îarî = (S«)«~Sîa

On voit de même que tous les termes de la somme ^x^x^xl figurent dans le produit de Hx'^x^ par SxJ, et que Ton a, en supposant a, 3, y différents, ^ différent de a -f- y, a différent de |ï -h y,

et, par suite,

Lx^x^xl = SaSpSy— Sp-HySa— S«H-ySp— Sa-^-^ Sy -f- 2 Sa^-^^-v.

Il est facile de voir les modifications qu'il y a lieu de faire à celle formule dans les cas d'exception. En procédant ainsi de proche en proche, on aperçoit comment tout polynôme symétrique en j?, . j^a, . . -, x,t peut être mis sous la forme d'un polynôme en S,, S^, S3, — et, par suite, sous la forme d'un polynôme en />«, p^^ . . ., />«.

263. Méthode de Waring. — La méthode précédente n'est pas toujours la plus commode pour le calcul d'une fonction symétrique. Celle que je vais exposer, outre ses avantages pratiques, va mellre en évidence d'importantes propriétés. Elle repose essentiellement sur une manière d'ordonner un polynôme à n variables x,, X2, •• • x„, symétrique ou non.

Imaginons que les variables J7,, X2, . . ., ^« soient rangées sur une échelle verticale, en descendant : Xt est sur l'échelon le plus haut. Xi

sur celui qui est au-dessous, De deux variables, celle qui a le

moindre indice est sur un échelon plus élevé que l'autre ; je dirai qu'elle est plus haute que l'autre.

ÉQUATIONS ALGÉBRIQL'KS. 335

Considérons deux monômes

Ax^ix*i* . . . x',\n , Ba:f.a:Ji . . . x^,n^

où A, B sont des constantes, où ai, «2? • • •> ^/n ^m ^2? • • -i ^/i sont des entiers positifs ou nuls. Je dirai du premier monôme qu'il est plus haut que le second, si Ton a a^ >> 6| ; ou, dans le cas ou Ton aurait ai=^bt^ si l'on a ai> 62] ou, dans le cas où l'on aurait à la fois ^, = 6,, «2= 62, si l'on A a^> 63, etc. En d'autres termes, la première des difl'érences a^ — 6|, «2 — 62, ..., an — bn qui n'est pas nulle indique, par son signe, lequel des deux monômes est plus haut que l'autre : c'est le premier, si cette différence est positive; les différences qui suivent n'interviennent pas ( * ).

De deux monômes en x^ , ^^2^ • • •? ^ti', qui ne sont pas semblables, l'un est nécessairement plus haut que l'autre. Deux monômes semblables sont regardés comme de la même hauteur.

Si l'on fait abstraction des coefficients, il iCy a qu'un nombre limilé de monômes qui soient moins hauts qu'un monôme donné.

Etant donné un polynôme (réduit) en .ri, X2, . . ., x,,, on peut en ranger les termes de manière que chaque terme soit plus haut que ceux qui le suivent; par exemple les fonctions symétriques élémentaires de .r,, J72, J?3, J?4, ainsi ordonnées, s'écrivent,

XxX^->r XxX^-k- XxX},-it- XtX^->r X^Xs,-^ X^X^,

X\X^X^-\- X\XiXi^-\- X\X^X!^-^ X^X^Xi^^

X\ Xf x^ x^ .

Si l'on fait le produit de deux polynômes en x^, x^^ . . ., Xn ainsi ordonnés, le terme le plus haut du produit proviendra évidemmeni, sans réduction, des premiers termes des deux facteurs. Cette observation s'étend au produit d'un nombre quelconque de polynômes.

Considérons, par exemple, l'expression

(') C'est d'après une règle toute pareille qu'on reconnaît, de deux nombres entiers écrits dans le sysiéme décimal, lequel est le plus grand. La façon d'ordonner un polynôme que Ton indique ici serait identique à celle que Ton a indiquée à l'exercice iO, si l'on convenait de ranger les variables non dans Tordre x^, x^, . . ., J7„, mais dans l'ordre inverse ar„, ^„i, ...» x^.

3'i<) CHAPITHB XVI.

