TC , . . "^.TT

cos-r- ±:« sin-r-:

382 CilAPITRK \VI.

la distinction se fait de suite en considérant le signe des coenicienis de c on a

•ITZ . . •à.'r: — i-f-v^j . \' lo H- yi i/i

JTi = COS -r- H- « Sin -7- = ; r- l ; »

I ITZ . . ?.Tz — I -h 1/5 . V »o ■+■ '^ y/^

— = C05 -; t Sin -r- = ; * ;

Xi ti J A 4

et de même, en résolvant la seconde équation du second dej^ré,

4Tt jiî — I — /5 .V io — 2/5

X* = COS -: h t Sin -r- = ; r- i -

I 4 ^ . . f\tz — I — 1/5 . V 10 — 51/5

— =. COS -; « Sin -:- = ; t ; •

ari o a 4 4

On connaît donc

. air . Jtc v 10 -H i \o

sin -r- = sin -r- = ; 1

s.n - = sm j =

TT y \o — -2 v^5

c'est-à-dire les demi -côtés des deux pentagones réguliers inscrits dans le cercle de rayon 1 ; les valeurs de cos -r- et de cos 4 fournissent lésa pollième» •de ces polygones. De même les relations

:- ) = COS = Sin -r- i

(Tz \t:\ tz . 4r

COS ( r- I = cos — = sin -V >

. /tt 27r\ .3?: vit:

sin ( =- ) = sin — = cos -=->

(TT ^t:\ . tz 47:

r- ) = sin — = cos -r-^ •2 5 / 10 3

•dans lesquelles on connaît les valeurs des troisièmes membres, fournissent re5pectivement les apothèmes et les côtés des deux décagones.

280. Équation du troisième degré. — On a vu que la résolution J unt •équation du troisième degré pouvait toujours se ramener à la résolution duoe équation de la forme

il) ar'-H/îj? -h </ = o,

OÙ p ti q sont des nombres réels ou imaginaires. En remplaçant dans celle équation x par j^ + .s, on obtient de suite l'équation

{2} yi-^z^-^q -h{^yz -hp)(y -^ z) = o.

Pour que la somme de deux nombres y, z soit racine de l'équation (i), il faut et il suffît que ces deux nombres vérifient l'équation (2); assujettissons les deux nombres^, z à vérifier l'équation

(3) ^yz-^p=o\

il faut et il suffit, pour que leur somme soit une racine de (i), qu'ils vérifient en outre Téquation

Réciproquement à chaque racine de l'équation (i) correspond un système de deux nombres dont la somme est égale à cette racine et dont le produit est

é^^al à — ^» qui par conséquent vérifient la seconde équation (3).

Si dune on résout les deux équations (3) par rapport à ^ et à ^ et si l'on ajouie deux valeurs correspondantes de^et de z^ on obtiendra une racine de l'équation (i) et chaque racine de l'équation (i) pourra être obtenue de cette façon.

On tire de la première équation (3; z = — -^ > et en ).o/tant dans la seconde

équation (3) on obtient l'équation

ou

qui est du sixième degré, mais seulement du second degré en y^.

En portant une racine quelconque de cette équation (4) dans^ — :^ , on

iy

obtiendra une racine de l'équation (i); réciproquement toute racine de l'équation (i) peut s'obtenir en remplaçant, dans j' — .;—, y par quelque racine de

1 équation (4)- L'équatiou (4) étant du sixième degré, il semble qu'on doive trouver pour

7 — - — six valeurs, et par suite six racines pour l'équation du troisième

de^ré. Qu'on ne trouve elTeclivement que trois valeurs distinctes, c'est ce qui lésulte, en gros, de ce que les deux équations (3) ne changent pas lorsqu'on \ échange les lettres y et «; de ce que, par conséquent, l'équation (4) ne

'SHi CHAPITRE XVI.

change pas quand on y change ^ en — .;p- ; c'est ce que le raisonnement qui

ftuit va d'ailleurs montrer d'une façon précise.

L'équation (4)^ regardée comme une équation du second degré en j^', donne deux valeurs pour^', à savoir

X racines carrées

dans ces deux expressions, 4/^ -h — désigne l'une des deu

do •—-*-—» choisie arbitrairement : il est naturel, lorsque cette dernière

quantité est réelle et positive, de regarder le radical comme ayant la signifia cation arithmétique.

