TV

Les polynômes ^{x) et /{x) étant premiers entre eux, on peut (n"82) déterminer deux polynômes A, B, tels que l'on ait identiquement A^j' -+- B/= » ;

on aura, d'ailleurs,

fD(x) A9 Aç

tir) ^ A'^; ~ T^B/'

d'où il résulte que, pour les valeurs de a? qui annulent /(j*), on a

Si maintenant on désigne par ff(x) le reste de la division de Aç par/, il esl clîiir que le polynôme g'(ar), de degré inférieur au degré de/(x), prendra les mêmes valeurs que Acp pour les valeurs de x qui annulent/; la transformation^ = ^(x) est équivalente à la transformation j' = Tt^T' ^^^^ conduira à la même équation en y.

L'équation /(j*) = o étant donnée, il peut y avoir intérêt à faire sur elle la transformation générale^ = ^(j*), où g{x) est un polynôme de degré «-« à coefficients indéterminés,

/r(x) =aoa:«-ï -t-aiO?"-* H-. . .-h ««-i,

et à déterminer, s'il est possible, les coefficients de façon à obtenir une équation en j^ plus simple que l'équation donnée en x. Si l'on peut résoudre U transformée en^, ^'{y) = o, on a vu plus haut comment cette résolution sert à la résolution de l'équation proposée. Si, en particulier, l'équation F(r) = o n'a que des racines simples, chaque racine de l'équation /(x) peut s'obtenir

4»( Y en substituant une racine de l'équation en ^ dans une certaine fraction ^^^^

rationnelle en ^, fraction que l'on peut, d'ailleurs, ainsi qu'on vient de l'expliquer, remplacer aussi par un polynôme G(^k), de degré inférieur an. Les coefficients de

sont des polynômes homogènes en a©, ai, ..., a„| ; on voit de suite que le coefficient de ^« ^ est un polynôme du degré k en a©» «i, • • ., ««-i» <J<>"^ '^* coefficients sont des fonctions symétriques entières en Xi, ar», . . ., jTi, cl s'expriment ainsi en fonction des coefficients de /{x ).

Si, en particulier, on veut faire disparaître le terme en >"*-* et le terme en^« î, on obtiendra entre ao, ai, ..., a.|| deux équations qui seront l'une du premier degré, l'autre du second; on pourra donc, par des opértitionf élémentaires, trouver des valeurs de ao, a,, . . ., a«| qui répondent à la question: en général, n — 1 de ces coefficients resteront arbitraires.

Le lecteur peut, par exemple, appliquer cette méthode en supposant /'/• du troisième degré; la transformation j = a:'' -h a ar-t- p, en choisissant convenablement a et p, conduira à une équation de la forme j'>H-A=o;la

EQUATIONS ALGÉBRIQUES. 375

résolution de l'équation /(x = o) est alors ramenée à la résolution de l'équalion /' -+- A = o ( 1 ).

277. Le problème que Ton a traité dans le numéro précédent peut être généralisé.

Considérons une fonction rationnelle

^(Zly.Zi, ..., Zp)

dont les deux termes sont des polynômes en «i, z^, . . ., Zp et supposons que le dénominateur ne s*annule pas quand on y remplace ^i, z^j .,., Zp par p des racines j?i, j?j, ..., x„ de l'équation donnée /(a:) = o, rangées d'une façon quelconque. On peut se proposer de former une équation en y dont les racines soient les valeurs que prend la fraction précédente quand on y remplace Zt, 5;, .... Zp, par/? des racines de l'équation /(ar) =o. Supposons qu'on ait formé les n(n — i). . .(/i— /? -h i) arrangements des

n racines Xi, x^, ..., x„, p à />, et qu'on remplace dans la fraction -^ les variables ^i, Zff ...f Zp respectivement par les nombres qui figurent dans ces n{n — i)...(n — /? + i)arrangements; on obtiendrait ainsi les n(n — i)...(/i— p-Hi) racines de l'équation en y. Le premier membre de celte équation est donc le produit de facteurs binômes de la forme

où xocj, ^Tgt,, ..., Xa^, forment un arrangement p ^ p des n racines Xy, ^ti . . ., 2^/1 (<); l'ensemble de tous ces facteurs, et leur produit, ne changent pas quand on elTectue une permutation quelconque sur les racines, puisqu'une telle permutation ne modiHe pas l'ensemble des arrangements p 'h p. Le produit de ces facteurs sera donc un polynôme en y, du degré

dont les coefficients sont des polynômes symétriques en a^i, arj, . . ., j:,, et s'exprimeront donc rationnellement au moyen des coefficients de /(x).