OÙ \ est une constante, où ai, a.^, ..., a,i sont des nombres enlier> positifs ou nuls, et où 5|, s.», . .., 5„ représentent les fonctions sviiiêtriques élémentaires de j?i, x^-, .. ., JCn-

Cherchons quel est, dans ce polvnome en j*i, x^-, . . ., Jr„, supposé déxeloppé et réduit, le terme le plus haut.

Les termes les plus hauts, dans^,, s*. 5.,, ..., s„, sont respecli\ement

J?i, XiXf, XiTiXz, ..., .riXtX3..,x„;

ils sont, dans 5*', 5*% .vj", . . ., .v*",

Le terme le plus haut dans Ajf*«5*«. . ..ç** est donc

Les termes les plus hauts qui proviennent du développement de deux monômes en a*i, .V21 • • •? ^u q^^i n<^ ^^oi^l- p^^ semblables,

ne peuxent être de la même hauteur, car les égalités

ai-HajH-...-4-«„= 3i;-T-a;-r-...-Ha;,,

cMilraînent é>idemment ai = a',, a^^a.^, ..., a„=a^. Si, des ileui

monômes en A|, a'^ jr,,, il y en a un qui est (en 5,, a-.j, .. ., s„) àe

dt»j;ré plus élevé que Tautre {>i -h aa 4- . . . H- a« > a, -4- a,^ -h . • • H- **'• c'est é>idemment celui-là qui fournit le terme le plus haut. Comc-

nons de dire, eu général, de deux monômes en a,, s^ .««, que le

premier est plus haut que Tautre, si le plus haut terme du développement qu'il fournit est plus haut que le plus haut terme du développement que fournit le second. Alors, des deux monômes en 5 1. 53 ^^

que Ton \ient d'écrire, le premier sera le plus haut si la première des

différences

(a. H- aj-^. . .-4- a„) — («', -t- 3t; -h . . .-f- ai), (aj-f-...-f- a«)— (a;-h...-f-a;,),

qui ne s'annule pas est posilive.

Il est clair que tout poljnome en 5,, $2, . . ., s,i peut être ordonné de façon que chacun de ses termes soit plus haut que ceux qui le suivent.

Ceci posé, partons d'un polynôme /(j^i , ^r.j, . . ., j?,,), symétrique en ^1, Xo, . .., x„j et admettons qu'il existe un polynôme F (^i, S2, ...,*//) qui lui devienne idenlique quand on y remplace 5,, s^, ..., s,, par leurs expressions en :r,, Xi^ . .., x,^', on va voir comment, en supposant les deux polynômes /et F ordonnés ainsi qu'on l'a expliqué, les termes successifs de F se déterminent d'une façon nécessaire. Réciproquement, la façon dont seront obtenus ces termes montrera (jue le polynôme formé par leur réunion répond à la question.

Soient, en désignant par A et A' des constantes, par ûf|, «a? • • •? ««? a,, aa, . . ., a„ des entiers positifs ou nuls,

les termes les plus hauts dans /' et dans F, respectivement : dans le développement de F, le terme le plus haut proviendra de celui que l'on vient d'écrire, il sera

il devra être identique au premier terme de /, c'est-à-dire qu'on devra avoir A'= A, puis

et, par conséquent.

a, = ai — aj, xj = a^ — aj, ..., a,i i = a„, — a,,, 2.,,= an.

T. - tl. 22

338 GHAPITEE XVI.

Ainsi, le premier terme de F sera

Désignons maintenant par/, (^,, j^a? • • •> -^n) le polynôme que l'on obtient en remplaçant dans la diflérence

/(a^i, ar, ar„) - A *?«—«*;«-««. . . i^-,

5|, 52, . . ., 5„ par leurs expressions en ^i, JTa, . . ., j?m, développant et réduisant; ce polynôme, différence de deux polynômes symétriques

en J7|, 072, . . ., .r^i, est lui-même symétrique eu 07|, o:*^, , o:»; il ne

contient plus de terme aussi haut qu'en contenait /(j^i, X2, ..., Jw). Ce polynôme/, doit être identique au polynôme en .ç,, 52, ...,*«

lorsqu'on y remplace 5|, 5^, ..., 5,1 par leurs expressions en j,. a?2ï . . ., ^/i î si donc on désigne par

le plus haut ternie de/, le premier terme de F, (le second terme de F) devra être

Tous les termes de F se détermineront ainsi individuellement les uns après les autres: l'opération se terminera sûrement, puisque, à chaque fois, le plus haut terme est moins haut que dans Topératioa précédente, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de monômes, moins hauts qu'un monôme donné.

