ÉLIMINATION

267. Kiiminer x entre deux équations /(x)= o, g{x) = o, c'est trouver la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces deux équations pour qu'elles puissent être vérifiées par une même valeur de x.

Plus ^généralement éliminer n inconnues .ri, .ra, . . ., Xn entre n -\- i équations /, = o, /^-^o, ..., /„^., = 0, c'est trouver la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces équations pour qu'il y ait un système de valeurs des inconnues qui vérifient à la fois les /i -|- i équations.

A ce problème se relie immédiatement la question suivante : La condition pour que les n 4- i équations admettent une solution étant vérifiée, trouver cette solution.

Le problème général n'ofTre aucune difficulté lorsque n des n -h 1 équations sont du premier degré en .r,, .r^, .. ., x,, ; on résout alors ces n équations par rapport à ces n inconnues et l'on substitue les résultats dans la ( /i -h 1 )'*'"% qui doit être vérifiée après la substitution.

Dans ce qui suit, Je me bornerai au cas de deux équations f{x) = o, g{x) = o, en supposant que/(x), g{x) soient des polynômes en X, 11 s'agit de trouver la condition pour que les'deux équations aient une racine commune, et de trouver cette racine commune.

Si les deux polynômes /(x), g{x) ont une racine commune a, ces deux polynômes ont un diviseur commun j? — a; s'ils ont un diviseur commun, ils ont autant de racines communes que ce diviseur admet de racines. Le problème posé se ramène donc à celui-ci : trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes aient un diviseur commun, et trouver ce diviseur commun.

Le premier de ces problèmes a été traité aux n"' 167. . .170; il >â être repris par des méthodes indépendantes de celles qu'on a développées alors.

Quant au second problème, la théorie du plus grand commun diviseur en fournit immédiatement la solution. Lorsque les deux polynômes f{x)^ gi-^) ^^^^ ^^^ <^" plusieurs racines communes, on trouve cette racine commune ou ces racines communes en cherchanl le plus grand commun diviseur des deux polynômes /(x), g{x) et en résolvant Féquation obtenue en égalant à o ce plus grand commun diviseur. Je rappelle que, lorsque les deux polynômes n'ont qu'une racine commune, lorsque leur diviseur commun est du premier degré, cette racine commune s'exprime rationnellement au moyen des coefficients des deux polynômes (n** 71). Elle est réelle si ces coefficients sont réels.

On a déjà fait observer que la solution des deux problèmes posés était immédiate quand l'un des polynômes est du premier degré : si l'on a, par exemple, g(x) =: ax -^ b (a^ o)^ la condition cherchée est// ) = o, et. si cette condition est vérifiée, la racine

commune est

11 est encore aisé de résoudre ces deux problèmes quand l'un des polynômes est du second degré : Supposons, par exemple, que Ton ait g{x) = ax^'^bx-hc{a^o), on fera la division de /{x) f^r g{x) au sens du n" 51; soient Q(:r) le quotient et Aar-i-BIc reste, on aura identiquement en x

f{x) = (ajr«-H6a:-h c)Q(jr;-i- Ajr-i- B;

ÉQUATIONS ALGÉBEIQVBS. 347

toule valeur de x annulant ax^-\- bx -^ c ei f{x) annule kx -h B; supposons d'abord que A ne soit pas nul, la valeur de x qui annule

B Ax-}-Best^ = — -tj si cette valeur annule aa:^-|- 6a? -|-c, c'est-

à-dire si l'on a

aB« — 6AB-4-cCA« = o,

elle annulera évidemment /(^). On vient donc d'écrire, dans ce cas, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes /(a:), g{x) aient une solution commune, et cette solution a? = — -r s'exprime rationnellement au moyen des coefficients de f{x) et de g{x).

Si l'on a A = o, il faut évidemment, pour que les deux polynômes /(x), g{x) aient une solution commune, que l'on ait, en outre, B=o; dans ce cas, /(j:) est divisible par aa?^H- 6a: -h c; les deux polynômes /(ar), g{x) ont en commun les deux racines de l'équalion ax'^ H- bx -j- c = o. Les conditions A = o, B = o sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux équations fix) = o, g{x) = o aient deux racines communes.

Supposons, par exemple,

le reste de la division de x^-^px + q par Zx^-^p s'obtient en remplaçant x"^

par — ^; il est ^ h y. Si /? n*est pas nul, la condition pour que/(j?)

tl/*(x) aient une solution commune est

p-hj^=:0 ou 4/>»-+-27y« = 0,

la racine commune est x = — • Si l'on a /> = o, il faut, pour l'existence d'une

racine commune, que q soit nui; les deux équations ont alors la racine commune (double) X = o.

Cette méthode s'applique sans difficulté à deux équations du se- «'ond degré; toutefois, l'artifice suivant permet d'obtenir plus rapidement le résultat. Soient

, aa?*H-6j7H-c=o,

les deux équations données; supposons qu^elles aient une solution commune et désignons-ia par x\ les deux égalités précédentes seront alors des identités; on peut aussi bien les regarder comme des équations du premier degré à deux inconnues, qui s'appelleraient x- el or, et dont les valeurs, en supposant ab' — a'é ^ o, ne peuvent être que

bc' — b' c ca' — c'a

"^ " âb'^^^râl)' ^- ab'-a'b'

réciproquement, ces valeurs mises à la place de x'^ et de x vérifient le> équations précédentes; si les deux équations en x ont une solution

commune, celle-ci ne peut être que —r, rr et son carré doit être

^ » ab — a b

^^^^ ^ b' — — ^' d'ailleurs, l'on a

/ ca' — c'a\* bc'—b'c \ab' — a'b) - ab'—a'b"

les deux équations en x sont vérifiées quand on remplace x par ,,__ — rr et x^ par le carré de cette quantité : elles admettent une solution commune.