Il peut arriver, soit en vertu d'une certaine symétrie des fonctions 9, '^ par rapporta quelques-unes des variables ^1, Zf, ..., Zp, soit en vertu des valeurs spéciales des racines âe/{x), que le premier membre de l'équation en y soil

(M L'élirTiin.itiun de x entre les deux équalions/(a:) = o, x^-\-aiX -h p —y = o s« fait simplement par la méthode du n* "267; on pourra se borner au cas où /{x) est de la forme x^-h px -hg.

(') On peut, si on le préfère, dire que les indices ot,, «„ .. ., a forment un arrangement/? à/? des n numéros 1, 2, ..., /i.

une puissance /''^"** exacte, parce que les n(n — i)...(n — /?-*-') arrangements se partagent en groupes de r termes, chaque arrangement d'un même

groupe fournissant la même valeur de la fraction rationnelle -*-• L'élude de*>

cas où cette circonstance se produit et du parti qu'on peul en tirer pour la résolution de Téquation /(a?) = o constitue un des Chapitres les plus importants delà théorie de la résolution algébrique des équations, théorie qui en en dehors du cadre de ce Livre.

Supposons que la fraction rationnelle se réduise à un polynôme à deux variables «(5i,«t); l'équation en y sera, en général, du degré /i(/i — i). Si le polynôme flp(^i, z^) est symétrique en ^i, Z|, à chaque racine çC^ra,, Ta.) correspondra une racine égale ç(j^a,»^at)» ^^ ^ on voit de suite que le premier membre de l'équation en y est la racine carrée d'un polynôme de degré

; il est aise d obtenir directement ce polynôme.

Pour cela on n'aura qu'à faire le produit des — ^ facteurs de la forme

jr — o(jra,i ^ût,)que l'on obtient en remplaçant rra,, stol^ parles combinaisons deux à deux des n quantités a^i, a*î, ...j^r»; l'ensemble de cc^

ni n — 1) , . . , , , , , . , combinaisons n étant pas altère par une permutation quelconque

effectuée sur les n lettres a^i, a?j, . . ., Xnt le produit ne sera pas non plus altère

Il • 1 j j . /i(n — n par une telle permutation : ce sera un polynôme en j^, du degré »

dont les coefficients, fonctions symétriques de ari, a:», ..., t„, s'exprimeront

rationnellement au moyen des coefficients do/(r). Le produit des ;

facteurs de la forme j^ — çC-^a»? ^a,) sera le premier membre de l'équation

cherchée.

Celle-ci sera particulièrement aisée à former quand l'équation proposée

/{x) = o est du troisième degré; la fonction o(j7i,a7j), symétrique en Xi, j-j.

peut, en effet, s'exprimer au moyen des coeffîcients du polynôme du second

, f{x) degré — '— et, par suite, 's'exprimer en fonction entière de x^. En d'auirc>

termes, il y a un polynôme en a:, ^(x) tel que l'on ait

J'équation cherchée sera

«n d'autres termes, la transformation considérée reviendra à faire la transformation y = 6 (a?).

Par exemple, les équations qui ont pour racines les sommes ou les produits

de deux racines de Téquation x^-\'pr -\-q = 0 s'obtiennent en remplaçant dans cette équation x par — y ou par — - • formons pour cette même équation, dont je désignerai par a, 6, c les racines, Téquation qui a pour racines les quantités {b — c)', (c — a)*, (a — 6)». On a

(b — c)*= 6-H- c*— aôc = a*-f- 6*-+- c* — a*

iq à^-\-'i.ap — '>.q 'ig —ap

Cette expression suppose a différent de o. On obtiendra des expressions analogues pour (c — a)*, (a — 6)*, en supposant qu'aucune des racines ne soit nulle, c'est-à-dire que q soit différent de o; l'équation cherchée en^ a

pour racines les valeurs que prend — ^— quand on v remplace x par ût,

b, c; on l'obtient en faisant sur l'équation x^-\- px H- ^ = o la transformation

Zq — px ,, v= -z — £l. elle est j?