Il est à remarquer que c'est précisément la méthode qui vient d'être exposée, qu'on a appliquée, d'une façon un peu inconsciente, (^a^^ les exemples simples traités au n® 261. Reprenons le calcul des quantités ^x''^X2^, S.r"j:ri| en supposant maintenant qu'il y ait n variable^. Pour/= Jlx'-^ X'2^ la méthode de Waring fournit 5^"* s!^ comme premier terme de F; le produit StS^ est d'ailleurs égal à 2ic;a?2-|-32^4 jrj-rj: dans ce produit, en effet, le terme x^x^^j^i, par exemple, est obtenu trois fois, comme produit de X2X:i par a?,, de XtXz par jt^, dexiJTj par x^. On a donc

Xx\xt= Si Si— 3*j.

Pour/=2j^Jj7^, la méthode de Waring fournit 5®5*^ comme premier terme de F; on a d'ailleurs

(dans le carré, le terme 'iXtX^x^iX^ est répété trois fois, comme double produit de x^x^ par j^jJ^*, de x»j?3 par XiX^, de x^x^ par XiXi), Tout est ramené au calcul de Sx^j^aJ?»; la même méthode fournit 5*;"'52.v.i comme premier terme du polynôme en 5«, ^2, ..., qui doit être identique à Ix^^x^x^; le produit s^Si est d'ailleurs égal à ^x^x^x^i-h 4-^<'2^2^3^i ; on a donc

I,t\tI = si — 6*4 - 2(*i53— 4«4 ) = *î — ^'SiSi-h '1.^,

C'est au même résultat que conduit la méthode de Newton, en par- Unt de régalilé S^f xj = i(S^ — S,)-

264. De la méthode de Waring résultent immédiatement les propriétés suivantes, pour l'énoncé et la démonstration desquelles je reprends les notations employées dans l'exposition de cette méthode.

Etant donné un polynôme /, symétrique en x^^ Xa, . . ., x^, il n'y a qu'un polynôme F en 5|, 5^, . . ., s,/ qui devienne identique à /quand on y remplace 5|, «2, . . ., s,i par leurs expressions en jîi, X2-, . . ., ^/i. En efl'et, les monômes qui constituent F se déterminent l'un après l'autre, d'une façon nécessaire.

Les coefficients du polynôme F s'expriment en fonction linéaire, à coefficients entiers, des coefficients du polynôme / : cela est clair, en effet, pour le premier A; d'ailleurs les coefficients du polynôme /, symétrique enoTi, Xa, . . ., x„, auquel on ramène le calcul, s'obtiennent évidemment en retranchant des coefficients de /"les produits par A de certains nombres entiers, etc. En particulier, si les coefficients de / sont des nombres entiers, il en sera de même des coefficients de F. Que les coefficients de / s'expriment en fonction linéaire, à coefficients entiers, des coefficients de F, c'est ce qui est bien évident.

Quand on regarde s^j s^, . . ., s,i comme des variables, le degré de F e^l le degré de son plus haut terme, c'est-à-dire

(«1 — a,)-H(aj— a3)H-...-f-a„= a,; c'est le degré le plus élevé a\ec lequel figure dans /l'une quelconque

Ho CHAPITRE XYI.

de» variables Xt^ x^, ..., x„. Ce degré est ce qu*on appelle l'ordre de ia fonction symétrique /(^i, ^2? . . ., ^«).