Lorsque ab' — a^b est différent de o, la condition

(•2) {ca' — c' a)^ — {ab' — a' b){bc' — b' C) = o

est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équfi-

• • ca' c' a

t/ons aient une racine commune, qui est alors —r, rr-

' ab — a b

Examinons maintenant le cas où ab' — a' b est nul, et supposon? d'abord que a, a' soient diflerents de o, en sorte que les équations ( i soient ellectivement du second degré. Les deux équations (i ) considérées comme des équations du premier degré à deux inconnues r et X ne peuvent avoir de solution que si l'on a a' c — rtc'= o, éi^alit» qui, jointe aux conditions /i^'— a'6 = o, « ^ o, a'^o, entram' bc' — b'c^=o : les deux équations en j? ont alors leurs coefficient proportionnels: leurs deux racines sont les mêmes.

Si Ton a ab'—a'b = o et a = o, il faut que l'on ait soit & = •• soit a = o. Dans le premier cas, la première équation ne pourwii être vérifiée que si Ton avait c* = o; elle serait alors une identité, t^t

ÉOVATIONS ALGÉBRIQUES. 3/|9

Ton pourrait dire encore que les deux équations ont leurs racines communes. Si Ton a à la fois a ^ o, a'= o, les deux équations proposées se réduisent au premier degré et n'ont pas, à proprement parler y de racine commune, sauf dans le cas où Ton aurait

Observons que, si Ton a a6' — èa'=o, la condition (a) entraîne ca' — d a = o. Les deux conditions

ab' — ba' = Oj ac' — ca' = o

entraînent soit b& — b'c = o, soit rz = o, a'=o. On conclut de là (|ue la condition (2) est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations (i) aient une ou deux racines communes ou pour que Ton ait a = o, a'z=o. Si Ton convient de dire qu'une équation (lu second degré a une racine infinie quand le coefficient de J?^, dans celle équation, devient nul, on peut dire que la condition (2) est la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (1) aient au moins une racine commune, ou pour qu'elles aient Tune et l'autre une racine infinie.

La condition pour que deux équations du second degré aient une racine commune peut se mettre aussi sous la forme

('?.ac'-^7.a'c— 66')î — (6«— 4«c)(6'«— 4a'c'; = 0.

Le premier membre de celte égalité est en effet identique au premier membre de l'égalité (2), au facteur 4 prt-s.

268. Transformation des équations. Cas simples. — Les cas simples du problème de l'élimination que l'on vient de traiter suCfisent à résoudre quelques problèmes faciles relatifs à la transformation des équations.

Une équation de degré n

(n f{x) = aQX"-h atX'-'-^-h. . .-h a„ = o

élant donnée, on demande de former une équation de même degré dont les racines soient celles de l'équation (1) augmentées, diminuées d'un même nombre, multipliées, divisées par un même nombre, ou

35o CHAPITRE XVI.

encore dont les racines soient les inverses, ou les carrés, des racines de Téquation (i).

Supposons qu'on veuille, par exemple, trouver une équation donl les racines soient les racines de Téquation f{x) = o, diminuées de h. En désignant par x une racine de l'équation /{x) ^ o et par v la racine correspondanle de Téquation cherchée, on devra avoir

par conséquent, y devra vérifier Téquation /(y -\- h)^=o; réciproquement, si y vérifie cette équation, il est clair que x=y -^ h devra vérifier Téquation proposée.

Les racines de Téquation (en y), /{ y -{- h) = o, obtenue en éliminant X entre les deux équations

seront donc les racines de l'équation f{x) = o, diminuées du nombre h.

Au surplus, le résultat se vérifie immédiatement sur la formule de décomposition en facteurs. Si l'on désigne par x,, x^, ..-, x^ le^ racines de l'équation (i), on a identiquement en x

/( x) =z ao(T — xi) (x — Xi ) . . , {X — x„),

et, par suite, identiquement en j-,

/(y-^h) = ao{y-hh—Xi)(y-hh — Xi)...(y-i-h^Xn}i

on voit que les racines de l'équation f(^y-\-h) = o sont JC| — A, X2 — /*, . . ., J?// — h; cette façon de raisonner montre clairement, en particulier, qu'à une racine multiple de l'équation /(x) =0 correspond une racine multiple, du même ordre de multiplicité, de Téquation/(j^ + A) = o.

On voit de même que les racines de l'équation y( ^ ) = o obtenue:-

en éliminant x entre les équations /(j?) = o, y ^ kx sont les racines de l'équation /{x) = o, multipliées par le facteur k;

Que l'équation fi-) =0, obtenue en éliminant x entre les équations y(x) = 0, j: = - , admet comme racines les inverses des racine? de l'équation /(x) = o.

KQUATIONS AIX.KBRIQUKS. 35 1

II est clair que, dans ces divers cas, si l^on sait résoudre Féquation en y, on sait, par cela même, résoudre Téquation en x^ et réciproquement. II peut se faire que Fune des deux équations soit plus simple que l'autre.

Au lieu d'employer une nouvelle lettre {y) pour désigner la nouvelle inconnue, on conserve souvent la même lettre x ; ainsi on dira que les racines de lVquation/(j7 H- A) = o (la transformée en j? -h A) sont les racines de Téquation /(j?) = o diminuées de A; que les

racines de l'équation /( v ) =o (la transformée en -r ) sont les racines de Téquation /(x) = o multipliées par k; que les racines de l'équation /( - i = o (la transformée en - ) sont les inverses des racines de l'équation /(x) = o.