Dans tous les cas, ce radical doit être regardé comme conservant la même si^nilicution, une fois choisie, dans toutes les formules où il ligure. Le produit

di\r} par >J est égal à — ^ = ( — -^J • •^7 \ -^ /

hosif^iums par ^V| Tune des trois racines cubiques de — ^ -4- l/^ -*- ^;

*• V 4 27 »i ooll<^ dernière quantité est réelle, il sera naturel de choisir pour^t '& racine ouhique rtvHe: si elle est imaginaire, on choisira la racine cubique que Ton \oudr« ; puisque Ton a

Twue do> lï\^i* racine* cubiques de

>\'ïA c^:,»ic À — r — 5 c fst x'>fI*<*-U qae je de>ifBeraî par^n: lorsque />, ç soûl ^VvNv >î^s -- • -^ <<t ivc> ;.i. .çie i\^« a cî.':<i i^c^ur ^V| la racine cubique

>s'N •*'«#<,#.* 1; * ^ - > * — '. 4 i< -û«- r*: xf< cabiqacs imaginaires de

*f ,^ ,w V 1, t< ^'i :*^: L*: h: xi. :r, <*'«;irnee de celle-là, sera

^' * ^ ^^ ; v*.> • jc- i«i> Ci Ji'iufS' Àf ji-^ rt de ri soal respectif

telles sont les six racines de l'équation (4); en perlant ces six valeurs dans 7~Y^ion trouve, a cause dej', jk2 = — \y

Les trois derniers résultats ne sont pas distincts des trois premiers; les trois racines de Téquation (i) sont

en posant

ces deux racines cubiques étant choisies de façon que leur produit soit égal

Les expressions qui figurent dans les seconds membres des formules qui fournissent les trois racines sont plus avantageuses pour le calcul numérique

que celles qui figurent dans les troisièmes ; le calcul de y\ — rr— y par exemple,

^ Yi

n'exige qu^une extraction de racine cubique; le calcjl de J^i-r j^j en demanderait deux.

Cherchons la condition pour que deux racines, Xi et x^ par exemple, soient égales; on doit avoir alors j^i -t-j'a = aj^i -h a^ j^, ou, successivement,

^, =— in-a)j^2= aî^j, y] — y\y T. — II. 25

et, par conséquent

on arriverait à la même conclusion en écrivant que Xi est égal à T| ou j; à 07]. C'est un résultat que l'on connaissait déjà.

Arrêtons-nous un instant sur le cas où p ei q sont réels.

n y a alors trois cas à distinguer, suivant que - — ^71 ^^^ positif, nul. ou

négatif.

Dans le premier cas, y\^yl sont réels et distincts; il en est de même, d'aprè> les conventions que l'on a faites, de j^i, ^j; Ti est réel, arj et a?j sont de* imaginaires conjuguées, puisque x et 2- sont des imaginaires conjuguées. On reconnaît de suite que, dans ce cas, le coefficient de i ne peut être nul ni dans j*] ni dans x^.

Dans le second cas, y], yl sont égaux, on a

Xi= iy, arj = ar3=(a-+-aV):^'i = — ri-

Dans le troisième cas, yXi y\ sont des imaginaires conjuguées: on ne saii pas, par des opérations élémentaires, extraire leurs racines cubiques, en Mdf que les expressions trouvées pour x^^ rj, x^ sont impropres au calcul numérique. On remarquera que, dans ce cas, p est certainement négatif, car. autre-

ment, ^ -+- ^ serait positif. Il est aisé de vérifier que^i,^,, choisis comme

\ ^7 on l'a prescrit, sont des imaginaires conjuguées.

Il suffit de prouver pour cela que le produit y\y^ ou — -^ est égal au carre

de la valeur absolue de l'un ou l'autre facteur; or le carré de la valeur absolue de^î, ou de y\, est

f^NZ-f-^-l^

le carré de la valeur absolue de^i ou dt y^ est donc — -Ç-

Les nombres j^i et ki étant conjugués, il en est de même des nombres 2»i» a*^j, et des nombres a*j^|, txy^ : X\y ar^, Xj^ sont réels.

Pour les calculer numériquement on pourra procéder comme il suit : En posant

- = r rns m. i / — ^ — — =

( 5 ) — i = r cos u), 4/ — ^ ^— =/'sin(u,

(6) r=^^|, cosu)=-^;

à cause de la seconde formule C5), sina> doit être positif; on choisira pour a> la valeur comprise entre o et ir que détermine la second(t équation (6); et l'on aura ensuite à résoudre Téquation

^» = r (coso) -h e sino)),

dont les trois racines sont ( n" 99)

j/- / (*} . . toX ri = V '* ( cos j -h « sin - j,

«ri= y^ ( cos h fsin — ),

3/-/ (s)-h^TZ . . C0-+-4lt\

a*j'i = /r ^ cos — h i sin j ;

c'est d'ailleurs arbitrairement qu'on a choisi l'expression de j^j ; les valeurs de/j, a-^t, aj^i sont respectivement conjuguées de celles-là, et Ton a finalement