Supposons que celle-ci soit homogène et de degré/? en x^y x^* ..., ^'/i ; *i, A'jî • • -1 Sf, sont, en x^, x^^ . . ., x„, des polynômes homogènes de» degrés respectifs i , 2, . . ., n. Un terme quelconque

de F sera un polynôme homogène en Xk^ X2, ..., x„ de degré A| -h 2X2 -h ... -h Al X„. Dans le développement, les termes qui ne sont pus de même degré ne peuvent se réduire entre eux; pour que le déveh)pp(Mnent soit homogène et de degré />, il faut donc que 1 on ail. pour chaque terme,

Xj -+- 2 Xj -+-...-+- n X,i = />.

On appelle ywo/rf^ d'un monôme en 5,, ^.j, . . ., 5« son degré en^j, 7'a, ..., Xf, qu'on vient d'apprendre à calculer. Tous les ternies du polynôme F(A'i, ^j, ..., s„) qui devient identique à une fonction symélrique homogène /(xi, jFj, ..., x,,) quand on y remplace a,. Jfa* » » *y 'V« P"i* leurs expressions en x«, .r^, . . ., x„, doivent être d'un même poids égal au degré m de/ en Xt^ x^, . . ., x„.

iHH. J'ajoute quelques brèves indications sur une autre méthode tie calcul iie> l\»nohons s\mt'triques qui est due a Cauchy et qui mériterait une élude plu> ap|irolondie.

t>b>er\on* d'abord, eu conservant toujours les mêmes notaiioiis, que lot>qu'ou sait meUre un pol\ nome / symétrique en j-,, Xj, ..., Xa sous la forme

oil IV, P|, ,. ., 1*4 sont des pol\nMme> en /»|. />j, , />. (^el, par conséquent.

do> |\olMUMne> en ,r|, j-*, , .. jr, «. il e>l aise d'avoir son expression au moyen

de /•!,/»♦ /v : M, eu elîel, d<«n> le p«*|yoome précédent, où je suppose

^jue J*», i>*. ,,. /',, <|uî fi^uivnl dans P#, P, P*.. si^ieot remplaces par

leuiN e\|Mv-Mo«N eu x . jr* x», on eohao^e les lettre* jr« et -r|, Jr, ei

Jt* -*«» î* et j*, ,. le p.dxuvMue ne oh^nse pas, puisqu'il est identique au

px^l\Ux»m»^ r\ >\mxU\|ue eu x , ^j x,: maïs cet échange ne trouble eu

ru^w P^ P, P^ qui >v'U» eu\-nieme> s\nie;rîques en X|, Xj x,; cela

rvxiom a duv que e pv>ixwonie en x

est ideatiquement nul quand on y remplace x par j^i, par^s. ...^parâ?/,, ou qu'il est divisible par fo(x) = (x — xi)(x — x^). . .(x — Xn)-, ou encore que/est le reste de la division par cp(âr) du polynôme Pox^-+- Pi a?*-» 4-...-+- P*, reste d*où x disparait nécessairement : en effectuant la division par

dij polynôme Poar^-i- PiX*-»-h. . .-+- Px, où P©, Pi. ..., Pa- sont des polynômes en /?!, />t, ...,/?/i, le reste (indépendant de x) fournira l'expression cherchée dey. Si, en particulier, k était inférieur à n^ il faudrait, pour que ie polynôme Poar^-f- Pio:^'-*-!-. . . -r- P^ — /fût divisible par o(.r) que ce polynôme en X fût identiquement nul, en sorte que P^ serait l'expression cherchée de/.

\u lieu de faire une division, on peut se servir des identités

f(x») = 0, X„^(Xn) = Oy xlo(Xn) = 0,

pour faire disparaître de l'expression (1) les puissances de .r„ supérieures à /i — I ; les autres disparaissent d'elles-mêmes ; il ne reste plus qu'un polynôme ^^ Pif Pi'> ' ' "> Pny qui est l'expression cherchée du polynôme/.