La première transformation, le changement de x en x -\- à^ permet, en choisissant h convenablement, de faire disparaître le terme en j:"' ' ; on a en effet

il suffira de prendre A = — : la résolution de l'équation proposée, du degré aï, est ramenée à la résolution d'une équation analogue, mais où manque le terme de degré n — i .

S'il s'agit par exemple de l'équation du troisième degré

ax* -hbx*-+-cx-hd = o;

on voit que son premier membre devient, en remplaçant x par b

, / 6« \ ^ bc ?.b^

Si donc on pose

3 ac — b^ __ 517 a^d — 9 abc -+- 2 6'

la résolution de réquation proposée est ramenée à la résolution de l'équation

Lorsqu'on aura résolu cette dernière équation, il suffira d'ajouler — w- à chacune de ses racines pour avoir les racines de Téquation proposée.

Le changement de x en v remplace l'équation (i), après avoir multiplié par A"", par l'équation

il est utilisé, lorsque l'équation proposée a ses coefficients entiers pour la remplacer par une équation ayant aussi ses coefficients entiers, mais où le coefficient de x" est l'unité; on y parvient toujours en prenante = «o, puisque, alors, tous les coefficients sont divisibles par ao.

La transformée en — x d'une équation, qui s'obtient en changeant ^ en — X dans son premier membre, ou, ce qui revient au même, en changeant le signe, soit de tous les coefficients de tous les lerraes de degré impair, soit de tous les coefficients des termes de degré pair (y compris le terme constant), a pour racines les racines de l'équation proposée changées de signe. L'équation .r^ -{-/? a; — q = o est la transformée en — x de l'équation x-^ -\- px -h g = o.

Pour que les deux équations /(.r) = o, /( — x) = o, dont chacune est la transformée en — jc de l'autre, aient les mêmes racines, il faui qu'à chaque racine de l'équation /(x) = o corresponde une racine symétrique (de même ordre de multiplicité) de la même équation. Lue racine nulle est à elle-même sa propre symétrique; écartons le cas où réquation /(x) = o aurait de telles racines, c'est-à-dire le cas où le terme constant est nul; les racines de l'équation /(x) devront pouvoir se ranger par couples tels que x^ et — X| , X2 et — jtj, ••: elle devra, par conséquent, être de degré pair. En appliquant la formule de décomposition en facteurs, on voit que l'on aura identiquement

Le second membre, développé, ne contiendra évidemment que des termes de degré pair. Réciproquement, si le premier terme d'une équation ne contient que des termes de degré pair, cette équation est ë\idemmeut identique à sa transformée en — x.

La résolution d'une pareille équation se ramène immédiatement à la résolution d'une équation de degré moitié moindre, qu'on obtient en y remplaçante- par^; puis, quand on a résolu cette équation par rapport à j^, à l'extraction de n racines carrées.

C'est la méthode classique pour la résolution de Téquation bicarrée.

2dB. Si, dans l'équation (i) du numéro précédent, on remplace x par -> et qu!on multiplie par a:", on obtient l'équation

les coefficients y sont rangés dans l'ordre inverse. Cette transformée en - » dont le premier membre, par définition, n'est autre que

donne l'occasion de faire quelques remarques importantes.

Tout d'abord, en partant d'une équation admettant pour racines les inverses des racines de l'équation (i), on supposait implicitement que l'équation (i) n'avait pas de racines nulles, c'est-à-dire que a„ n'était pas nul; c'est sous cette condition que l'équation aux inverses est effectivement du /i**"« degré : s'il arrivait que, dans l'équation (i), les/? derniers coefficients a„^^i, an-p^2'i • • •? ^«j fassent nuls, On^p étant d'ailleurs différent de o, l'équation f{x) = o aurait une racine

multiple nulle d'ordre/?; l'équation x"/( -j =o serait de degré

n — />; ses n — p racines seraient les inverses des n — p racines non nulles de l'équation (i).

On démontre que, lorsque, dans l'équation (i), les p derniers coefficients (mais non an-p) sont très voisins de o, l'équation (i) a yy racines très voisines de o : si l'on se donne un nombre positif quelconque e, on peut fixer un nombre positif r, assez petit pour que p racines soient assurément plus petites que £, pourvu que les T. — II. 23

^«— OH-Î 0,n

valeurs absolues des rapporls-^^-^^» îLJî±î, ..., Jl2- soient moindre» que 71 («).

S'il en est ainsi, les p premiers coefficients de Téquatiou au\ inverses (mais non le ^'<'™«) sont très petits, et cette équation a p i^cines très g;randes en valeur absolue, puisqu'elles sont les inverses de p nombres très voisins de o.

De même, si les/? premiers coefficients de l'équation (i) [mais uon le (/> 4- 1)'<^'"«] sont très voisins de o, les p derniers coefficients de l'équation aux inverses seront très voisins de o ; cette dernière équation a p racines voisines de o, l'équalion (i) a /? racines très g^ande^ en valeur absolue.

De là, la façon de parler suivante :

Lorsque les coefficients d'une équation qui est, en général, du degré n sont variables et que les p premiers coefficients s'annulent [mais non le (/> 4- i/*""*]. on dit que cette équation admet alor> p racines iniinies, de même que l'on dit qu'elle a y? racines nulles si les/> derniers coefficients s'annulent.

Lorsque, dans deux polynômes en x^ on regarde les coefficienb comme variables et que, dans les deux polynômes, les p premiers coefficients sont nuls, sans que le (/? -i- i)**^*'"" soit nul dans les deux polynômes, on dit que les deux équations obtenues en égalant à o le> deux polynômes ont/> racines communes infinies.

Cette façon de |)arler a déjà été employée pour les équations du second degré; elle est cohérente avec celle qu'on a employée au n'^SJ (|uand on parlait des dniseurs communs à deux polynômes.