277' Sût

OU, en divisant par 7, chassant les dénominateurs et ordonnant,

y^ -+- 6/> v« -+- 9/>î^ -h 4/?' -+- îi7S^* = o ;

si Ton savait résoudre cette équation, on n'aurait, pour avoir les racines de l'équation proposée, qu'à en substituer les racines ^i,^î, y% dans l'expres-

sion — 2— .

En appelant toujours a, 6, c les racines de l'équation x'^-k-px-^p = 0, le lecteur reconnaîtra sans peine que, si l'on fait sur les expressions

aô* -h 6c* -h cd^^ a'^ b -\- b'^ c -^ c"*- a

toutes les permutations possibles, elles se reproduisent toutes deux, ou s'échangent; les coefficients de l'équation du second degré

{y — a6* — 6c» — ca^){y — a^b — b*c — c*a) = o

sont des fonctions symétriques entières de a^ b, c; elles s'expriment aisément au moyen de/?, q.

Si l'équation /(ar) = o est du quatrième degré, et si l'on en désigne par a, 6, c, d les racines, les trois quantités

ab ■+■ cd^ ad -h 6c, ac •+■ bd

se rcprofluiront, dans leur ensemble, par les vingt-qiialre permatations «les le lires a, 6, c, ^ : on a appris à former, au moyen des coefficienls de /(x\, les coefficients de l'équation du troisième degré dont les racines sont ab-^cd. ad-^bc, acH- 6û?(n" 266).

278. Équations réciproques- — Revenons aux transformations qui portent sur une seule racine, pour en faire l'application aux équations réciproques n'admettant ni la racine i, ni la racine — r, qui, par conséquent, sont de degré pair et dans lesquelles les coefficients à égale distance des extrêmes sont égau\

Soit

f{x) = aoar2«-haiiF*'*-* -4- ajar^w -î -i-.. ,i aiar*-h ai a: h- a© =0 une telle équation; à chaque racine X\ correspond une racine inverse — ; en

d'autres termes, les in racines de f(x) peuvent être rangées sur deux lignes telles que les suivantes :

a?i, J?j, . . ., Xn^

Xi Xi x,t

L'expression x -^ — > quand on y remplace x par les ifi racines, ne prend que n valeurs distinctes, car la substitution de :ri ou de — à x donnent ê\i~

demment les mêmes résultats. Si donc on faisait sur l'équation /{x} =0 la

transformation y = x -^ > on obtiendrait une équation du degré an dont

les racines seraient égales deux par deux ; son premier membre serait ua carré parfait, comme on le voit de suite en se reportant à la décomposition en facteurs ; ce serait le carré du polynôme

en posant, pour abréger,

Xf Xt Xfg

On va montrer tout à l'heure comment on peut obtenir les coefficients de F(^) en fonction rationnelle de «0» <^u •••» ^/i* Observons que, lorsqu'on aura formé le polynôme F(^), la résolution de l'équation y(x> = o, du degré ?.Ai, sera ramenée à la résolution de l'équation F(^) = o du degré n, ei

EQUATIONS ALGKBBIQUES. SjQ

<!es n équations du second degré

on effet, Téquation

par exemple, a pour racines ar| et — • On voit ici apparaître la propriété

o^scntielle du polynôme F(^) : quand on y remplace y par a? H — > les facteurs du premier degré qui le composaient se mettent sous la forme

s i x\ il se met lui-même sous la forme y en désignant par g{x^ un polynôme

<le degré 2/i qui n'est autre chose que — f{^)t comme il résulte de suite de

ta décomposition de/(x) en 'facteurs du premier degré. On a donc identiquement en X

lorsque, dans le premier membre, on remplace^ para: H — •

Je \ais montrer comment ou peut former ce polynôme F(^). O.I a

D'un autre côté, il est aisé de former un polynôme en y qui se change iden-

iiquemeni en xp -\ quand on y remplace j^ par x -a — •

Si, en effet, on regarde y comme étant mis simplement, pour abréger, à la

place de a: -+- -, l'équation du second degré en ^,

z'^ — yz -\- \ = iy, aura pojr racines a? et — ; a?/* H sera la somme des ^•*'»'» puissances de ses

