On désigne sous le nom de discriminant du polynôme

f{x) = aoa?"«-t- ai a:"»-» -h. . .-h a,„= ati{x — X\){x — Xt).. At — t«, 1

le résultant, divisé par Gq^ de ce polynôme et de sa dérivée; en ^erlu des identités

/'(a?, ) = ao(ar, — a:,) (a-, — arj ) . . . (jr, — a',«), • ,

on reconnaît de suite que le produit /'(j7,)/'(^2) ...y(x«) e>t

«'•gai à (— 1) * «o'A, en désignant par A le produit des carrés de* difrércnces des racines de l'équation f(x)=:o. Le résultant R df*

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUKS. 869

deux polynômes /et/' défini comme plus haut est, d^ailleurs,

m im — H

•-=(—1) * aJ"*-'A

en désignant par^i, ^2? • • •? ^/«-i les racines de la dérivée f{x).

Ces formules peuvent servir à calculer A; si, par exemple, on suppose

on aura

/'(^) = 3(aoa?'-4- 2aiar-t- «i),

et Ton doit, en désignant par ^i, y-^t les racines de ce dernier polynôme, calculer /(^,)/(y2) • on a? d'ailleurs.

«0^'-+- 3aia?*-+- ZaxX -+- a»

= (aoa7*-4- 7.aix-h a,) ( xH ) h- a -x

et, par suite,

(aofls— aiûi)*— 4(«o«ï— «î)(«i«3— «î)

= iri '

d'où, enfin (*),

A=— -^faoa,— flifl,)*- 4(au«j— aî)(a,a,— aj)]. Cette quantité A est intéressante ; tout d'abord, la condition A =: o

(*) Oo voit, sur cet exemple, que R contient a^ en facteur. Il en est ainsi en général, et le discriminant de /{x) est un polynôme en «„ Op ..., a^. Désignons en eflci par yi, fi les dérivées partielles, où Ton a fait * = i, du polynôme f{x^t) déduit de /{x) en le rendant homogène. L'identité m f{x) = x fx-\-ft permet de montrer que R est égal au résultant des deux polynômes (en x) fx Qt/ii multiplié par ni'~'^a„-

370 CHAPITRK XVI.

est, en général, la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation f{x) = o ait une racine multiple. Dans le cas d'une équation du troisième degré, il suffit de se reporter aux expressions du premier degré en y^^ y 2, que Ton a substituées à f{y\)^ /(y^)^ P°"^ reconnaître que la racine double, si A est nul, ne peut être que

2(af — a^ai)

Je laisse au lecteur le soin de reconnaîti-e que si l'on avait à la fois A = o, a^a^ — aJ = o, l'équation proposée aurait une racine triple.

Dans ce même cas d'une équation du troisième degré, si l'on suppose que les coefficients ûTo, «1, «2? «3 sont réels, la condition A>o est la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation proposée ail ses trois racines réelles. En efl^et, si tout d'abord les racines ari, X2, Jj sont réelles, il est clair que A est positif; la condition A > 0 est nécessaire. Si les racines ne sont pas toutes réelles, il y en a une réelle et deux imaginaires, puisqu'il y a toujours un nombre pir de racines imaginaires quand les coefficients sont réels (n** 114). Soient j, la racine réelle, X2 et x^ les racines imaginaires, forcément conjuguées : les difl^érences Xt — a/a? Xt — x^ sont imaginaires conjuguées; leur produit, égal au carré de leur valeur absolue, est positif; il ^û est de même de (x^ — ^2)* (x, — ^j)^; d'ailleurs x.2 — Xs est purement imaginaire; son carré est négatif, A est donc négatif. Si A est positif, il ne peut y avoir de racines imaginaires ; la condition A >o est donc suffisante.

276. Transformation des équations. — Étant données une ëqu»lion du degré n

f{x) = aoa?'»^-a,a::'-»-i-...-}-art = o

el une fraction rationnelle -j— — -, dont je supposerai qu'elle est irréductible et que son déterminant ^{x) est premier à /(x), on propose de former une équation dont les racines soient les quantités

ÉQUATIONS ALGÉBHIQLK . ijl

que Ton obtient en remplaçant, dans j ' > x par les racines jCi,