un polynôme arbitraire; en particulier, si J\x) jouit de la pn)pririf considérée et si l'on sait qu'il est de degré inférieur à n, on peut afliinjcr qu'il se réduit à la constante V.

260. il y a un cas très important où il est clair qu'on a affaire à une fonction symétrique des racines de l'équation

(1} AoJ:^«-r A,x'-'-4-...-h Art= o,

et cela quelle que suit cette équation, pourvu qu'elle soit du degrtf /i : c'est celui où la fonction ./(xi, x-y^ ..., x^) est un polynôme en iTi, Xa, . . -5 ^n symétrique par rapport à ces variables {^n** 126). ceslà-dire qui reste le même polynôme, quand on y échange deux ^a-

riables quelconques, ou qu'on effectue sur les variables une permulalion quelconque. On montrera bientôt que la valeur que prend un lel polynôme, quand on y remplace les variables a'i, x'a, . . ., x,i par les racines de Téquation (i), s'exprime sans difficulté au moyen des coefficients de cette équation et que, ainsi, cette valeur peut être calculée sans résoudre l'équation. En admettant, pour un instant, celle proposition, je vais montrer que, toutes les fois que l'on sait (|u'une fonction rationnelle F(jr'i, .r^, ..., .r,,) des variables X|, Tj, ..., x,i est une fonction symétrique des racines de l'équation (i), au sens qu'on a précisé plus haut, on peut en ramener le calcul au calcul d'un ou de deux polynômes symétriques par rapport aux variables a'i, a*2^ • • î ^/l-

Supposons d'abord, en effet, que F(.ri, x^', ..., ^*«) soit un polynôme en X| , X2, ..., x„; en effectuant sur ces variables, dans ce polynôme, toutes les v = i.2.../i permutations possibles, on obtiendra V polynômes F,, F.., ..., Fv dont l'un sera le polynôme proposé F. (les V polynômes pourront, suivant les cas, être tous distincts, ou en partie identiques; ils seraient tous identiques si F était symétrique en ^,, X2j . . ., x«. Quoi qu'il en soit, ils prennent, par hypothèse, la même valeur V quand on y remplace les n variables par les racines /*,, Tj, . . ., /',< de l'équation ( i) : cette valeur V est donc égale à celle que Ton obtient en remplaçant a:,, a:.,, . . ., x,i par /'i, /a, . . ., r„ dans le polynôme F| -h F^H-. . .-h Fv et en divisant le résultat par v; mais ce dernier polynôme est une fonction symétrique des n variables X|,.r2, . . ., x„ puisque, si l'on effectue une même permutation, d'ailleurs quelconque, sur les v arrangements n à n des lettres j?,, x.j, ..., jr„, on reproduit ces mêmes arrangements, dans leur ensemble. Tout est donc ramené au calcul de Fj -f- Fo-h. . .-h Fv

Si l'on applique, par exemple, cette méthode à la fonction jt; — x.2X:t dont on sait qu'elle est une fonction symétrique des racines /'i, r^, /'a de l'équation j?-' -\- px -\- q = o^ on aura

V = -(Xf -^Xl -hX* -^XiXi — XiXi — XiX^).

Supposons maintenant que F{x^, x^', . . ., x„) soit le rapport

^(J"l, .Tj. .. ^ X„)

de deux polynômes *ri h en X|, Xj, ..., x». Pour que le problème propos»! ait un sens, il faut supposer que le dénominateur A(.r|, .r-j, . . ., x,i ) ne s'annule pas quand on y remplace les variable> par les racines de Téquation (i). Ceci posé, désignons par ^ ^ .- > •••'

^ les V fractions rationnelles que Ton déduit de Ç en ellectuant sur

les variables Jt'i, jt^, ..., jc,i, dans j» toutes les permutations possibles; toutes ces v fractions rationnelles prennent, par hypothèse, des valeurs égales quand ou y reuiplace .ri, .r^, ..., l'n par les racines (le Téquation (i); et il est clair que ces valeurs sont égales à celles que prend la fraction

dont les deux termes sont manifestement des polynômes symétriques en J7 1 , j?^ f • • • s *^n •

On peut donc se borner à l'étude de ces polynômes ou, comme oii dit, des fonctions symétriques entières de X|, x^, ..., x». Dans ce qui suit, en parlant d'une fonction symétrique entière des racine^ d'une équation de degré /^, c'est d'un polynôme symétrique en Xi, Xa, . . ., x,i qu'on entendra parler.