Considérons un polynôme du n *^'"^ degré homogène en or, /, ou, (onime on dit souvent, une forme binaire du degré /i,

( e polynôme peut s'écrire sous la forme

^.■.[«.(;.)'V«.(jj'-'+...-^«„].

(^) Je Inisse de côlé la dcnionsiralion de cet iinporUnt tiiéoi*éijie, que je n'invo<(ve ici que puur juslilier une façon de parler. 11 esi le point de départ de la défiotlioa des n racines d'une cqualiun du /r*'"" deiiré, considérées comaie fonctions (implicites ) des coeflicients de celte équation. On a admis, en général, au n« 219, 1'^»*tcucc des fonctions implicites.

KiiUATIONS ALGÉBRIQUES. 355

Si Oq n'est pas nul, et si l'on désigne par Xi, X2^ . . ., x,i les racines du polynôme aoX^-h at x"^^ -i-. . .H- a„, on aura idenliquement en x

«0^"-*- «107"-* + ... -h «/,= ao(ar — x^) {x — x^) . .* (a? — x„)^

et, par suite, en remplaçant x par -> et en multipliant les deux membres par ^'", on aura identiquement en x, y

f{^,y) = ao(x — Xiy)(x — Xty) ... (x-^x»y).

Si l'on avait

ao=o, «1 = 0, ..., a,,i = o, «/,^o,

le polynôme /(jr,^) pourrait s'écrire

en désignant par Xt, ar^, ..., Xfi.p les /i — p racines du polynôme apX"~P'^ ap^iX"~P~^ -4-. . .4- a«, on aurait identiquement en x

apX^-P-h ap^ix^^-p-^ -h . . .-+■ an= ap{x — xt){x — xt) ,., (a? — a?«. p),

et, par suite, en remplaçant x par — et en multipliant par ^"j on aurait identiquement en x, y

/(^, y ) = CtpjrPix — Xiy) (x — Xijr) ... (x — Xn-pJ^)-

Ainsi, un polynôme homogène du n'®"*^ degré peut toujours être décomposé en n facteurs du premier degré en x, y. Parmi ces facteurs, il y en a autant qui ne contiennent pas x quMl y a de coefficients nuls au commencement du polynôme, ou de racines infinies dans Féquation. (du /i'*™* degré en général) que l'on obtient en égalant le polynôme à o, après y avoir remplacé y par i ; les racines de

celte dernière équation sont les valeurs de - pour lesquelles s'annulent les facteurs qui contiennent x. Si les q derniers coefficients du polynôme étaient nuls, on pourrait de même mettre en facteur x^ dans ce polynôme, comme on met yP en facteur lorsque les p premiers coefficients sont nuls.

11 est à peine utile de faire remarquer que, dans le cas général, les valeurs de - telles que le polynôme homogène f{^ty) soit nul soni les inverses des .valeurs de - qui annulent le même polynôme (').

270. Revenons, en supposant maintenant a^ et an différents deo. aux deux équations

/(a?) = acar» -h aiar'*-* H-. ..-+-«/,= o, an ar» H- a^-i ar»-* -H . . . -4- ao = o,

dont chacune a pour racines les inverses des racines de l'autre, el cherchons sous quelles conditions ces deux équations sont les mêmes, sous quelles conditions la première, si elle admet une racine a, admet aussi pour racine le nombre -> les deux racines ayanl le même ordre de multiplicité. 11 faut, pour cela, que l'on ait

ao «i ai

Un an-i a„-t

ai ai ao

ces égalités de rapport étant entendues en ce sens que si, dans un rapport, le dénominateur est nul, le numérateur doit aussi être nul.

(') Il est souvent commode d'associer à un polynôme en x, du degré n, /{x) = ajj7»-ha,ar"-'-+-...-^a,., le polynôme homogène en x, y

que j'appellerai, pour abréger, le polynôme f{x) rendu homogène. On passe du polynôme /(j7,j^) au polynôme f{x) en y remplaçant y par i. Aussi rcgarde-l-on souvent la lettre y comme une variable fictive qui, une fois les calculs effectuéedoit être remplacée par i. A ce point de vue, /j., yy., les deux dérivées partielles du premier ordre du polynôme /{x^y), désignent deux polynômes en x, dont le premier est identique à la dérivée f {x) de f{x) et qui sont liés à /(x) par l'identité

nf{x,y)=xf'j, + yf^ (ti« 40), ou

nnx)=xf'^-^f^,.

L'égalité des rapports extrêmes montre qu'on doit avoir

a» = aj,

par conséquent ao = ±a,t] dans le premier cas, tous les rapports sont égaux à i, les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux; dans le second cas, tous les rapports sont égaux à — i, les coefficients à égale distance des extrêmes sont symétriques et le terme du milieu, s'il y en a un, est nul. Inversement, si Tun ou l'autre de ces systèmes de conditions est vérifié, il est clair que l'équation proposée et la transformée en sont identiques.

Les équations pour lesquelles il en est ainsi sont dites réciproques. Elles appartiennent à deux types distincts, faciles à reconnaître. En désignant par/(j:) le premier membre d'une équation réciproque, on a identiquement, pour le premier type,

/(x) = xv(j).

et, pour le second type.