Il est d'ailleurs certain que tout polynôme symétrique en x^, arj, . .., x„-i peut être mis sous forme d'un polynôme en Xn dont les coefficients sont des polynômes en pi, p^^ . . . , />« ; en effet, l'identité

-i = (x —Xi)(x — Xi)...(x—Xn-l)

= a-«-i -+- (xn-^-px ).r'»-* H- ( arj -^ Pi^n-^ pt)x'*-'^-Jt-. . .

montre que les fonctions symétriques élémentaires des /i — 1 variables a^i, •^t» • • ■• ^u-\ sont identiquement égales à

— {Xn-\-px), ^l^ P\Xn^Pt. -(xi^piX^^p^Xn-^Ps), .••

{x„ disparait de ces quantités quand on y remplace pt, /»s, . . ^^ Pa par leurs expressions en x^, x^, . . ., Xa)\ tout polynôme symétrique ena^i, x%^ . . ., Xn-\ pouvant s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires de .Ti, j*î, .. ., Xn-u la proposition est évidente.

Si maintenant on considère un polynôme / symétrique en .ri, arj. ..., a7«, on peut l'ordonner par rapport à Xa\ les coefficients sont des fonctions symétriques en iCi, rcj, ..., Xn-\' Admettons qu'on sache résoudre le problème pour les fonctions symétriques de /i — 1 variables, c'est-à-dire qu'on sache exprimer une telle fonction symétrique au moyen des fonctions symétriques élémentaires de ces n — i variables, on saura, par la méthode même qu'on vient d'expliquer, mettre le polynôme /, symétrique en rri, .Tj, ..., Xn^ sous forme d'un polynôme en x,i dont les coefficients sont des polynômes en p\y

/7s, ..., Pat puis finalement obtenir l'expression de / au moyen de p^ fit ...1 Pn-

On voit que cette méthode ramène le calcul d'une fonction symétrique de /i variables au calcul d'une fonction symétrique de n — i variables. Le calcul d'une fonction symétrique de deux variables est aisé, il permet d'obtenir l'expression d'une fonction symétrique de trois, quatre variables, etc.

266. Puisque l'on sait exprimer une fonction symétrique entière d^s variables j?,, Xa, ..., x„ au moyen des fonctions symétriques élémentaires 5|, s^^ ..., s»^ on sait, comme il a été dit plus haut, calculer ce que devient une fonction symétrique quand on y remplace X|, x.2j ..., x,t par les racines d'une équation dont on connaît les coefficients : on n'a qu'à substituer dans l'expression trouvée les valeurs de /7|, p2, . . ., />/i ou de jt,, 5^, ..., s„ quand on y suppose que Xt, Xa, . .., x,, sont les racines de l'équation, valeurs que fournissent de suite les coefficients de cette équation.

Toutefois, quand on a à calculer une fonction symétrique des racines d'une équation, on ne s'astreint pas, le plus souvent, à calculer son expression générale au moyen de 5|, 52, ...; ^//^ ^^ profite, dès qu'on le peut, des simplifications qui peuvent résulter des valeurs numériques des coefficients. Il est clair^ en particulier, que les formules de Newton, si l'on y regarde />|, )d 2 > •••? Pn comme remplacés par les coefficients de l'équation donnée, fournissent, en Résolvant par rapport à S|, S2, S3, ..., la somme des racines, des carrés des racines, de leurs cubes, etc., ou, comme on dit, des puissances semblables des racines de cette équation. En appliquant, par exemple, cette formule à la recherche des puissances semblables de l'équation binôme a:" — 1 = 0, on reconnaît de suite que la somme des r'*"** puissances des racines de celte équation est nulle, sauf dans le cas où /* est divisible par n^ auquel cas la somme est n. De même quand on applique la méthode de Waring ou qu'on combine diverses méthodes, il est commode de donner de suite à 5|, 52, -"f Sh ou à /?4, p2j •..?/>/# leurs valeurs numériques et de regarder ar,, x^j ...? x„ comme les racines de l'équation proposée.