38o CHAPITRE XVI.

racines; elle s'exprimera en fonction entière des coefficients de l'équaLîon du second degré, c'est-à-dire en fonction entière de ^; ce sera un polynôme en^; désignons-le par V^; les formules de Newton, pour ce cas, montrent que Ton a

Vp+i — V,^,^ -^ Vp = o;

c'est, d'ailleurs, ce qu'il est aisé de reconnaître directement en se reportant à la définition de Vy, : cette relation, en y regardant Vo comme égala -2, V| commr égal à y^ permet de calculer successivement

On reconnaît de suite, par induction, que V,, est un polynôme en v d'i degré /?, commençant par yP^ à coefficients entiers, dans lequel tous \e^ termes sont de même parité.

Quant au polynôme cherché F(j^), il est évidemment donné par la formule

«0 ^iy) = «0 V« -h ai V«i -T-. . .4- a«^, V, -f- a«.

279. Équations binômes. — Considérons l'équation hinome x'' — i = o, en nous bornant au cas où r = 2/i + i est un nombre impair; en supprimant la racine i, on voit que les 2/1 racines imaginaire^ de l'unité (n" 100) sont racines de l'équation

x^n | ar*"— * -h . • . -f- a? -+- I = o.

lî)n appliquant la méthode précédente, on en ramènera la résolution à la résolution de l'équation du n'*^"" degré en y^

Vn-t- V„i -H. . .-h V| -+- 1 = o,

et à la résolution de n équations du second degré. On a vu au n" 100 qui* les in racines imaginaires r'^""" de l'unité s'obtiennent en donnant à / levaleurs 1, 2, ..., /i dans les expressions

Xk = cos h i sin 9

I 'xkr. . . iki:

— = cos 1 sin

Xk 2/t-+-i 2/1 -t-i

en sorte que les n racines de Tcquation en y s'obtiendront en donnant à k les valeurs 1, a, ..., n dans l'expression

yk = a'A H = 2 cos

Xk 2 71 -H I

ÉQUATIONS ALtiÉBRIQUES. 38 1

Inversement, la résolution de l'équation en y fournil les valeurs de

cos ^ > celle de Téquation en x fournit, outre ces valeurs, celles de

2Anr

Pour /• = 3, /i = I, les équations en ar et en ^ sont respectivement ar* -i- a: -h I = o, ^ h- i = o.

La seconde équation montre que l'on a cos -^ = j les racines de la

première sont

— I -h «1^3 2ir . . 2ir a = 2— = cos ,- -h i sin -- >

— I — I ^/'ï 2 7C . . 2ir I

a* = = cos -r t sin — - = - •

Supposons maintenant qu'on prenne /' = 5, /i = 2; on a à résoudre l'équation

ar* -H a:^ -h a:* -+- a: -h I = o,

et, pour cela, à résoudre l'équation

Vf -h V|-+-i ^y^-^y -\-\ =o;

— I ±: 1/5 les deux racines de- cette équation sont -^ — -^\ elles doivent être égales

a-icos-r-, 2 cos -- ; c est évidemment la racine positive qui est égale a

•ico^ -r-*; on a donc

2ir — 1-4-/5 ^T — I — /5

ri = 2 cos -r- = i y\=-^ cos -:- = •

Four achever, on doit résoudre les équations

a?* — ^157-1-1 = 0, ar' — ^j ar -+- i = o, la première a pour racines

__ ^i± \/Ti — 4 ^i±^V4— ^f —1-4-/5 ^ v/io-h2v/5

Ces deux racines doivent coïncider avec x\ et — , c'est-à-dire avec

arj