En faisant, dans cetle dernière identité, 07 = i, on trouve

ce qui entraîne /(i) = o. Les équations réciproques du second type admettent la racine x = i . En faisant x = — i dans l'identité

on trouve

égalité qui est vérifiée d'elle-même si n est pair, qui entraîne /( — i)=:o si n est impair : les équations réciproques du premier type admettent la racine x = — i , quand elles sont de degré impair. Si, d'une équation réciproque, on supprime toutes les racines i ou — i qu'elle peut avoir, en divisant par des puissances convenables de ,r — i et de ar + i, l'équalion reste évidemment réciproque : à chaque

.358 CIIAPITRK XVI.

racine a de cette équation correspond toujours une racine inverse -

qui, alors, est différente de a, puisque, l'équation n*admettant plus de racine égale à i ou à — i , on ne peut avoir a^ = i . Or, il résalle des remarques précédentes qu'une équation réciproque qui n'admet ni la racine i , ni la racine — i, appartient nécessairement au premier type, celui où les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux, et qu'elle est nécessairement de degré pair. C'est là, é\'id€mment, \e> seules équations réciproques qu'il y ait lieu de considérer. On verra un peu plus loin comment leur résolution se ramène à la résolution d'une équation de degré moitié moindre et d'équations du second degré.

271. Les transformations élémentaires dont il a été question jusqu'ici sont évidemment comprises dans la suivante : Soit

l'équation proposée; on demande de former une équation en z dont chaque racine soit liée à une racine de l'équation (i) par Tune ou l'autre des relations équivalentes

^ = 75 n7> ^ = TT »

P^-f-?'' '""" Px-i

en sort3 que, si l'on désigne par j^i, x-j, . . ., x» les racines de la proposée, les racines Zi, 53, ..., z,t de la transformée s'olitiendronl en

remplaçant x par X|, .r^, ..., x„ dans ^ ; de même, lej^

racines de la proposée s'obtiendraient en remplaçant z par S|, ^j, .... z,i dans ^ ô^- On suppose que les constantes a, ^3, a', ^' satisfassent à la condition a^' — a'^^o, afin que la fraction r/, ^v dépende effectivement de 5. L'équation transformée s'obtient évidemment en rem plaçante par Q-T~r~â'' dans l'équation proposée; lorsqu'on a chassé le dénominateur, on peut l'écrire

KQI'ATIONS AUiKBRIQtKS. 359

On peut (lire encore que le premier membre de relie équation s'obtient en remplaçant x par a 3-+- a', y par jS^-f- [5' dans le polynome/(j7, j') qui se déduit du polynôme /(a:) en le rendant homogène.

FI n'est pas inutile de vérifier ce résidtat sur la décomposition en facteurs, comme on Ta fait pour la transformée en j? -h li.

L'identité en x

/(t) = ao(.r — ,r, ) (./; — .r* ) ... (.r — .r„)

montre, en remplaçant x par f/ ^ et en chassant les dénomina-

leurs, que Ton a identiquement en z

rto(aa-4-a')'» -t-rt,(a5-f-a')«-'(p5-}- 3') -+-...

= ao[(a-.3.r,)5H-a'- ^'.r, | [(a - ^j.,)^ -h a'— ?'.rj | ...,

et cette identité montre bien que les racines de l'équation en z sont

—r y — jf > • ••; a une racine multiple de I équation en .r

correspond une racine multiple de l'équation en :;, du même ordre de

multiplicité. Si l'équation en J? admettait/? fois la racine ^> l'équation

r en z aurait p racines infinies : inversement, si le degré de Téqualion

en z est n — /?, c'est que l'équation en x admet /) racines égales à ^, •

Supposons, par t*\cmple, que réqualion proposée soil réciproque vt qu'on V fasse la transforiiiation 5 = ; si, dans cette dernière expression, mi

change 5- en — t z se change en — z. Si, dans l'équalion m 3, on chanjçe z

en — 5, on devra retrouver une équation qui ait les mêmes racines. Le lorteiir reconnaîtra sans peine que l'équalion en 3 a autant de racines nulles que l'équation proposée a de racines égales à ï, autant de racines infinies que l'équalion proposée a de racines égales à — i, qu'elle e*^t de degré pair et ne coniieni plus que des termes de degré pnir, quand on a supprimé les racines nulles. Sa résolution se ramène alors à la résolution d'une équation de «legré moiiié moindre et à des extractions de racines carrées; quand on l'a résolue, les \aleurs correspondanles de x sont données par la formule

36o CHAPITRE XVI.

i72. Toute une branche importante de l'Algèbre se rattache à la transformation précédente. Considérons les deux polynômes du numéro précédeni:

OU plutôt les deux formes binaires (à deux variables)

/(.^jy) = «o^^-H aiar"-»^ -4-, . .-+- a;,^",

^{z, t) = ao(oiz -h 9.' ty^-h aiioLZ -r- ol' t)^-^ {^z -*- ^'/) -4-...

obtenues en rendant homogènes les polynômes /(a:) et ^(5) et dont la seconde se déduit de la première en y remplaçant respectivement x, y par 12 — 2'.'. 3-s -r p'f. Les formes /( a?, ^), ^{z, t) sont décomposables en facteurs lint^airo^

en a:, ^ et en -3, /. Les valeurs des rapports - et - qui annulent les factfur*

correspondants sont liées comme il a été expliqué dans le numéro précédeni. Tout polynôme çC^Tq, a|. ...,a«) homogène en «o» «h •••! <*« ^^ quels relcition

<p(6o, i»,, ...,ô«) = («?'-- a'P)''?(«oiai, .-.jO/f),

où /? désigne un entier positif, devienne une identité en «oi «1» . • m ^n» *' ?• 3c', P' quand on y remplace les coefficients 6©, ^1, ..., 6„ de la forme ^U,/' par leurs expressions en «o» «1, .... «/i» a, P, *S P' s*appelle un invariant àv la forme /(iF, j') [ou du polynôme /(x)].