Au lieu de représenter ces racines par a?i, x^^ ..., j:„, on peul aussi bien, si l'on veut éviter les confusions qui naissent facilement de l'emploi des indices, les désigner par des lettres distinctes, telles que a, b^ Cy ... ; l'ordre de succession de ces lettres, dans l'application de la méthode de Waring, se substitue à l'ordre des indices,

c'est-à-dire qu'on regardera, par exemple, chacune des lettres a^ b^ c. . .., comme plus haute que celle qui la suit. On simplifie autant qu'on le peut la fonction symétrique à calculer en se servant des valeurs connues des fonctions symétriques élémentaires de a, by c, ..., ou, ce qui est la même chose, des relations entre les coefficients de l'équation donnée et de ses racines, ou en se servant des formules de Newton, ou encore en se servant de Féquation proposée^ que doivent vérifier a, 6, c, ..., de manière à faire disparaître le«termes où quelque racine figurerait à un degré plus élevé que celui de Féquation. On applique ensuite, d'une façon plus ou moins régulière, la méthode de Waring, en faisant disparaître, du polynôme donné, les termes les plus hauts, et en le réduisant ainsi, petit à petit.

Supposons, par exemple, que l'on veuille calculer

en désignant par a, b^ c les racines de Téquation x^-^ px -h ^ •= o.

On remplacera d'abord a', 6"», c' par — />a — g, — pb — q^ -^ pc — y, et Ton sera ramené à calculer

On a déjà calculé on a donc

Si l'on avait, pour la même équation, à calculer 'S.a^b^c, on remarquerait d*abord que abc = — q se met en facteur dans chaque terme de la somme, il reste à calculer

2a*6 = 2(— a'^p — aq)b =— p^à^b — iql,ab

= — ^pq — ipq=-'ipq\ on a finalement

Désignons par a, 6, c, d les racines de iVquation du quatrième degré

a:* -H Aar»-+- Bar» -h Ca: -H D = o, et posons

a = a6 4- crf, p = ac -^- bd^ ^-^ ad-\-hc\

il est aisé de constater que les trois quantités

a -h p -h Y, Py H- Y« -+- «?» «?T

sont des fonctions symétriques de a, 6, c, rf : on va les exprimer au moven des coefficients A, B, C, D de iVquation du troisième de«j^ré. On a

a-h P 4- Y = S«6 = B, Py H- Y* "^ *P = 2a*ftc,

Le calcul de I.a^bc (ou de I^tIx^x^) a déjà été fait; on a

2a«6c = AG — 4D.

On a d'ailleurs

I,a^bcd = abctil.a^= D( A5— îiB);

puis, en appliquant encore la méthode de Waring,

l.a^b^c*= (I,abc)^~ila^b^cd

et finalement

a -h p -h Y = B, PY^-T«-+■ aP = AG — 4D,

a(iY= D(A*— giB)-hG«— 9.BD = A*Dh-G*— îBD.

Bn sorte que a, p, y sont les racines de Téquation

58 Baî-h(AG — 4D)5-h 4BD— A^D — G»=o.

Je laisse au lecteur le soin de montrer que, si Ton connaît une racine 5 •!« cette équation, la résolution de Téquation du quatrième degré se ramène à ia ré!»olution des équations

* r. , Att — G

Z — lU

Appliquons la méthode de Gauchy au calcul de la fonction symétriqo»' R — (A — c)^{c — a)^{a — b)* des racines a, 6, c de Téquation op^-i- px-hq^f^

Je vais chercher à mettre R sous forme d'un polynôme en a dont les coefliaients soient des polynômes en p^ q; b el c sont les racines de l'équation

x*-f- ax -t- a*-H/> = o.

On a, par suite,

d'autre part (a — c)(a — b) s'obtient en remplaçant .v par a dans

x^ -h ax -^ a^ -h p ; on a donc

et. par suite,

(a — c)'(rt — 6)*= 9«'»-4- 6/?a*-i-/>*

= ^a(— pa — q) 'n (y p a^ -\- p*

= — 3 )[?«*— i)qa -H/?*, et, enfîn,

R = (3rt«-i-4/?)(3/>ûr«-H9gra— /?^)

= çipa^-h 'ijqa^-^^p^a*-h^6 pqa — .\ p^

= ^pa{'^ pa — ^) -H 'à'jqi— pa — ç) -H 9/^*a* -H 2C)pqa — 4 A>'