â6t. FonctionB symétriques entières de n variables. Énoncé dn théorème fondamental. — La proposition fondamentale concemani les polynômes symétriques en X|, .r^, . . ., wT», qui est une des propositions les plus importantes de l'Algèbre, a été déjà annoncée au n« 126.

Si Ton désigne par a*,, a^,, . . ., s,t les fonctions symétriques élémentaires des variables x,, .r^- • • -» -f,i, c'est-à-dire la somme de ce> variables, la somuie des produits deux à deux, trois à trois, ...Je produit des n variables; si, en d'autres termes, on pose

Si = JTi -r- a^j -+- . . . -h wlVn

5, = .n JT, -H Xi -Ta -H . . .-Ï-X,/-|X„,

S,. — .r, JTi

tout polynôme /(.r,, r., . .., x„ ), symétrique en x,, x^, . . ., x«, peul

être mis sous la forme d'un polynôme 'f{s^,s•2^ .... .v,j en 5,, a-j, ..., a'„; c'esl-à-dlre (|u'il existe un polynôme '^(a,, ^2, ...,5,/) qui devient identique à/(.ri, .r.., . . ., jc„) quand on y remplace St, s^^ . . ., ^/i par les seconds membres des égalités (i).

Si Ton regarde 5|, 5*2^ "•> ^u comme des notations abrégées pour représenter ces seconds membres, il est clair qu'on a identiquement en.r, Jr^, j:.. ..., x„

{■1} (JT — X|)(j? — arj). .,(x — Xfi) = X" — SiX'* ^-h SiX'-*—.. .-!-(— !)««„;

en d'autres termes, 5|, .so, ..., s,i sont, au signe près, les coefficients d'une équation en j^.* de degré n, dans laquelle le coefficient de x" est I, et dont les racines sont x,, x^j . . -, r„. Je désignerai par 'f (x) le premier membre de cette équation, ou l'un ou l'autre des deux membres de l'identité (2). Il me sera commode de représenter les coefficients de f(x)^ avec leurs signes, par/>i, //2, ..., />«, c'est-à-dire de poser pr= { — i/Sr (/•=i, 2, ..., /i), en sorte qu'on ait identiquement

{ 3 ) f(T) r=z(x — Xi)(x — Xi).. .(X — X,i)=:X'*-\-piX'^-^ -^ p^X»-* -h . . .-^Pa*

Dire que le polynôme /(x^ x^t ..., Xn) peut èlre mis sous la forme d'un polynôme en 5|, .Çj, . . ., a-,i, ou sous la forme d'un polynôme en />!, p.2j . . ., pny c'est évidemment dire la même chose.

Si l'on admet la proposition énoncée et si l'on a obtenu l'expression Ae/iXi, X2, ..., J^ft) comme un polynôme en pt, p^^ ...,/?,i, il est clair qu'on obtiendra la valeur que prend le polynôme /* quand on y remplace x,, Xj, ..., x„ parles racines /'i, r2, ..., r/i de l'équation

Aoa?" -H A I x'^~^ -h . . . -h A« = o,

en remplaçant, dans le polynôme en p^^ />2, ..., p,i, ces dernières lettres par

A i Aj A,i

Aq Aq Ao

Le problème qui consiste à exprimer au moyen de 6|, 52, ..., ^/i un polynôme symétrique en x,, x-^-, ..., Xn peut être ramené à des problèmes plus simples.

Considérons un terme du polvnome donné: il sera de la forme

où A est une constanle et a,, a-j a„ des entiers positifs ou nuU:

tous les monômes analoj^ues qu'on déduit île celui-là en permutant d'une façon quelcon(|ue les lettres r,, .r.^^ ---i * » et en laissant le^ exposants ai, a-i, ..., ^^ à leurs. places, doivent figurer dans le polynôme donné, avec le méuie coefficient A : autrement, ce p(»lynoinr ne serait pas s y ui étriqué.