Je rae borne à signaler les expressions suivantes des coefficients 69, ^i,...,^/!* que le lecteur établira sans peine : on a

Dans la seconde formule, /ot,/p désignent ce que deviennent les dérivée? S'xyfy ^^ 'a forme/(j', j) quand on y remplace x^ ^ par a, p. Dans Texpre*- »iion de 6^,, le second membre est une puissance symbolique; après avoir effectué la puissance />''"' de a'/; h- p'/^. on doit remplacer (/i)*(/^>'"^ par /Jj'{'^,,j, en entendant par rette dernière expression ce que devient, quand <»n y remplace x et y par a et p, la dérivée />''^'"* de f{x^y) prise k fois p;>r rapport à j- et /?— A fois par rapport à y (n" 48).

ÉQUATIONS ALGÉBniQUES. 36 1

Si, par exemple, on suppose (<)

= 60 3» -H 2 Ô| « < -h Ôt '*!

on aura

Ôq = ao»* 4- 2 ai a P -+- as p*,

6, =aoaa'-Ha,(aP'+a'P)-i-ûr,p?'«,

6, = aoa'» -h aaja'P'-t- a,p'*;

si l'on regarde 60, 6|, 62 comme définis par ces formules, on a identiquement, en ao, ai, aj, a, p, a, P',

606,-6? =(ap'-«'P)«(aoa,-aJ).

Cette identité, aisée à vérifier, sera établie, sous une forme plus générale, au n"293 : aoa^ — a\ est un invariant de la forme UqX^ -t- ^aixy -t- aj^*. La notion d'invariant se généralise de diverses façons.

273. Supposons qu^on veuille trouver une équation ayant pour racines les carrés des racines de Téquation

(ï) aoa;'* -H aia?"-* -f-. ..-f- a» = o.

Si yi est une racine de Féquation cherchée, il doit y avoir une racine Xt de l'équation proposée, telle que Ton ait j'i = J:^ ; il suit de là que les deux équations en x

/{X) = 0, ^1 — iF»==0

doivent avoir une racine commune (x = Xt) ; réciproquement, sî ces deun dernières équations ont une racine commune Xi, y^ est certainement le carré d'une racine de l'équation cherchée; d'où la conclusion suivante :

On obtient l'équation en y^ dont les racines sont les carrés des racines de l'équation f{x) = o, en éliminant x entre les deux équations

(') Conformément à rhabitude, j'ai écrit 2ap ib^ à la place de a,, 6,; relativement à cette notation, voir l'Exercice Î3.

362 CII\IMTRK \V1.

L'élimination se fera comme il a été expliqué plus haut. On cherchera le reste de la division Ae f(x) par:c*^ — y\ pour cela on remplacera dans f{x)^ x^ par^. Réunissons dans f{x) les termes de des^ pair, dont je représenterai la somme par •i(.r-), et les termes de dejjré impair, dont je représenterai la somme par J7©(.r-), en sorte qu'on ait identiquement /(^) = j:o(a:^) -h 4'('^^)î '^ reste cherché sera ^o{y) -\-i({y). Le résultat de l'élimination s'obtient en remplaçant X par — jL2^ dans l'équation y =i x^\ l'équation cherchée c<it

si y est une racine de cette équation, la racine de l'équalion en x

dont elle est le carré est — ^V^- S'il y a une valeur de y qui annule

à la fois i^{y) et o(^), cette valeur est une racine double (au inoin<;i de l'équation en^; pour une telle valeur de j* les deux équations (en x) /(x) = o, x'^ =y ont deux racines communes, é\idemmenl symétriques.

Le premier membre (changé de signe) de Téquation en y peut évidemment s'obtenir en multipliant /(.r) = .rs(j;^) + 'i(jr-) par /( — x) = — X'fîx'"^) -h '!j(x'^), et en remplaçant dans le résultat rpar ^. Je laisse au lecteur le soin de retrouver ce résultat, en parlant de l'expression de /(x) décomposée en facteurs du premier depr^'

274. Élilnination par les fonctions symétriques. — Soit mainlcnanl à éliminer x entre les deux équations /(x) = o, g{x) = o, en supposant

désignons par jTi, j^j? •••? ^/?* les racines de/(.r), par j'i, )'2i — /« les racines de g{jc). Dire que les deux polynômes f et g doi\enl avoir une racine commune, c'est dire que l'un des nombres /O <:. /(r^), •••, /O'/i), ou le produit /(y,)/(y .,)... /(r«)7 Joil être nul: c'est dire aussi que l'un des nombres g{xx)^ o (^a)? • • m gi'^m')^ *^" '"^ produit g{^\) g{x*i) ' • ' g{xm)'i doit être nul; la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes /(^), g{^} ^'^"^ ""*^

EQUATIONS ALGÉBniQUES. 3<>'^

racine commune s'eicprime donc par Tune ou Taulre des égalités

Il est aisé de vérifier que ces deux égalités sont équivalentes : si, en effet, dans l'identité (en x)

/(X) == (x — Xi) (x — Xi) . . . (x — Xm)

on remplace successivement œ par^i,j^2, ...,^« et qu'on multiplie tous les résultats, on voit que le produit /(jKi)/(^2)- • -/(j^w) est le produit de toutes les mn différences que l'on peut obtenir en retranchant d'une quelconque des n quantités j)'i,j^2, ...,r„ Tune quelconque des m quantités j?i, ^Pj, ...,.r,„; on représente ce produit par le symbole

j^rj^y — ar,) (1 = r,2, ..., m; y = I, 2, ...,/i).

