Xn de l'équatîon J\x) = o

On a traité, aux. n"* 268, ..., 271, quelques cas particuliers de ce problème général.

L'équation cherchée est, en désignant l'inconnue par^,

ou, en multipliant par '|(^i) •i(^a) • • • 'H-^'O? 4"' n'est pas nul,

Le premier membre est manifestement une fonction symétrique entière de jTi, x^^ ..., Xu\ c'est donc un polvnome V{y) du degré /i, dont les coefficients peuvent s'exprimer en fonction entière

de —, — j . .., -Jî. Si l'on se reporte à la théorie de réliminalion, on

voit que l'équation F(y) = o n'est autre chose que le résultat de l'élimination de x entre les deux équations

c'est ce qu'il était aisé de prévoir d'après la définition même de l'élimination : si, en efl'et, on désigne par j^, une racine de l'équation

cherchée,^! doit être la valeur que prend -î-y — - pour une des racines x^

de l'équation /(a;) = o, en sorte que celte dernière équation cl l'équalion 6(^x)yi — ?(^) == o doivent avoir la racine commune u-, ; ea d'autres termes, yi doit être une des racines de l'équation (en y) obtenue en éliminant x entre les deux équations /'(j:) = o, *i(:r)j^ — <p(x) = o. Inversement, si ^i est une racine de l'équation en y obtenue par l'élimination qu'on vient de dire, les deux équations en Xj /(x) = o, ^{x)yi — cp(.r) = o ont une racine commune; si l'on désigne cette racine commune par Xi, on voit que^i doit être

<^g;al à la valeur que prend l'expression ' quand on y remplace x para,.

Toutefois, ce dernier raisonnement ne monlre pas comment se correspondent les racines multiples des deux équations /(x) = o

3;2 CHAPITRR XVI.

. et F(^) = o : cette correspondance va résulter clairement du premier point de \ue auquel on s'est placé.

Si Ton pose, en général, yj^ = ^ ^' (A* = i, 2, . . ., /i), il est clair

que l'équation F(r) = o aura exactement autant de racines égales

ky/ç qu'il y aura de racines de l'équation /(^) = o donnant à ~- — la

même valeur que x^', si, parmi les racines j:«, X2, . . ., ^r,, de/(\r), ilv

en a /> qui fassent acquérir à -j-r — - la valeur ^a, l'équation F(/) = o

admettra ^A pour racine /t;"^'® ; cette conclusion s'applique, d'ailleurs,

que les racines x^^ Xo, ..., Xn qui font acquérir la valeurj^'*à7^—

soient égales ou inégales ( * ).

Bornons-nous, désormais, au cas où les racines X|, j:^, ..-, J^* ^^ Téquation proposée sont inégales. Si p de ces racines font acquérir

à T^- la valeur ^>, les deux équations en a:,

ont p racines communes, le plus grand commun diviseur des deiiv |

premiers membres est du degré />, et, si Ton a pu calculer j*, on j

obtiendra les p racines communes en égalant à o le plus jn^nH |

commun diviseur et en résolvant l'équation ainsi obtenue. |

Si, en particulier, il n'y a qu'une seule racine x* de l'équa- |

lion /(x) = o qui fasse acquérir à ^— ^ la valeur ^a, le plus grami

commun diviseur sera du premier degré, ses coefficients s'exprinK*ront rationnellement au moyen des coefficients des deux équations (n" 72); il en sera de même de xa, qui sera, par conséquent, dt*

la forme u-^^' ^^ désignant par ^(y), ^{y) deux polynômes dout

(>) Dans le cas éludié plus haut, où Ton avait

deux valeurs inégales de x ne pouvaient faire acquérir à ^ — - la même valeur, il

n'en est plus de même, lorsque l'un des deux polynômes ? et <J* est d'un degré supérieur à 1.

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. SjS

les coefficients seront composés ralionnellemenl au moyen des coefficients Ae f[x)^ de *\{oc) et de ^{x).

Pour obtenir ces polynômes ^{y) et ^{y)^ on effectue les opéralions du plus grand commun diviseur sur les deux polynômes en x^ f{x) et yij{x) — 'f(^), en laissant jk indéterminé, et l'on s'arrêle quand on est parvenu à un reste du premier degré en ^; ce reste est précisément ^ly)x — W(r); il n'y a pas à craindre qu'il s'annule identiquement pour y=iyi^^ c'est-à-dire que ^(y) et ^(y) soient divisibles parj^ — j"^, puisque, s'il en était ainsi, les deux équations auraient au moins deux racines communes.

Supposons qu'on ait résolu l'équation F(j^) = o ; quel parti peut-on en tirer pour la résolution de l'équation fi^x^ = o, dont je continue à supposer que toutes les racines sont simples?

V une racine simple y^ de l'équation F{y) = o, correspond une seule racine x/ç de l'équation /(jc) = o, qui sera précisément

Xk= ^/ \' Si toutes les racines de l'équation F(^) = o sont simples,

on obtiendra toutes les racines de l'équation /(:r) = o en remplaçant,

dans ;p7~j' y par les racines T",, JK2, • • .? yn de l'équation F (y) = o.

A une racine /?"P^*, ^Aî de l'équation F(j^) = o correspondent/? racines de l'équation /(a:) = o, que l'on obtient par la résolution d'une équation du degré />. Si l'on avait p = n^ en sorte que /(y) fût la puissance n'*"® dey — j^Aî le plus grand commun diviseur entre /(j?) elyf('!^{x) — o(x) serait f{x)] la résolution de l'équation F {y) = o n'avancerait en rien la résolution de l'équation /(o?) = o.

Étant donnée l'équation en x, f{x) = o, de degré n, former l'équation en y dont les racines sont les valeurs que prend ^ - quand on y remplace x par les racines de f{x)\ c'est ce qu'on appelle faire, sur l'équation /(x):=o, la transformation rationnelle j^ = | — -- On suppose à(x) premier à /(x).

Cette transformation peut éire remplacée par une transformation entière y = gix), où ffix) est un polynôme de degré inférieur à /i; on va montrer, en effet, qu'il existe un tel polynôme ^(a?) qui, lorsqu'on y remplace x par

les racines Xi, Xf, . . ., a7„ def(x), prend les mêmes valeurs que | ' »