Si, par exemple, il s'agit d'un polynôme symétrique en j*,, .r», J^'sî J^\i qui contient le terme ox^x^X'^^ ce polynôme doit contenir, en outre, les termes

Sj'fa-la^î, ixJ.rÎJ'J, Sxîrja^l, '^T\x^xly 5a?Jx|j*î.

■jarlxlxl, 5x1x^x1, 5xlx\xl. 5x1x^x1^ 3j*J.rJxJ,

Dans la même hypothèse, l'existence, dans le polynôme proposé, du ttrme "jx^x-ix^^ où les trois exposants sont inégaux, entraînerai! l'existence de vingt-trois termes analogues, puisqu'il y a vingt-quatre arrangements de quatre lettres trois à trois : tous ces termes auraient pour coefficient 7; les trois variables qui figurent dans un terme seraient toujours an*ect«''es des exposants i, 2, '.\.

Pour en revenir au cas général, il est naturel de réunir tous le> termes distincts qui se déduisent du terme \x^*x^/. . .xf/' par les tliverses permutations des lettres J7|, .To, ..., x,/. (ïl y en avait douze dans un des exemples précédents, vingt-quatre dans l'autre. ) Si, ensuite, on met, dans tous ces termes, A en facteur, ce facteur multipliera une somme de ternies, tous distincts, et qui se déduisent, comme on l'a expliqué, du monôme .r*'x^*,..xf^''; une telle somme <e représente habituellement par le symbole

^x'^x°i-...xfr:

le nombre des termes qui y figurent est, au plus, v = 1 .^«.3. . .«: il

atteint cette limite si tous les exposants a,, aa ^a sont dilVérent-»;

il serait égal à i si tous les exposants étaient égaux; le terme considéré, dans ce dernier cas, serait évidemment égal à sf/.

Dans cette notation, les fonctions symétriques élémentaires se représenteraient par £X|, JlXtXoy . . ., Sj7,:r2. . -x^, la dernière étant réduite à un seul terme.

Il est clair que, si Ton savait exprimer au moyen de ^i, So, . . ., s„ les fonctions symétriques telles que Jlx^'x^*, . .x*", le problème serait résolu. Remarquons de suite que, si aucun des exposants a,, aj, ..., 0L„ n'est nul, et si a est le plus petit de ces exposants, on peut mettre en farteur .r*a*. . .J^*= ^J dans tous les termes de la somme et ramener ainsi le problème à un problème analog^ue, mais relatif à une somme plus simple.

Lorsque les exposants sont suffisamment petits, on peut aisément, en partant des définitions des fonctions symétriques élémentaires, résoudre le problème posé; j'indique quelques exemples avant d'exposer les méthodes générales.

Supposons qu'il s'agisse de la fonction symétrique de trois variables X|, J?2, Xjt,

2j^iJ?* = j'ia:'! -«- ^larj -^ x^x^ -h x^x^ -h x^x] ■+■ x^xl ;

il est clair que tous les termes de Sjc,^.^ se trouveront dans le produit de Sj:, par ^ixi-ro: ce produit contiendra en outre trois fois le^ terme XtX^x^. On a ainsi

on trouvera de même

Soit encore à calculer Jlx\x2j ^n peut ramener le calcul de cette somme au calcul de sommes analogues, mais où les exposants soient inférieurs à 3; si, en effet, on pose comme plus haut

^(X) = (X '-Xi)(x — Xi)(x — Xi) = x^ — SiX^-^-S^X —53,

il est clair qu'on aura x'J — .v, .rf H- .Ça ^i — 53 = o ; celte égalité ayant lieu identiquement en JC|, x-^i x^ lorsqu'on suppose que 5,, .$2-, *'» sont remplacés par leurs expressions eu ^,, .ra, x^ ; on en tire

33o CHAPITRE XVI.

puis

x\ = SiJ-] — SiX] -h Sncri= Siisix] — Sfjri -+- 5j) — SfX] -hSj-Pi

Il est à peine utile de dire qu'on pourrait continuer et exprimer de la même façon xj,xj, . . . sous formes de polynômes du second de^rn en X|, polynômes dont les coefficients seraient des polynômes on *i^ -^2» A*3 (M; mais c'est seulement de l'expression de x\ que j ai besoin ici. On a de même

^i = (5? — 5j)jrJ 4-(53— 5,5, )5r,-|- 5,5,.