Il est clair que le produit ^(:ri)^(j?2). . .^'(a;,,,) est égal au produit des mêmes différences toutes changées de signe. Remarquons que les égalités

('^ > /(yi )f(yt). . Jiyn) = W iyj—Ti) = (-!)'«« g{x,)g{x^), . . g{x,n)

deviendraient des identités en j:,, ^rj? • • •? «^//n JK1Î.X2? -* ^^yn si l'on regardait ces lettres comme des variables, les quantités — /?,, /?2,

— /?3, ,( — ^y^Pm comme les fonctions symétriques élémentaires

de Xi, J72> • ••? Xm et — ^1, <72, — q^^ . . ., ( — i)"^/* comme les fonctions symétriques élémentaires de ^'1,^2 î •••j^w

Le produit /(^,)/(^2)-« -/(y /ï) est une fonction symétrique en Vi, ^2? î ^/i quij si on la développe, a évidemment pour coefficients des polynômes en />i, /?2, • • •? Pm du degré /i (au plus) et dont quelques-uns sont certainement de degré /? ; ces coefficients multiplient des polynômes symétriques en j^i,^2^ • • •? J'mj lesquels s'expriment en fonction entière de q^^ q^^ . .., y«; le produit considéré s*expriine donc comme un polynôme en /)|, ^2? "-^fm'i ^i, 727 •••5 7// • je désignerai ce polynôme par <!R.

364 CHAPITRE xri.

A est de degré /i en /?,, /?2, . . ., />„,; si pour le calculer on sVlaii adressé à l'expression ( — ^)"^'' g(^i) g('^2)'"g(^m)j on aurait vu tout aussi bien qu'il est de degré m en ^i, g 2-, • • -j Çn (*)•

En égalant M. à o, on a la condition nécessaire et suffisante que doivent vérifier les coefficients des polynômes / et «^ pour que ces deux polynômes aient une racine commune; l'équation A = o est le résultat de l'élimination de x entre les deux équations

/(ar) = o, ^(jr) = o.

Tout polynôme * en />i, />t, .... Pm, ^ii î'î» .-.i ^n qui jouit de la propriété de s'annuler pour toutes les valeurs de/>|, . .., Çn, telles que les deui polynômes /(^), g{^) aient une racine commune, est divisible par A, Le polynôme *, en effet, si l'on y regarde —pu Ptt — Pzt • • •! — Çu Çu — Çy ••". comme les fonctions symétriques élémentaires des variables jti, . . -, J*jr. d'une part, yi^ ■ . -, ^« àe l'autre, devient un polynôme par rapport à ce^ variables qui doit, par hypothèse, s'annuler toutes les fois qu'une des premièrevariabl«>s devient é«^ale à Tune des secondes; il est donc divisible (q^58> par Il (j'y — Xi) et Ton a une identité en Xi^ ...,jrp de la forme

* = U(yj — x,)^t(xi, ...,^«j;

n(^y — x/) est comme 4» une fonction symétrique en a?j, ..., ar,n <l*anc part. ^*^ y 11 yii • ' '7 yp ^^ l'autre; il en est de même de 4>| qui est le quotient de * par ri; <l>j peut donc s'exprimer comme <t> et D en fonction de pu ^^^^ Pr* Çii --M Çnl l'égalité précédente était une identité en a?i, ...,^«; elle re?te une identité en /?i, ..., q„^ puisqu'une fonction symétrique entière d'un certain nombre de variables ne peut s'exprimer que d'une seule façon au moyen de< fonctions symétriques élémentaires de ces variables; 4> redevient alors le polynôme donné, Il se change en c^, la proposition est démontrée. Il en réfuit*' en particulier, que, si 4> est du degré n en /?|, />t, ..., pm^ du degré m en q.. 9tt •••! ^/i) ^ est identique au produit de 5{. par un facteur numérique.

Restons encore au point de vue où l'on regarde — p\^ ..., — qx'-" comni«? les fonctions symétriques élémentaires des variables X\^ ..., x^ et ri. ..»/«• en sorte que les égalités (a) soient des identités par rapport à ces variable*.

Dans ces identités, remplaçons x^^ ..., a?,,,, j^i, ..., ^n par Xari, \xt '-^e-

^y\^ ^yti ..., y^yn\ le produit Tl{yj — xt) sera multiplié par X*»"; il devra m être de même de A: d'ailleurs p\^ pu •••? Pmi Çu Çu •••7 y« sont renipla«tpar X/?,, X*/?j, ..., l^'^pm^ X^j,X*gri, ..., X'^Çn] un terme quelconque de /^

(') La iiièrnc conclusion se voit aussi sur l'expression /(^,)/(^,) . ../(/«) «asidérée comme une fonction symétrique de ^p ^'j, • . -i y^t' *'^^ ^*^ éfideniin»t d'ordre m.

est multiplié par une puissance de X, dont Texposant est

puur que la somme de tous les termes soit, quel que soit À, égale à X"*'<<^, il faut évidemment que Ton ait

a, -f- 2 aj 4- . . . -h /n a„i -h Pi -h -2 Pi -h . . . 4- n P/, = mn.

Le premier membre de celte égalité est ce qu'on appelle le poids du terme considéré; ainsi, dans ^, tous les termes sont de même poids, égal à mn\ c'est le degré de W{yj — Xi) quand on regarde x^^Xt, ..., x^n, y^yt, .,.,yn comme des variables.