Si, maintenant, dans les six termes de la somme 2^.r|j:2, on remplace respectivement .r[, j:*, xl par les expressions précédentes, on voit d'abord que le terme x\x.2 se met sous la forme

3r\Xi= {S\ — «j):rf J"j-h( 5, 5|5t)X, a?!-!- SiSiXi

et, en faisant la somme des cinq expressions analogues, que je laisse au lecteur le soin d'écrire, on trouvera

Sx}j72= (s] — 5j) Sarî.r,-h-i(5.,— 5,5,)2a:',.rj-h 45,5, St-j-,

en utilisant l'expression trouvée pour Sj7J\r2, on obtient

Sa:}xj = (5f — «2)(5|5j— i53)-*- -li s^ — *i *i)5t-f- ai?*»

Sans que je m'y arrête, il suffira au lecteur de réfléchir un peu surlj méthode qu'on vient d'appliquer pour voir que, s'il a à calculer une expression de la forme S j:.*'x5«. . .xj", il pourra s'arranger louj ou r>. en utilisant les identités 'f (j?i ) = o, x^ y(j?i ) = o, . . ., pour ramener

(') D'une façon générale, si l'on divise a:" par 'f (x), •>!! parvient à une identité « la forme

où K(.r} est du second degré en x; en remplaçant dans cette identité xparr,, on obtient

le calcul de relie expression au calcul d'expressions analogues où les exposants seront tous inférieurs à n.

Après ces exemples, j'arrive à la démonstration du théorème fondamental, énoncé au début du présent numéro.

262. Je rétablirai d'abord pour des fonctions symétriques particulières, les sommes Sx;, Sa:^, . . ., Sx', des puissances des variables; a\ec les expressions de ces sommes au moyen de 5|, ^j, . . ., 5« ou de P%t Pli -"t Pfij il sera aisé d'obtenir toutes les fonctions symétriques entières. Je poserai pour abréger

le problème consiste à exprimer Sr sous forme d'un polynôme en Pij P'2j •••1 pft qui devienne identique à S^ quand on y remplace /?,, P2J • • •» Ph par leurs expressions en t'i, .t'aj • • -> ^n*

On observera d'abord que le calcul de l'expression des polynômes Sr? au moyen de y^i, /^.j, . . ., p^^ se ramène au calcul des polynômes S|, Sj, ..., S«i, où l'indice /• est inférieur à /i ; en ellet, on a identiquement, en désignant par x^ l'une quelconque des variables Xx^ x^, . . ., j:,; et par h un nombre entier quelconque,

en écrivant toutes ces identités pour a = i , 2, . . ., /i et en les ajoutant membre à membre, on trouve évidemment

S/i-hA- -HjPl S/,H-A! H- Pi S„H>t-ï -H . . . -h /?„ Sxr = O,

OU, en supposant successivement /r = o, 1, 2, . . .,

I' S,i -H/>iS,i i-h/>ïS„j-h. . .-h /i/?rt =0, ^ S,i-Hi-«-/>iS« -+-/>îS«i -h. ..-Hy^rtSi = o, i S«Hj-f-/>iSrt-Ki-f-y»ïS„ -»-.. .-4-/?«Sj= o,

Ue la première de ces égalités on tirera S« au moyen de S,»!, ^« -2> •••? Si (elde yP|, yoa, ..., /?«); de la seconde on tirera S«^| exprimé au moyen de S,,, S/i i, ..., S| et par suite au moyen de S,,i, S«2> •••îS|, Toutestévidemraent ramené au calcul deS|,

33t2 CHAPITRE XVI.

S-2, ..., S;;|. C'est l'applicHlion de la inélluxle expliquée à la (in du précrdenl numéro.

Les sommes S| = 5|, S-j, S3 S„i s'obtiennent au moven de

rartifice suivant, qui est dû à Newton.