Exemple. — Le résultat de l'élimination de x entre les équations

p x^ -^px -+-^ = o, x*-\- ^ =o

est, en désignant par j^i, yt les deux racines de la seconde équation,

= (yij'iy-^p}'iyt(j'\-^j'l)-^g{r]-+-yl)'^p*yiyt-^pç{yi-^yi)-^g^\

on a d'ailleurs

et, par suite,

Kn supposant qu'on ait 4/>' -+- '^-77* =0, les deux équations ont comme solution commune

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux polynômes y"(:r) et ^(j:) aient au inoins deux racines communes, s'obtiendront en adjoignant à la condition A = o, la condition exprimant que la somme des produits n — 1 à /i — i des n quantités f{y\)^ /(j'a)? • . -, f{yn) est nulle : cette condition est nécessaire, car, s'il y a deux des racines de g{x) qui annulent /{x), tous les termes de celle somme sont nuls; jointe à ^ = o, cette condition est suffisante;

en eHet, à cause de A = o^ il faut que l'un des nombres /(/i k /{y-i)'» • • "if{yn) soit nul; si le dernier, par exemple, est nul, tous le^ termes de la somme, sauf/(^i),/(jK2), -- -i /{yn-x)^ sont nuls; pour que la somme soit nulle, il faut donc que l'un des nombres Vi, J^s, • ■• yn-\ annule f{x). Si Ton voulait que les deux polynômes /"(x), g\£ ' eussent trois racines communes, il faudrait, en outre, que la somme de tous les produits n — 2 à /i — 2 des n nombres/(j'i),y"(j^2), .. ., J{y,t) fussent nuls, etc. Il est à peine utile de dire que la somme de^ produits n — 1 à n — 1 ou n — 2 à n — 2, ..., sont des fonctions symétriques de j^i, ^2, ...,j^/i et s'expriment au moyen de ^r,, Çj, ...,^«. J'ai supposé, dans ce qui précède, que les coefficients des plus hautes puissances de x dans /et dans ^ étaient égaux à l'unité. Considérons, au lieu des deux polynômes /et ^, les deux polynômes

F(ar) = a© a:'" -H a,a:"»-*-t-. . .H- a„i,

dont je désignerai encore les racines respectives par X| , Xj, . . ., x« et yijy2, '"jyn^ Posons

il est clair que l'égalité Jl 5f= o est encore la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes F et G aient une racine commune.

En remplaçant respectivement dans «^, qui est un polynôme en/^i^ Pi-t "", Pm du degré /i, un polynôme en y,, ^2» • • «j ?/• du degré m» les variables par — • —, .-., ^ et t^, 7-^, ••., -^y on obtient une

expression rationnelle en ao, «i, ...^am et 6,, 6,, 63, . . ., è^,, homogène par rapport aux variables du premier groupe et aux variables du second groupe; un monôme en />,, yoa, . . ., p„t qui, par rapport à ce?

vaiûables, est du degré /i, est remplacé par un monôme en a,, a.

a„i divisé par a'^; de même, un monôme en qt, q.^^ .-.» Çn qui- P^"" rapport à ces variables, est du degré m est remplace par un monôme

en 6,, b^^ . . ., bu divisé par 6„" ; 11 résulte de là que R = dlajôj," est

un polynôme homogène en a,,, «i, a,,, du degré n par rapport à

ces variables, un polynôme Jjomogène en A,,, 6|, . . ., 6/i du degré m par rapport à ces variables. 11 y a dans R des termes qui ne conliennenl pas effectivement ^o, d'autres qui ne contiennent pas eilecti veulent 60 .

Le polynôme R en «o, «1, ..., amt ^o? 6,, ..., 6„ défini par les égalités

où il est bien entendu que, dans le troisième membre, les fonctions symétriques de ^,,^2? •••> JK// doivent être remplacées par leurs expressions au moyen de

et que, dans le quatrième membre, les fonctions symétriques de X|, «r^, . . ., 07,,! doivent être remplacées parleurs expressions au moyen de

est ce qu'on appelle le résultant des deux polynômes F et G.

L'égalité R = o est la relation qui doit exister entre les coefficients des polynômes F et G pour que ces polynômes aient une racine commune lorsqu'on suppose cio, bg différents de o.

Lorsque a„ est nul sans que 60 le soit, il est clair que la valeur de R eal donnée par l'expression

R = 6i"F,(j.0Fi(72)...F,(^«),

uù F| désigne maintenant le polynôme

Fi = ai X"»-» H- Uf ar"»-* -h ... -H a,,,

et où, dans le second membre, les fonctions symétriques de j^d

>',, , y,i doivent toujours être remplacées par leurs expressions

en cjtj q-jj - • •» ^n', or, l'expression

368 ClIAPITRE XVI.

a'esl autre chose, d'après la théorie générale, que le résultant des deui polynômes Fj (:r) et G(a7); c'est un polynôme en «i, a^, . .^., a,», A|, 6|, ..., bn* Lorsqu'on y fait ao=o, R se réduit à 60R1; la condition R| = o, en supposant que b^ ne soit pas nul, est la condition nécessaire et suffisante pour que F| et G aient une racine commune. D'où la conclusion suivante :

La condition R = o est une condition nécessaire pour que les deux équations F = o, G = o aient une racine commune; si K est nul, on peut ajfirnier ou que ces deux équations ont une racinv commune, ou que Uon a à la fois ao= o, èo= o : dans ce dernier cas, en employant la terminologie expliquée au n^ 239, on peut dire que les deux équations ont une racine commune, finie ou injinie.

De ce que tout polynôme du degré n en /?i, />,, ..., />^, du degré m en çr,, . . ., ^„, qui s'annule lorsque les deux équationsy(^) = o, g{x) = 0 ont une racine commune, ne peut différer de cR. que par un facteur numérique, il suit immédiatement que tout polynôme homogène en a^^ at, ...,^^61 du degré n par rapport à ces variables, homogène en 6], 6s, ..., 6^ et du degré m par rapport à ces variables, qui s'annule lorsque F(â7) et G(>)ont une racine commune, ne peut différer de R que par un facteur numérique. TeW sont, par exemple, les déterminants de Sylvester et de Bézout, que l'on é appris à former aux n"* 167, 168, 169 et dont la nullité exprime que les dewx polynômes V{x) et G(a:) ont un diviseur commun.