En désignant par '^'(jc) la déri\ée (par rapport à .r) du polvnoim'

on a

^'(X)== (x — Xt){T — Xi).,.(X — X,,}

-^ (X'—Xi)(x — JTj). . .(r — .r„)H-.. .-+-(3'-— .ri)(r — j-j). ..Ct — T, il y(j') 9(x) ®(a-)

'~ X — J*| X — Xi ' " X — x„

On a d'ailleurs (n** oi) (1) -2 ilL = x»-^-h(xi'-i-pt)x"-^

X — Xi

-+-(x\-hpiXi-h/)i)X"~^-Jr...-h(x\ -hpi^'i * H-...-h/);.)X''-'-'

-f-.-.-hjrî '-^-yoiJ-y * -4-... -h /?«-!,

et des expressions analogiques pour ~ > -^ > • •» — ; en

^ ^ ^ X — Xi X — X3 ar — ^fl

supposant toutes ces expressions écrites et en les ajoutant, on obtiendra

le polynôme en x

/IJ-/1 I ^ ^S|-h npi )x» -*-h ( Sj -}-/>! Si-»- npi)x" -^-h,.. -^ lS,.-4-/>,S,.,-H. ..-i-/3,.,Si-J~ «/>;. >jr«-''-' -H... ■+- S,|- ^-H/>,S..,. î -+-... -h />/,- iSi-h np» j;

puis, en égalant les coefficients de ce polynôme à ceux du polynôme

9'ix} = nx" -^-h { n— i)PiT" *-^-. . .-J- (/i — r)prX'* ''-^ -h. ..-f- />«-!♦

on a, en faisant tout passer dans un membre,

i S,. -r-/>,Sr- 1 -t-/>sS;.- s -i-...-^-/>,. -iSi -+-r/>^ =0,

De la première de ces formules on lire S| = — /?<, résultat que l'on connaissait d'avance ; de la seconde et de la troisième on tire

Sî = y»! — a/>,, Sa = — /?] -H 3/?, />i — 3/>3,

Il serait aisé de vérifier ces formules en remplaçant dans les seconds membres p^^ /?2i /^a? • • • p»»' leurs expressions en :r<, x^^ . . ., x,i, 11 est clair que les formules (i) et (3), auxquelles le nom de Newton est attaché, résolvent le problème posé et que S,, Sj, . . ., Sr, . . . peuvent être mis sous forme de polynômes en ywi, p2^ ..., pnt à coefficients enliers.

On remarquera que la première des formules (i) (/r = o) suit la même loi que les formules (3j; cette loi est changée pour les suivantes.

Kn adjoignant aux équations (3) la première des équations (i), à savoir

S« -+■ px S„i -i- pt Srt-î -+-...-+- pu~\ Si -+- npn = o,

on obtient, lorsqu'on regarde S|, Sa, .-. ., S,i comme des données, un ï,ystèine de n équations du premier degré qui peuvent être résolues par rapport à /y,, />2, . . ., />«. Ces // dernières quantités peuvent donc s'exprimer au moyen de S|, S^, . . .j S« (*). Considérons maintenant les sommes

au moyen desquelles on peut exprimer tout polynôme symétrique en .r,, ^2, ..., -K-//. On vient de montrer qu'une somme telle que Sa?*», dont chaque terme ne contient qu'une variable, peut être mise sous la forme d'un polynôme en //,, />a, . . ., p^. Passons aux sommes telles que Sj7*x§, dont chaque terme contient deux variables : il y a dans une telle somme n{n — i) termes, si a, ^ sont différents; il y en

a > SI a est égal a p.

Dans le premier cas, tous les termes de Xa:*x.§ figurent, chacun

( * ) On en conclul, en rejÇdrdani j:,, x^y ..., x^ comme les racines d^une équation 9(jc) = o, dont les coefficienls seraient py. p., ..., />„, que les coefficients d'une équation sont déterminés quand on se donne la somme des racines, la somme de leurs carrés, de leurs cubes, . .., de leurs /i'*»»' puissances.

une fois, dans le produit de ïlx* par S^rf, produit qui contient en outre x^^^ et tous les termes analog^ues ; on en conclut